Lec4:点估计（一） 张伟平 September 24,2009 §1引言 数理统计的任务是用样本去推断总体.参数估计是统计推断的一种重要形式.设有参数 分布族多={Fa,0∈日}，其中日是参数空间，F的分布形式已知，但其分布与未知参数有关 X1,·,Xn是从总体F%中抽出的简单随机样本.我们的任务是要利用样本对未知参数或其 函数g()作出估计.所以在参数分布族的场合，把参数可理解为定义在参数空间日上的实值函 数g(0),一个重要的特例是g(0)=9.例如，X1,·,Xni.i.d.~N(a,o2),记0=(4，o2),我们希 望利用样本对μ和σ2或其函数g(Θ)=μ/σ2的值作出估计，这就是参数估计问题 有时样本分布族多={F}是非参数分布族，其中F的分布形式未知，但其均值、方差等 都是刻画总体某方面性质的量，也都是参数.因此在非参数分布族场合，把参数理解为分布 族多上的泛函9(F).我们希望利用样本对g(F),例如g(F)为总体均值、方差或中位数等，作出 估计，这也属于参数估计问题.例如，我们从某城市居民中抽取一部分，对其年收入作调查， 获得样本X1,·,X,要对该城市居民的年人均收入作出估计，就属于这类问题。 参数估计(Parameter estimation)问题常有两类：点估计和区间估计.，点估计就是用样本 函数的一个具体数值去估计一个未知参数.区间估计就是用样本函数的两个值构成的区间 去估计未知参数的取值范围 定义1.设X=(X1,…,Xn)为从某总体中抽取的样本，(X)=(X1,·,Xn)是样本的函 数，用g(X)作为g(0)的估计，称为，点估计(Point estimation). 本章我们将首先讨论点估计的方法.对于同一个未知参数0（为方便计，此处以g()=θ为 例)的估计量可以有很多.例如，设X1,·,X是取自某总体F∈多的一组简单样本.对此总 体的均值0=EF(X)可以给出几个估计量： ==上(X1+…+Xn, i=专(Ka+Xa, 03=m/2. 其中X)和X(m为样本最小和最大次序统计量，m2为样本中位数.还可以给出其它的估计 量.这就产生一个问题：我们采用哪一个估计量作为的点估计较好呢？这就涉及到评价一个 估计量优劣的标准问题.标准不同，回答也不同.在经典估计理论中，用来评价估计量好坏的 标准有：无偏性、有效性、相合性和渐近正态性等，以及在某种标准下寻求最好的估计
Lec4: :O(ò) ‹ï² September 24, 2009 §1 ⁄Û Ín⁄O?÷¥^ ̉oN. ÎÍO¥⁄Ỏò´á/™. kÎÍ ©ŸxF = {Fθ, θ ∈ Θ},Ÿ•Θ¥ÎÍòm, Fθ©Ÿ/™Æ, Ÿ©ŸÜôÎÍθk'. X1, · · · , Xn¥loNF蕃—{¸ëÅ . ·Ç?÷¥á|^ ÈôÎÍθ½Ÿ ºÍg(θ)ä—O. §±3ÎÍ©Ÿx|‹, rÎÍån)转3ÎÍòmΘ˛¢äº Íg(θ), òááA~¥g(θ) = θ. ~X, X1, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(a, σ2 ),Pθ = (µ, σ2 ),·ÇF "|^ ȵ⁄σ 2 ½ŸºÍg(θ) = µ/σ2ää—O, ˘“¥ÎÍOØK. kû ©ŸxF = {F}¥öÎÍ©Ÿx, Ÿ•F©Ÿ/™ô, Ÿ˛ä!ê —¥èxoN,ê°5ü˛, è—¥ÎÍ. œd3öÎÍ©Ÿx|‹, rÎÍn)è©Ÿ xF˛çºg(F).·ÇF"|^ Èg(F),~Xg(F)èoN˛ä!ê ½•†Í , ä— O, ˘è·uÎÍOØK. ~X, ·Çl,¢½ÿ¨•ƒò‹©, ÈŸc¬\äN, º X1, · · · , Xn, áÈT¢½ÿ¨c<˛¬\ä—O, “·u˘aØK. ÎÍO(Parameter estimation)ØK~k¸a: :O⁄´mO. :O“¥^ ºÍòá‰NÍäOòáôÎÍ. ´mO“¥^ ºÍ¸á䧴m OôÎÍäâå. ½¬ 1. X = (X1, · · · , Xn) èl,oN•ƒ , gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn)¥ º Í, ^gˆ(X) äèg(θ)O, °è:O(Point estimation). Ÿ·ÇÚƒk?ÿ:Oê{. Èu”òáôÎÍθ (èêBO, d?±g(θ) = θè ~)O˛å±kÈı. ~X, X1, · · · , Xn¥g,oNF ∈ F ò|{¸ . Èdo N˛äθ = EF (X)å±â—AáO˛: ˆθ1 = X¯ = 1 n (X1 + · · · + Xn), ˆθ2 = 1 2 X(1) + X(n) , ˆθ3 = m1/2. Ÿ•X(1)⁄X(n)è Å⁄ÅågS⁄O˛, m1/2 è •†Í. Ñå±â—ŸßO ˛. ˘“)òáØK: ·ÇÊ^=òáO˛äèθ:O–Q? ˘“9µdòá O˛`IOØK. IOÿ”, £âèÿ”. 3²;Onÿ•, ^5µdO˛–Ä IOk: Æ5!k5!É‹5⁄ÏC5 , ±93,´IOeœ¶Å–O. 1
§2判断估计量的优良性标准 1.无偏性 我们在评价估计量好坏时，一般总希望估计量(X)的平均值与越接近越好，即E((X)- )越小越好.由于(X)是随机变量，(X)的值有时比的值大，有时比的值小，我们希望(X)在 大量重复使用时，在平均意义下(X)与9的偏差很小.期望值E((X)一)=0，时就得到无偏 性的概念.将其一般化，用g()代替0，用(X)代替(X),得到如下定义： 定义1.设X=(X1,…,Xn)为从总体{Fa,0∈日}中抽取的样本，g(0)是定义于参数空间日上 的已知函数.(X)=(X1,…,Xn)是g(0)的一个估计量，如果 E.(g(X)=g(0),对任何0∈日 则称g(X)为g(0)的一个无偏估计量(Unbiased estimation).记g(X)=gn(X),若 1imE(gn(X)=g(0),对任何B∈日 则称gn(X)为g(0)的渐近无偏估计(Asymptotically unbiased estimation小. 无偏性的含意有两个：第一个含意是无系统偏差.由于样本的随机性，(X)是样本的函 数，因此它是一随机变量，用估计量g(X)去估计g(0),对某些样本，(X)与g()相比，时而偏低； 对另一些样本，(X)时而偏高；无偏性表示，把这些正负偏差在概率上平均起来，其值为0.如 用一杆秤去称东西，误差的来源有二：()这杆秤自身结构上有问题.用它称东西总是倾向于 偏高或总是倾向于偏低，这属于系统误差.()另一种误差是随机误差，由不可控制的因素产 生，如温度、湿度和工作人员心理波动等影响造成的，这属于随机误差.无偏性相当于要求 无系统误差.随机误差总是存在的，大量重复使用无偏估计，误差有时为正，有时为负，但随 机误差可以正负相抵消. 无偏性的另一个含意是：要求估计量大量重复使用，在多次重复使用下给出接近真值g() 的估计.设想这样一种情况：每天抽样对g()进行估计，第天的样本为X=(X⑧，·，X),估 计值为g(X@),一共作了n天.设X四，·，Xm)是独立同分布的样本，如g(X)有无偏性，按大 数定律有 P(=∑xo)=go）=1 1 就是说，尽管一次估计结果g(X)不一定恰好等于g(),但在大量重复使用时，多次估计的 算术平均值，可以任意接近g().如果这一估计量(X)只使用一次，无偏性这个概念就失去意 义 在点估计理论中，目前无偏性仍占有重要的地位.除了历史因素外，还有两个原因.一是 无偏性的要求只涉及一阶矩（均值），在数学处理时较方便.二是在没有其它合理准则可循时， 人们心理上觉得：一个具有无偏性的估计，总比没有这种性质的估计要好些。 定义2.设X1,·,X是取自期望为4，方差为o的总体的一个样本.显然样本均值了是μ的无 偏估计.证明样本方差S2=点上（化：-X)2是，2的无偏估计. 1 证显然 Es9=[B(X)-nE(X9)=2[Ex-E(]
§2 ‰O˛`˚5IO 1. Æ5 ·Ç3µdO˛–Äû, òÑoF"O˛ˆθ(X) ²˛äÜθC–, =E( ˆθ(X)− θ)–. duˆθ(X)¥ëÅC˛, ˆθ(X)äkû'θäå, kû'θä, ·ÇF"ˆθ(X)3 å˛E¶^û, 3²˛ø¬eˆθ(X)Üθ† È. œ"äE( ˆθ(X) − θ) = 0, û“Æ 5Vg. ÚŸòÑz,^g(θ)ìOθ, ^gˆ(X)ìOˆθ(X),Xe½¬: ½¬ 1. X = (X1, · · · , Xn)èloN{Fθ, θ ∈ Θ}•ƒ , g(θ)¥½¬uÎÍòmΘ˛ ƺÍ. gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn)¥g(θ) òáO˛, XJ Eθ(ˆg(X)) = g(θ), È?¤ θ ∈ Θ K°gˆ(X)èg(θ)òáÆO˛ (Unbiased estimation). Pgˆ(X) = ˆgn(X),e limn→∞ Eθ(ˆgn(X)) = g(θ), È?¤ θ ∈ Θ K°gˆn(X)èg(θ)ÏCÆO (Asymptotically unbiased estimation). Æ5¹øk¸á: 1òá¹ø¥ÃX⁄† . du ëÅ5, ˆg(X)¥ º ÍßœdߥòëÅC˛, ^O˛gˆ(X)Og(θ),È, ,ˆg(X)Üg(θ)É', û †$; È,ò , ˆg(X)û †p; Æ5L´, r˘ K† 3V«˛²˛Â5, Ÿäè0. X ^ò\Æ°¿‹, ÿ 5 k: (i)˘\Æg (˛kØK. ^ß°¿‹o¥ñïu †p½o¥ñïu†$, ˘·uX⁄ÿ . (ii),ò´ÿ ¥ëÅÿ , dÿåõõœÉ ), Xß›!ó›⁄Ûä< %nŃ KèE§, ˘·uëÅÿ . Æ5ÉuᶠÃX⁄ÿ . ëÅÿ o¥3, å˛E¶^ÆO, ÿ kûè, kûèK, ë Åÿ å±KÉ-û. Æ5,òá¹ø¥: á¶O˛å˛E¶^, 3ıgE¶^eâ—C˝äg(θ) O. é˘ò´ú¹: zUƒÈg(θ)?1O, 1iU èX(i) = (X (i) 1 , · · · , X(i) n ), Oäègˆ X(i) ,òä nU. X(1) , · · · , X(n)¥’·”©Ÿ , Xgˆ(X)kÆ5, Uå ͽÆk P limn→∞ 1 n Xn i=1 gˆ X(i) = g(θ) = 1 “¥`, ¶+ògO(Jgˆ X(i) ÿò½T– ug(θ), 3å˛E¶^û, ıgO 邲˛ä, å±?øCg(θ). XJ˘òO˛gˆ(X)ê¶^òg, Æ5˘áVg“îø ¬. 3:Onÿ•, 8cÆ5E”ká/†. ÿ {§œÉ , Ñk¸áœ. ò¥ Æ5á¶ê9ò ›(˛ä), 3ÍÆ?nûêB. ¥3vkŸß‹nOKåÃû, <Ç%n˛˙: òá‰kÆ5O, o'vk˘´5üOá– . ½¬ 2. X1, · · · , Xn¥gœ"èµ,ê èσ 2oNòá . w, ˛äX¯¥µÃ †O. y² ê S 2 = 1 n−1 Pn i=1 (Xi − X¯) 2 ¥σ 2ÆO. y w, E(S 2 ) = 1 n − 1 Xn i=1 E(X2 i ) − nE(X¯ 2 ) = n n − 1 E(X2 1 ) − E X¯ 2 2
=n”g2+2)-(o2n+2)=2 故样本方差S2是σ2的无偏估计. 2.有效性 在应用中，同一个参数的无偏估计常常不止一个，那么选用哪一个无偏估计更好呢？为 了解决好这一问题，就要讨论估计量的有效性(ef伍ciency).设1和02为9的两个无偏估计，由无 偏性可知它们的一阶矩相等，我们比较它们的二阶中心矩一方差，方差越小越好. 定义3.设(X)=g(X1,…,Xn)和g2(X)=2(X1,…,Xn)为g(0)的两个不同无偏估计量， 若 D(©(X)≤D(2(X),对一切0∈日， 且至少存在一个0∈日，使得严格不等号成立，则称估计量g(X)比2(X)有效 从这个定义出发可以看出，在均值相等的条件下，方差越小的估计量越有效.例如，X1,·,X是 取自总体F的一个简单样本，设总体均值和总体方差σ2都存在，则01=X1和2=X都是总 体均值的无偏估计量，它们的方差分别是 D(01)=g2, D0)=1g2 后者更小，可见x比X更有效，且越大，下对的估计就越有效.这就是在物体的称重问题 中，为什么我们要将物体称n次，用其平均值作为物重的理由. 3.相合性 大量实践表明，随着样本容量n的增加，估计量(X)=(X1,·,Xn)与被估计参数g()的 偏差越来越小，这是一个良好估计量应具有的性质.试想，若不然，无论作多少次试验，也不 能把()估计到任意指定的精确程度，这样估计量显然是不可取的 定义4.设对每个自然数n,gn(X)=gn(X1,…,Xn)是g()一个估计量，若gn(X)依概率收敛 到g(0),即对任何0∈日及e>0有 niP(lan(X)-9e1≥e）-0, 则称gn(X)为g(0)的弱相合估计(Weakly consistent estimation).若对任何0∈日有 P(im9n(X)=g(0）-1, 则称gn(X)为g(0)的强相合估计(Strongly con.sistent estimation,.以若r>0和对任何0∈日，有 lim Eolgn(X)-g(0)"=0, n→0 称gn(X)为g(0)的r阶矩相合估计(Consistent estimation in r'th mean).当r=2时称为均方相 合估计(Consistent estimation in quadratic mean),. 估计量的相合性是对大样本问题提出的要求，是估计量的一种大样本性质」 由概率论中关于这几种收敛性的关系，可知上述三种相合性有如下关系：强相合→弱相合，反 之不必对；对任何r>0有：阶矩相合→弱相合，反之不必对.又强相合与阶矩相合之间没 有包含关系. 估计量的大样本性质，还有渐近正态性，我们将在本章后面有关的小节中给出定义， 2
= n n − 1 h σ 2 + µ 2 − σ 2 n + µ 2 i = σ 2 , ê S 2¥σ 2ÆO. 2. k5 3A^•, ”òáÎÍÆO~~ÿéòá, @o¿^=òáÆOç–Q? è )˚–˘òØK, “á?ÿO˛k5(efficiency). θb1⁄θb2èθ¸áÆO, dà †5åßÇò ›É , ·Ç'ßÇ •%›—ê , ê –. ½¬ 3. gˆ1(X) = ˆg1 (X1, · · · , Xn)⁄gˆ2(X) = ˆg2(X1, · · · , Xn)èg(θ) ¸áÿ”ÆO˛, e Dθ(ˆg1(X)) ≤ Dθ(ˆg2(X)), ÈòÉ θ ∈ Θ, Öñ3òáθ ∈ Θ,¶ÓÇÿ “§·, K°O˛gˆ1(X)'gˆ2(X)k. l˘á½¬—uå±w—, 3˛äÉ ^áe, ê O˛k. ~X, X1, · · · , Xn¥ goNFòá{¸ , oN˛äµ⁄oNê σ 2—3, Kˆθ1 = X1 ⁄ˆθ2 = X¯—¥o N˛äµÃ†O˛, ßÇê ©O¥ D( ˆθ1) = σ 2 , D( ˆθ2) = 1 n σ 2 . ˆç, åÑX¯'X1çk, Önå, X¯ÈµO“k. ˘“¥3‘N°ØK •, èüo·ÇáÚ‘N°ng, ^Ÿ²˛ääè‘nd. 3. É‹5 å˛¢ÇL², ëX N˛nO\, O˛gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn) ÜOÎÍg(θ) † 5, ˘¥òá˚–O˛A‰k5ü. £é, eÿ,, Ãÿäıg£, èÿ Urg(θ)O?øç½°(ß›,˘O˛w,¥ÿå. ½¬ 4. Èzág,Ín, gˆn(X) = ˆgn(X1, · · · , Xn)¥g(θ)òáO˛, egˆn(X)ùV«¬Ò g(θ),=È?¤θ ∈ Θ9ε > 0k limn→∞ Pθ(|gˆn(X) − g(θ)| ≥ ε) = 0, K°gˆn(X)èg(θ)fÉ‹O (Weakly consistent estimation).eÈ?¤θ ∈ Θk Pθ limn→∞ gˆn(X) = g(θ) = 1, K°gˆn(X)èg(θ)rÉ‹O (Strongly consistent estimation).er > 0 ⁄È?¤θ ∈ Θ,k limn→∞ Eθ|gˆn(X) − g(θ)| r = 0, °gˆn(X)èg(θ)r ›É‹O (Consistent estimation in r’th mean).r = 2û°è˛êÉ ‹O (Consistent estimation in quadratic mean). O˛É‹5¥Èå ØKJ—á¶, ¥O˛ò´å 5ü. dV«ÿ•'u˘A´¬Ò5'X, å˛„n´É‹5kXe'X: rÉ‹=⇒ fÉ‹,á Éÿ7È; È?¤r > 0k:r ›É‹ =⇒ fÉ‹, áÉÿ7È. qrÉ‹Ür ›É‹Émv kù¹'X. O˛å 5ü,ÑkÏC5,·ÇÚ3 Ÿ°k'!•â—½¬. 3
$3 矩估计 一、矩法和矩估计量 设X1,·,X。是从总体F中抽取的简单随机样本，这时，样本矩可用来估计F的相应的 总体矩.即总体k阶原点矩α=E(X)的矩估计量是相应的样本k阶原，点矩 ak=∑x, k=1,2,… (3.1) n 特别总体均值a1=E(X)的矩估计量是样本均值an1=X. 总体阶中心矩μ，=E(X-E(X)的矩估计量是相应的样本k阶中心矩 mnk = ∑(X-),k=1,2,…, (3.2) n 特别总体方差=EX-EX)P的矩估计量量是m2=S号=公（化-）2，它与样本方 差S2-点2(K-列2只差一个常数因子 用ank,mnk分别估计a,和4.是一种基于直观的方法，它的依据是：ank是a,的无偏估计， 即 (3.3) 但用mk估计4.，一般不是无偏的，当样本大小n较大时，偏差不显著，且必要时可作一些修正， 使之成为无偏估计.请看下例： 例1.设2=σ2是总体方差，则S2=m2不是σ2的无偏估计. 证由例可知 E(S2) (2-)(品x-) =n-E(s2=n-1o2 (3.4) 因而m2不是σ的无偏估计，且是系统地偏低.将其修正，只须用 -立x-2=s9 (3.5) 代替mn2,就得到E(m2)=E(S2)=σ2，即S2为总体方差的无偏估计.这就是我们用S2作为样 本方差的定义，而不用m2的理由所在.但当k≥4，就不能通过这样简单的修正得出4，的无 偏估计 一般，样本的k阶中心矩可以用样本的原点矩表出（令ano=1): mk=∑x-a=∑(--rX点 (空x--(（)点
§3 ›O ò!›{⁄›O˛ X1, · · · , Xn ¥loNF•ƒ{¸ëÅ . ˘û, ›å^5OFÉA oN›. =oNk :›αk = E(Xk ) ›O˛¥ÉA k :› ank = 1 n Xn i=1 Xk i , k = 1, 2, · · · , (3.1) AOoN˛äα1 = E(X)›O˛¥ ˛äan1 = X. ¯ oNk •%›µk = E(X − E(X))k›O˛¥ÉA k •%› mnk = 1 n Xn i=1 Xi − X¯ k , k = 1, 2, · · · , (3.2) AOoNê µ2 = E(X − EX) 2›O˛˛¥mn2 = S 2 n = 1 n Pn i=1 Xi − X¯ 2 , ßÜ ê S 2 = 1 n−1 Pn i=1 Xi − X¯ 2 ê òá~Íœf. ^ank, mnk©OOαk⁄ µk¥ò´ƒuÜ*ê{, ßù‚¥: ank¥αkÆO, = Eank = 1 n Xn i=1 E(Xk i ) = 1 n Xn i=1 αk = αk . (3.3) ^mnkOµk ,òÑÿ¥Ã†, ånåû, † ÿwÕ, Ö7áûåäò ?, ¶É§èÆO. ûwe~: ~1. µ2 = σ 2¥oNê , KS 2 n = mn2ÿ¥σ 2ÆO. y d~å E(S 2 n ) = E 1 n Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ! = n − 1 n E 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ! = n − 1 n E(S 2 ) = n − 1 n σ 2 . (3.4) œ mn2ÿ¥σ 2ÆO, Ö¥X⁄/†$. ÚŸ?, êL^ m∗ n2 = n n − 1 mn2 = 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X¯) 2 = S 2 (3.5) ìOmn2,“E(m∗ n2 ) = E(S 2 ) = σ 2 ,=S 2èoNê ÆO. ˘“¥·Ç^S 2äè ê ½¬, ÿ^mn2nd§3. k ≥ 4,“ÿUœL˘{¸?—µkà †O. òÑ, k •%›å±^ :›L—(- an0 = 1): mnk = 1 n Xn i=1 (Xi − an1) k = 1 n Xn i=1 X k r=0 k r (−1)k−rXr i a k−r n1 = X k r=0 1 n Xn i=1 Xr i (−1)k−r k r a k−r n1 4
=--(（月哈 (3.6) 下面给出矩法及矩估计量的定义， 定义1.设有总体分布族{F,0∈日}，日是参数空间，g(0)是定义在日上的参数0的函数，它可 以表为总体分布的某些矩的函数，即 g(0)=G(a1,…,ak;1,…,4s) (3.7) 设X=(X1,·,Xn)是从上述分布族中抽取的简单样本，用an和mn分别代替(3.)式中 的a,和4得 g(X)=Ganl,…,ank;mnl,…,mns): (3.8) 其中ani是a:的矩估计量，mn是4的矩估计量，则g(X)作为g(0)的估计量，称为g(0)的矩估计 量(Moment estimate.这种求矩估计量的方法称为矩法(Moment method of estimation). 二、若干例子 例2.设X1,·,Xn是从具有成功概率0的两点分布总体b(1,)中抽取的简单样本，求9和g(0)= 0(1-)的矩估计 解设X~b(1,),即有P(X=x)=F(1-)1-x.由于E(X)=0,因此8的矩估计就 是(X1,…,Xm)=,而g(0)的矩估计是 gX1,…,Xn)=(1-) 例3.设X1,…,Xni.id.心均匀分布U(01,02),参数0=(01,02)，其中-o0 0 当x≤0， 其中0>0为未知参数.这个分布称为Marwell分布，在气体分子动力学中有应用.设X1,·,Xn为 抽自此总体的简单随机样本，求g(0)=1/0的矩估计量. 6
= X k r=0 (−1)k−r k r anr a k−r n1 , (3.6) e°â—›{9›O˛½¬. ½¬ 1. koN©Ÿx{Fθ, θ ∈ Θ}, Θ¥ÎÍòm, g(θ)¥½¬3Θ ˛ÎÍθºÍ, ßå ±LèoN©Ÿ, ›ºÍ, = g(θ) = G(α1 , · · · , αk ; µ1, · · · , µS ). (3.7) X = (X1, · · · , Xn)¥l˛„©Ÿx•ƒ{¸ , ^ani⁄ mnj©OìO(3.7)™• αi⁄ µj gˆ(X) = G(an1, · · · , ank; mn1, · · · , mns), (3.8) Ÿ•ani¥αi›O˛, mnj¥µj›O˛, Kgˆ(X)äèg(θ)O˛, °èg(θ) ›O ˛(Moment estimate). ˘´¶›O˛ê{°è›{ (Moment method of estimation). !eZ~f ~2. X1, · · · , Xn¥l‰k§ıV«θ¸:©ŸoNb(1, θ)•ƒ{¸ , ¶θ⁄g(θ) = θ(1 − θ)›O. ) X ∼ b(1, θ),=kP(X = x) = θ x (1 − θ) 1−x . duE(X) = θ,œdθ›O“ ¥ˆθ(X1, · · · , Xn) = X, ¯ g(θ)›O¥ gˆ(X1, · · · , Xn) = X¯(1 − X¯). ~3. X1, · · · , Xn i.i.d. ∼ ˛!©ŸU(θ1, θ2), ÎÍθ = (θ1, θ2),Ÿ•−∞ 0 0 x ≤ 0, Ÿ•θ > 0èôÎÍ. ˘á©Ÿ°èMaxwell ©Ÿ, 3ÌN©fƒÂÆ•kA^. X1, · · · , Xnè ƒgdoN{¸ëÅ , ¶g(θ) = 1/θ›O˛. 5
解由方程 ,==2yr= 解得g(0)=1/9=πa2,将a,用代替得 g(X1,…,Xn)=π2 另一方面，由另一方程 解得g0)=1/0=2a,将a用a2=去公x代入，得g0的矩估计 三1 g2(X1,·,Xn)=2an2= n i=1 由此可见矩估计量不唯一，但它们同样合理.这两个矩估计量g:(X)和g2(X)中哪一个 更好？以后我们将证明基于αn2的估计量g(X),在g()一切无偏估计类中为方差最小者.基 于an1的估计g:(X)不是g(0)的无偏估计. 例5.设总体分布有概率密度 f(x)= )70a)exp} 0 x≤0， 参数0=(01,02)的变化范围-10.设X1,·,Xn为抽自此总体的简单随机样 本，求01和02的矩估计量 解由简单计算得到总体分布的前两阶矩为： a=r/r() a2= r(/() (3.9) 按矩估计方法，用an1和an2分别代替(3.9)中的a,和a2,用A1和82分别代替01和92，得到如下的方 程组： -r(2/() 其解就是01和2的矩估计.但此处得不出©1和2的解析表达式，而只能用数值方法.此例说明 不是所有的矩估计都有解析表达式的， 矩估计方法也可以用于多维样本，请看下例. 例6.设(X,Y),i=1,2,·,n为从一个二维总体中抽取的简单随机样本，求总体分布的协 方差o2和相关系数和p的矩估计. 6
) dêß α1 = E(X) = 2r θ π Z ∞ 0 xe−θx2 dx = 1 √ πθ )g(θ) = 1/θ = πα2 1 ,Úα1^X¯ìO gb1 (X1, · · · , Xn) = πX¯ 2 . ,òê°, d,òêß α2 = Eθ(X2 ) = 2r θ π Z ∞ 0 x 2 e −θx2 dx = 1 2θ )g(θ) = 1/θ = 2α2, Úα2^an2 = 1 n Pn i=1 X2 i ì\,g(θ)›O gˆ2(X1, · · · , Xn) = 2 an2 = 2 n Xn i=1 X2 i . ddåÑ›O˛ÿçò, ßÇ”‹n. ˘¸á›O˛gˆ1(X) ⁄gˆ2(X)•=òá ç–? ±·ÇÚy²ƒuan2O˛gˆ2(X),3g(θ)òÉÆOa•èê ň. ƒ uan1Ogˆ1(X)ÿ¥g(θ)ÆO. ~5. oN©ŸkV«ó› fθ(x) = ( θ2 Γ((1+θ1)/θ2) x θ1 exp{−x θ2 } x > 0 0 x ≤ 0, ÎÍθ = (θ1, θ2)Czâå−1 0.X1, · · · , XnèƒgdoN{¸ëÅ , ¶θ1⁄θ2›O˛. ) d{¸OéoN©Ÿc¸ ›è: α1 = Γ2 + θ1 θ2 . Γ 1 + θ1 θ2 , α2 = Γ3 + θ1 θ2 . Γ 1 + θ1 θ2 . (3.9) U›Oê{, ^an1⁄an2©OìO(3.9)•α1⁄α2,^ˆθ1⁄ˆθ2©OìOθ1⁄θ2, Xeê ß|: an1 = Γ2 + ˆθ1 ˆθ2 . Γ 1 + ˆθ1 ˆθ2 , an2 = Γ3 + ˆθ1 ˆθ2 . Γ 1 + ˆθ1 ˆθ2 . Ÿ)“¥θ1⁄θ2›O. d?ÿ—ˆθ1⁄ˆθ2)¤Là™, êU^Íäê{. d~`² ÿ¥§k›O—k)¤Là™. ›Oê{èå±^uıë , ûwe~. ~6. (Xi , Yi), i = 1, 2, · · · , nèlòáëoN•ƒ{¸ëÅ , ¶oN©Ÿ ê σ12⁄É'XÍ⁄ρ›O. 6
解按定义σ的矩估计量是样本协方差，即 m2= 1(X-)Y-Y), (3.10) n台 其中X=员∑”1X,了-员∑=y,而的矩估计量是样本相关系数，即 (X:-)(Y-) 1 (3.11) =1 三、矩估计的无偏性 矩法是由K.Pearson 1894年提出的点估计的古老方法.它的特点是直观性强，用此法获 得估计量简便、易行，且不要求事先知道总体的分布，矩估计量还具有相合性.它的缺点是： 在参数分布族场合，没有充分利用其提供的有关参数的信息，小样本性质不突出.此外，矩估 计量不具唯一性， 下面我们研究矩估计的下列三方面的性质：小样本性质有无偏性，大样本性质有相合性 和渐近正态性.其大样本性质将放在下段考虑. 估计量的无偏性和渐近无偏性的定义在$3.1中已给出，下面讨论矩估计的无偏性和渐近 无偏性 (1)样本的阶原点矩ank是总体k阶原点矩a(k=1,2,)的无偏估计，公式(3.3)已给出 了证明 (②)对k≥2，样本的k阶中心矩不是总体k阶中心矩的无偏估计. ()由例3.2.1可知 E(mn2)=n- n2, 将其修正，得 -()ma=- =1 是2的无偏估计 ()经过计算可知样本的3阶中心矩mn3也不是总体3阶中心矩μ，的无偏估计，事实上 E(mn3)=n-1n-2) n2 (3.12) 将其修正，得 n2 mis=n-10n-习mn3 它是4的无偏估计 ()更进一步，可以证明对v≥4有 E(mnv）=4v+O(1/n), (3.13) 因此对v≥4，mnv也不是总体的v阶中心矩4的无偏估计」 (3)矩估计一般具有渐近无偏性.由(2)可见mnw(v≥2)是总体v阶中心矩4，的渐近无偏 估计.如 iE(m3）-lim(n-1n-2) 机子0d n2 43=μ3 1
) U½¬σ12›O˛¥ ê , = m12 = 1 n Xn i=1 (Xi − X¯)(Yi − Y¯ ), (3.10) Ÿ•X¯ = 1 n Pn i=1 Xi , Y¯ = 1 n Pn j=1 Yj , ρ›O˛¥ É'XÍ, = r = Pn i=1 (Xi − X¯)(Yi − Y¯ ) s Pn i=1 (Xi − X¯) 2 Pn j=1 (Yi − Y¯ ) 2 . (3.11) n!›OÆ5 ›{¥dK. Pearson 1894cJ—:OPê{. ßA:¥Ü*5r, ^d{º O˛{B!¥1, Öÿá¶ØkoN©Ÿ, ›O˛Ñ‰kÉ‹5. ß":¥: 3ÎÍ©Ÿx|‹, vkø©|^ŸJ¯k'ÎÍ&E, 5üÿ‚—. d , › O˛ÿ‰çò5. e°·ÇÔƒ›Oenê°5ü: 5ükÆ5, å 5ükÉ‹5 ⁄ÏC5. Ÿå 5üÚò3e„ƒ. O˛Ã†5⁄ÏCÆ5½¬3§3.1•Æâ—, e°?ÿ›OÆ5⁄ÏC Æ5. (1) k :›ank¥oNk :›αk (k = 1, 2, · · ·)ÆO, ˙™(3.3)Æâ— y². (2) Èk ≥ 2, k •%›ÿ¥oNk •%›Ã†O. (i) d~3.2.1å E(mn2) = n − 1 n µ2, ÚŸ?, S 2 = n n − 1 mn2 = 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ¥µ2ÆO. (ii) ²LOéå 3 •%›mn3èÿ¥oN3 •%›µ3ÆO, Ø¢˛ E(mn3) = (n − 1)(n − 2) n2 µ3 . (3.12) ÚŸ?, m∗ n3 = n 2 (n − 1)(n − 2) mn3, ߥµ3ÆO. (iii) ç?ò⁄, å±y²Èν ≥ 4k E(mnν) = µν + O(1/n), (3.13) œdÈν ≥ 4, mnνèÿ¥oNν •%›µν ÆO. (3) ›OòщkÏCÆ5. d(2)åÑmnν (ν ≥ 2)¥oNν •%›µνÏCÆ O. X limn→∞ E(mn3) = limn→∞ (n − 1)(n − 2) n2 µ3 = µ3 . 7
例7.设X,,Xnii.d.~指数分布EP(),其密度为f(a)=Ae->0求入的矩估计量入， 并讨论它的无偏性 解由于a1=0f(r)dx=1/A,解得入=1/a,将a,用其矩估计量灭=an1代入，得 到入的矩估计量为 (X1,…,Xn)=1/X. 由于y-含X心Gamma分布Ga, E=nE四=n广y-。=nMa- 可见(X1,·,Xn)=1/不是λ的无偏估计.因此矩估计量不一定都具有无偏性.但imE()= im[n/(n-1)·=入，故(X1,·,Xn)是A的渐近无偏估计.对略作修正，可得入的一个无 偏蓓计 *(X1,…,Xn)=(n-1)i(X1,…,Xn)/n=(n-1)/(nX) 四、矩估计的相合性和渐近正态性 1.矩估计的相合性 估计量的几种相合性的定义已在$3.1中给出.一般说来矩估计在较一般的条件下具有相 合性.此处我们给出矩估计的强相合性，显然相应的矩估计的弱相合性也成立， (1)样本阶原点矩是总体阶原点矩的强相合估计.设X1,·,X是从总体F中抽取的 简单随机样本，ak为样本的k阶原点矩，a为总体的k阶原点矩.由独立同分布场合的柯尔莫 哥洛夫强大数律可知anka.sa,k=1,2,….即 P(lim ank =ax)=1,k 1,2,... (2)样本阶中心矩是总体k阶中心矩的强相合估计.这一结论的证明用到下列事实(A): (A)设函数f(,…,)在(C,C2…,C)处连续，若n1 a8C1,…, InkaC,则f(n1,…,nk)af(c,c2,…,c) 这一事实的证明留作练习.我们在事实(A)成立的前提下，证明上述结论：由于 4=-i-r(）aar=faae,a r=0 显见f)是其变元的连续函数.由(1)可知aiaa,i=1,…,k,故由上述事实(A)及公 式(3.6)立得 mnk=f(an1,…,ank)af(a1,…,a)=hk,k=1,2,…, 这就证明了结论 (3)设g()有(？)形式，其矩估计为(？)，关于此类矩估计的强相合性有下述定理， 定理1.设X=(X1,…,Xn)为从总体F中抽取的简单随机样本，待估函数g()=G(a1,…,a,2,…,4s), 其矩估计量为gn(X)=G(an1,…,ank,mn2,·,mns),且G为其变元的连续函数，则gn(X)为g(0) 之强相合估计 8
~7. X1, · · · , Xn i.i.d. ∼ çÍ©Ÿ EP(λ),Ÿó›èfλ(x) = λe−λxI[x>0]. ¶λ›O˛λ, ˆ ø?ÿßÆ5. ) duα1 = R ∞ 0 xfλ(x)dx = 1/λ,)λ = 1/α1 , Úα1^Ÿ›O˛X¯ = an1ì\, λ›O˛è λˆ(X1, · · · , Xn) = 1 X. ¯ duY = Pn i=1 Xi ∼ Gamma©Ÿ G(n, λ), E(λˆ) = nE 1/Y = n Z ∞ 0 1 y · λ n Γ(n) y n−1 e −λydy = nλ/(n − 1), åÑλˆ(X1, · · · , Xn) = 1/X¯ÿ¥λÆO. œd›O˛ÿò½—‰kÆ5. limn→∞ E(λˆ) = limn→∞ [n/(n − 1) · λ] = λ, λˆ(X1, · · · , Xn)¥λÏCÆO. Èλˆ—ä?, åλòáà †O λˆ∗ (X1, · · · , Xn) = (n − 1)λˆ(X1, · · · , Xn)/n = (n − 1)/(nX¯). o!›OÉ‹5⁄ÏC5 1. ›OÉ‹5 O˛A´É‹5½¬Æ3§3.1•â—. òÑ`5›O3òÑ^áe‰kÉ ‹5. d?·Çâ—›OrÉ‹5, w,ÉA›OfÉ‹5觷. (1) k :›¥oNk :›rÉ‹O. X1, · · · , Xn¥loNF•ƒ {¸ëÅ , ankè k :›, αkèoNk :›. d’·”©Ÿ|‹Ö# x‚ÅråÍÆåank a.s. −−→ αk , k = 1, 2, · · · .= P limn→∞ ank = αk = 1, k = 1, 2, · · · (2) k •%›¥oNk •%›rÉ‹O. ˘ò(ÿy²^eØ¢(A): (A) º Íf(y1 , · · · , yk )3(c1 , c2, · · · , ck )? Î Y, eyn1 a.s. −−→ c1 , · · · , ynk a.s. −−→ ck ,Kf(yn1, · · · , ynk) a.s. −−→ f(c1 , c2, · · · , ck ). ˘òØ¢y²3äˆS. ·Ç3Ø¢(A)§·cJe, y²˛„(ÿ: du µk = X k r=0 (−1)k−r k r αk α k−r 1 = f(α1 , α2, · · · , αk ), wÑf(·)¥ŸCÎYºÍ. d(1)åani a.s. −−→ αi , i = 1, · · · , k, d˛„Ø¢(A)9˙ ™(3.6)· mnk = f(an1, · · · , ank) a.s. −−→ f(α1 , · · · , αk ) = µk , k = 1, 2, · · · , ˘“y² (ÿ. (3) g(θ)k(??)/™, Ÿ›Oè(??), 'uda›OrÉ‹5ke„½n. ½n 1. X = (X1, · · · , Xn)èloNF•ƒ{¸ëÅ , ñºÍg(θ) = G(α1 , · · · , αk , µ2, · · · , µS ), Ÿ›O˛ègˆn(X) = G(an1, · · · , ank, mn2, · · · , mns),ÖGèŸCÎYºÍ, Kgˆn(X)èg(θ) ÉrÉ‹O. 8
证由(1)可知ani4a4,i=1,2,….由(2)可知mnia4,i=2,3,….再由G是其变 元的连续函数，利用事实(A),立即可得n(X)as,g(0). 由这一定理可得出一些常见估计的相合性.例如正态总体N(α，σ2)中，样本均值和样本 方差S2分别是a和σ2的强相合估计.也不难证明S2是σ2的均方相合估计.其实对任何r>0, S2是σ的r阶矩相合估计.例3.2.5中定义的偏度、峰度和变异系数的矩估计都是强相合的. 2.矩估计的渐近正态性 本段我们将在很一般的条件下，给出矩估计是相合渐近正态估计.下面首先给出定义 定义2.设X=(X1,…,Xn)是从总体{F,0∈日中抽取的简单样本，gn(X)是g(0)的矩估计 量.若存在与样本大小n有关的，定义于参数空间日上的函数An(0)和Bn(0),其中Bn(0)在日上 处处大于0，使当n→∞时 (gn(X)-An(0)/Bn()N(0,1) 且g(X)为g(0)的弱相合估计，则称g(X)为g(0)的相合渐近正态估计(Consistent Asymptotic Normal Estimation,简记为CAN估计). 就是说CAN估计是既相合，其分布又渐近服从正态分布的那种估计.本段我们提出两个 重要结果，即在很一般的条件下，矩估计为CAN估计 Delta方法假设b:DCRk-→Rm为一定义在R的子集D上的映射，且在0(B∈ )处可微.假设Tn为一列取值于D上的随机向量，且存在正的趋于无穷的常数数 列rn使得rn(Tn-)-T,则 rnlo(Tn)-(e)](0)T. 其中()为函数在9处的m×k的导数矩阵。 特别，若T~N0,A),则可以得出()TN(0,(0)A[(0)]T).使用此方法可以证明 如下结论 (1)设样本X1,·,Xn为从总体{Fa,0∈日}中抽取的简单样本，g(0)是定义在参数空 间日上的实函数，它可以表为形式：g(0)=G(a,…,a.)(若G是a,…,ak,1,…,4的 函数，不妨令s≤k,可将4，用a,a2,·,a,表出，则G仍可表为a,…,a,的函数)，而(X)= X1,·,Xn)=G(an1,·,ank)为g()的矩估计.再设总体的2k阶原点矩存在，且G对其各 变元的一阶偏导数存在、连续，令 b=a+y-a,a,i,j=1,2,…,k:B=(bg）为k×k的方阵， d=0Gaa,i=1,2,…,kd=a,…,dy 0a. b2=d'Bd. 定理2.在上述记号和条件下，gn(X)为g(0)=G(a,…,a.)的CAN估计.即gn(X)为g(0)的 弱相合估计，且有 V元(gn(X)-G(a1,…,a)）N(0,b2),当n→o时 9
y d(1)åani a.s. −−→ αi , i = 1, 2, · · · .d(2)åmni a.s. −−→ µi , i = 2, 3, · · · .2dG¥ŸC ÎYºÍ, |^Ø¢(A), ·=ågˆn(X) a.s. −−→ g(θ). d˘ò½nå—ò ~ÑOÉ‹5. ~XoNN(a, σ2 )•, ˛äX¯⁄ ê S 2©O¥a⁄σ 2rÉ‹O. èÿJy²S 2¥σ 2˛êÉ‹O. Ÿ¢È?¤r > 0, S 2¥σ 2r ›É‹O. ~3.2.5•½¬†›!¸›⁄C…XÍ›O—¥rÉ‹. 2. ›OÏC5 „·ÇÚ3ÈòÑ^áe, â—›O¥É‹ÏCO. e°ƒkâ—½¬ ½¬ 2. X = (X1, · · · , Xn)¥loN{Fθ, θ ∈ Θ}•ƒ{¸ , gˆn(X)¥g(θ)›O ˛. e3Ü ånk', ½¬uÎÍòmΘ˛ºÍAn(θ)⁄Bn(θ), Ÿ•Bn(θ)3Θ˛ ??åu0,¶n → ∞û (ˆgn(X)) − An(θ)) Bn(θ) L −→ N(0, 1) Ögˆ(X)èg(θ)fÉ‹O, K°gˆ(X)èg(θ)É‹ÏCO (Consistent Asymptotic Normal Estimation, {PèCANO). “¥`CANO¥QÉ‹, Ÿ©ŸqÏC—l©Ÿ@´O. „·ÇJ—¸á á(J,=3ÈòÑ^áe,›OèCANO. Delta ê{ bφ : D ⊂ Rk 7−→ Rm èò½¬3Rkf8D˛N, Ö3θ(θ ∈ Rk )?åá. bTnèòäuD˛ëÅï˛, Ö3™uð~ÍÍ rn¶rn(Tn − θ) d 7−→ T, K rn[φ(Tn) − φ(θ)] d 7−→ φ 0 (θ)T. Ÿ•φ 0 (θ)èºÍφ3θ?m × kÍ› . AO, eT ∼ N(0, A), Kå±—φ 0 (θ)T ∼ N(0, φ0 (θ)A[φ 0 (θ)]T ). ¶^dê{å±y² Xe(ÿ. (1) X1, · · · , XnèloN{Fθ, θ ∈ Θ} •ƒ{¸ , g(θ)¥½¬3ÎÍò mΘ˛¢ºÍ, ßå±Lè/™: g(θ) = G(α1 , · · · , αk ) (eG ¥α1 , · · · , αk, µ1, · · · , µs ºÍ, ÿî-s ≤ k,åÚµj^α1 , α2, · · · , αsL—, KGEåLèα1 , · · · , αkºÍ), gˆ(X) = gˆ(X1, · · · , Xn) = G(an1, · · · , ank)èg(θ)›O. 2oN2k :›3, ÖG ÈŸà Cò †Í3!ÎY, - bij = αi+j − αiαj , i, j = 1, 2, · · · , k; B = bij è k × k ê , di = ∂G(α1 , · · · , αk ) ∂αi , i = 1, 2, · · · , k; d = (d1 , · · · , dk ) 0 b 2 = d 0Bd. ½n 2. 3˛„P“⁄^áe,gˆn(X)èg(θ) = G(α1 , · · · , αk )CAN O. =gˆn(X)èg(θ) fÉ‹O,Ök √ n gˆn(X) − G(α1 , · · · , αk ) L −→ N(0, b2 ), n → ∞ û 9
证由定理3.2.1可知gn(X)为g()=G(a,…,a)的强相合估计.其渐近正态性的证明 见参考文献[2Ps2定理2.6. (2)在一些情况下，g()可表为一、两个中心矩的函数，还可能包含总体均值α，g()的 表达式较简单.若将中心矩用原点矩表出，9()的表达式则显得复杂，因此有必要给出这种 情形下渐近正态性的结果.一般，将g()表达成如下形式 g(8)=H(a1,4t2,·,tn) (3.14) 其矩估计量为H(了，mnt2,…,mnt,),使用与定理3.2.2类似证明方法，可得如下结果： 定理3.设(3.14)式中的函数H在点(1，山2，…，4，)的邻域内有一阶偏导数，且此偏导数在 点(a1,t2,…,t,）处连续，则有 V元(H(,mmt2,…,mnt,)-H(a1,t2,…,t,)）N(0,b2) (3.15) 此处 63 (3.16) =1j=1 其中 H1=0a ,H:=u OH OH ，i=2,3,…,r 011=42,01i=0i1=4t4+1-t4t4-1l2,i=2,…,T; 0=4+t与-t4-14t+1-tt+1山t与-1-山t +tt42t-14ty-1,i,j=2,3,…,r. 如果g(0)有H(a,…,4,)的形状，即与a,无关，则3.15)仍成立，只需把(3.16)式所确定的2 改为∑∑HH即可. 22 例8.继续考虑例3.2.5.被估计量g(Θ)为偏度B,峰度B2和变异系数V,其矩估计量由例3.2.6可 知为 8二37：历-m3 立=Vmn2/X. mn2 讨论它们的渐近正态性 解按(3.15)和(3.16)式，对这三个矩估计量分别算得62之值为 b2(B)=6,b2(32)=24,b2(V)=V2/2+V4 于是根据定理3.2.3有 √元(6，-3，)N0,6), Vm(a2-B2)三N(0,24, m(-V)N(0,V2/2+V4) 值得注意的是，B2的极限分布的方差与被估计的参数值无关，这点对B,2的大样本推断 有用. 10
y d½n3.2.1ågˆn(X) èg(θ) = G(α1 , · · · , αk ) rÉ‹O. ŸÏC5y² ÑΩz[2] P82 ½n2.6. (2) 3ò ú¹e, g(θ) åLèò!¸á•%›ºÍ, ÑåUù¹oN˛äα1 , g(θ) Là™{¸. eÚ•%›^:›L—, g(θ) Là™KwE,, œdk7áâ—˘´ ú/eÏC5(J. òÑ, Úg(θ) Là§Xe/™ g(θ) = H(α1 , µt2 , · · · , µtr ), (3.14) Ÿ›O˛èH(X, m ¯ nt2 , · · · , mntr ),¶^ܽn3.2.2aqy²ê{, åXe(J: ½n 3. (3.14)™•ºÍH 3:(α1, µt2 , · · · , µtr ) çSkò †Í, Öd†Í3 :(α1, µt2 , · · · , µtr ) ?ÎY, Kk √ n H(X, m ¯ nt2 , · · · , mntr ) − H(α1 , µt2 , · · · , µtr ) L −→ N(0, b2 ). (3.15) d? b 2 = Xr i=1 Xr j=1 σijHiHj , (3.16) Ÿ• H1 = ∂H ∂α1 , Hi = ∂H ∂µti , i = 2, 3, · · · , r; σ11 = µ2, σ1i = σi1 = µti+1 − tiµti−1µ2, i = 2, · · · , r; σij = µti+tj − tiµti−1µtj+1 − tjµti+1µtj−1 − µtiµtj +titjµ2µti−1µtj−1, i, j = 2, 3, · · · , r. XJg(θ) kH(µt2 , · · · , µtr ) /G, =Üα1 Ã', K(3.15)E§·, êIr(3.16)™§(½b 2 Uè Pr i=2 Pr j=2 σijHiHj =å. ~8. UYƒ~3.2.5.O˛g(θ) 膛β1 ,¸›β2 ⁄C…XÍV,Ÿ›O˛d~3.2.6å è βˆ 1 = mn3 m 3/2 n2 , βˆ 2 = mn4 m2 n2 , Vˆ = √ mn2 X. ¯ ?ÿßÇÏC5. ) U(3.15) ⁄(3.16)™, È˘ná›O˛©Oéb 2 Éäè b 2 (β1 ) = 6, b2 (β2) = 24, b2 (V ) = V 2 2 + V 4 . u¥ä‚½n3.2.3k √ n(βˆ 1 − β1 ) L −→ N(0, 6), √ n(βˆ 2 − β2) L −→ N(0, 24), √ n(Vˆ − V ) L −→ N 0, V 2 2 + V 4 . ä5ø¥βˆ 1 , βˆ 2 4Å©Ÿê ÜOÎÍäÃ', ˘:Èβ1 , β2 å ̉ k^. 10