Lec4:点估计（一） 张伟平 September 24,2009 §1引言 数理统计的任务是用样本去推断总体.参数估计是统计推断的一种重要形式.设有参数 分布族多={Fa,0∈日}，其中日是参数空间，F的分布形式已知，但其分布与未知参数有关 X1,·,Xn是从总体F%中抽出的简单随机样本.我们的任务是要利用样本对未知参数或其 函数g()作出估计.所以在参数分布族的场合，把参数可理解为定义在参数空间日上的实值函 数g(0),一个重要的特例是g(0)=9.例如，X1,·,Xni.i.d.~N(a,o2),记0=(4，o2),我们希 望利用样本对μ和σ2或其函数g(Θ)=μ/σ2的值作出估计，这就是参数估计问题 有时样本分布族多={F}是非参数分布族，其中F的分布形式未知，但其均值、方差等 都是刻画总体某方面性质的量，也都是参数.因此在非参数分布族场合，把参数理解为分布 族多上的泛函9(F).我们希望利用样本对g(F),例如g(F)为总体均值、方差或中位数等，作出 估计，这也属于参数估计问题.例如，我们从某城市居民中抽取一部分，对其年收入作调查， 获得样本X1,·,X,要对该城市居民的年人均收入作出估计，就属于这类问题。 参数估计(Parameter estimation)问题常有两类：点估计和区间估计.，点估计就是用样本 函数的一个具体数值去估计一个未知参数.区间估计就是用样本函数的两个值构成的区间 去估计未知参数的取值范围 定义1.设X=(X1,…,Xn)为从某总体中抽取的样本，(X)=(X1,·,Xn)是样本的函 数，用g(X)作为g(0)的估计，称为，点估计(Point estimation). 本章我们将首先讨论点估计的方法.对于同一个未知参数0（为方便计，此处以g()=θ为 例)的估计量可以有很多.例如，设X1,·,X是取自某总体F∈多的一组简单样本.对此总 体的均值0=EF(X)可以给出几个估计量： ==上(X1+…+Xn, i=专(Ka+Xa, 03=m/2. 其中X)和X(m为样本最小和最大次序统计量，m2为样本中位数.还可以给出其它的估计 量.这就产生一个问题：我们采用哪一个估计量作为的点估计较好呢？这就涉及到评价一个 估计量优劣的标准问题.标准不同，回答也不同.在经典估计理论中，用来评价估计量好坏的 标准有：无偏性、有效性、相合性和渐近正态性等，以及在某种标准下寻求最好的估计Lec4: :O(ò) ‹ï² September 24, 2009 §1 ⁄Û Ín⁄O?÷¥^̉oN. ÎÍO¥⁄Ỏò´­á/™. kÎÍ ©ŸxF = {Fθ, θ ∈ Θ},Ÿ•Θ¥ÎÍòm, Fθ©Ÿ/™Æ, Ÿ©ŸÜôÎÍθk'. X1, · · · , Xn¥loNF蕃—{¸ëÅ. ·Ç?÷¥á|^ÈôÎÍθ½Ÿ ºÍg(θ)ä—O. §±3ÎÍ©Ÿx|‹, rÎÍån)转3ÎÍòmΘ˛¢äº Íg(θ), òá­áA~¥g(θ) = θ. ~X, X1, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(a, σ2 ),Pθ = (µ, σ2 ),·ÇF "|^ȵ⁄σ 2 ½ŸºÍg(θ) = µ/σ2ää—O, ˘“¥ÎÍOØK. kû©ŸxF = {F}¥öÎÍ©Ÿx, Ÿ•F©Ÿ/™ô, Ÿ˛ä!ê —¥èxoN,ê°5ü˛, è—¥ÎÍ. œd3öÎÍ©Ÿx|‹, rÎÍn)è©Ÿ xF˛çºg(F).·ÇF"|^Èg(F),~Xg(F)èoN˛ä!꽕†Í, ä— O, ˘è·uÎÍOØK. ~X, ·Çl,¢½ÿ¨•ƒò‹©, ÈŸc¬\äN, ºX1, · · · , Xn, áÈT¢½ÿ¨c<˛¬\ä—O, “·u˘aØK. ÎÍO(Parameter estimation)ØK~k¸a: :O⁄´mO. :O“¥^ ºÍòá‰NÍäOòáôÎÍ. ´mO“¥^ºÍ¸á䧴m OôÎÍäâå. ½¬ 1. X = (X1, · · · , Xn) èl,oN•ƒ, gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn)¥º Í, ^gˆ(X) äèg(θ)O, °è:O(Point estimation). Ÿ·ÇÚƒk?ÿ:Oê{. Èu”òáôÎÍθ (èêBO, d?±g(θ) = θè ~)O˛å±kÈı. ~X, X1, · · · , Xn¥g,oNF ∈ F ò|{¸. Èdo N˛äθ = EF (X)å±â—AáO˛: ˆθ1 = X¯ = 1 n (X1 + · · · + Xn), ˆθ2 = 1 2 ￾ X(1) + X(n)
, ˆθ3 = m1/2. Ÿ•X(1)⁄X(n)èÅ⁄ÅågS⁄O˛, m1/2 蕆Í. Ñå±â—ŸßO ˛. ˘“)òáØK: ·ÇÊ^=òáO˛äèθ:O–Q? ˘“9µdòá O˛`IOØK. IOÿ”, £âèÿ”. 3²;Onÿ•, ^5µdO˛–Ä IOk: Æ5!k5!É‹5⁄ÏC5, ±93,´IOeœ¶Å–O. 1