Lecl0:假设检验（二） 张伟平 2011年4月18日 1非正态总体下参数的检验 1.1指数分布参数的检验 设X1,·,X为从期望是1/A的指数分布总体中抽取的简单样本，考虑如下三种形式的假 设检验问题： 1.H0:入≥0分H1:入A0 3.H:入=0台H:入≠0 注意到空X是参数的充分统计量，及参数1/八的无偏估计为X而且2以公X:~X。因此， 1 对检验假设问题1，一个合理的检验为 n b:当X:>c时，拒绝Ho,不然就接受 i=1 其功效函数为 B()=P(∑X:>c)=P2∑X>2AC) i=1 1 为A的减函数。故欲使上式小于等于a,只需B,(o)=a,从而c=六X2(2n。因而所求的检 验为 1 :当∑X:>2六2(2m)时，拒绝H,不然就接受 i=1 类似可以得到2,3的检验为 :当空X<式足2时，拒绝6，不然欲接受 i=1 花
Lec10: bu() ‹ï² 2011 c 4 18 F 1 öoNeÎÍu 1.1 çÍ©ŸÎÍu X1, · · · , Xnèlœ"¥1/λçÍ©ŸoN•ƒ{¸ ߃Xen´/™b uØKµ 1. H0 : λ ≥ λ0 ↔ H1 : λ λ0 3. H00 0 : λ = λ0 ↔ H00 1 : λ 6= λ0 5ø Pn i=1 Xi¥ÎÍλø©⁄O˛ß9ÎÍ1/λÆOèX¯ Ö2λ Pn i=1 Xi ∼ χ 2 2n"œdß ÈubØK1ßòá‹nuè φ : Xn i=1 Xi > cûß·˝H0, ÿ,“… ŸıºÍè βφ(λ) = P( Xn i=1 Xi > c) = P(2λ Xn i=1 Xi > 2λc) èλ~ºÍ"ñ¶˛™u uαßêIβφ(λ0) = αßl c = 1 2λ0 χ 2 α(2n)"œ §¶u è φ : Xn i=1 Xi > 1 2λ0 χ 2 α(2n)ûß·˝H0, ÿ,“… aqå±2ß3uè φ 0 : Xn i=1 Xi < 1 2λ0 χ 2 1−α(2n)ûß·˝H0 0 , ÿ,“… ⁄ φ : Xn i=1 Xi < 1 2λ0 χ 2 1−α/2 (2n) ½
X>2X2/22n)时，拒绝，不然就 1 =1 在指数总体中，我们更感兴趣的是如下两种类型的截尾： (a)定数截尾 以实例说明。假设某种电子元件的寿命服从指数分布，抽取个元件测其寿命。试验前定 下一个自然数rc时，拒绝Ho,不然就接受 为确定常数c,需要知道统计量T=∑=1X句+(n-r)X()的分布。作变换 Yi=nX(1),Y=(m-i+1)(X()-X(a-1),i=2,…,n. 则由X(),…,X(m)的联合pdf f(xr:)=nlre-A∑-oI(00，i=1,…,n) 即Y,…,Y相互独立且服从都服从指数分布。而T=∑=1Y,因此有2AT~X2。从而类似 于前面的处理方法可以得到c=X2(2r)/2入0，故检验φ为 1 :当∑X0+a-r)X>2六22r)时，拒绝o,不然就接受 i=1 类似可以得到2,3的检验为 。:当X0+a-rX<六子2)时，拒给6不然肤接受 =1 和 :当店x和+a-nx<克号aele减 2
Xn i=1 Xi > 1 2λ0 χ 2 α/2 (2n)ûß·˝H00 0 , ÿ,“… 3çÍoN•ß·Çça,¥Xe¸´a. óµ (a) ½Í ó ±¢~`²"b,´>fáÆ·—lçÍ©ŸßƒnááˇŸÆ·"£c½ eòág,Ír cûß·˝H0, ÿ,“… è(½~ÍcßIá⁄O˛T = Pr i=1 X(i) + (n − r)X(r)©Ÿ"äCÜ Y1 = nX(1), Yi = (n − i + 1)(X(i) − X(i−1)), i = 2, · · · , n. KdX(1), · · · , X(n)È‹pdf f(x; λ) = n!λ n e −λ Pn i=1 x(i) I(0 0, i = 1, · · · , n) =Y1, · · · , YnÉp’·Ö—l——lçÍ©Ÿ" T = Pr i=1 Yißœdk2λT ∼ χ 2 2r"l aq uc°?nê{å±c = χ 2 α(2r)/2λ0ßuφè φ : Xr i=1 X(i) + (n − r)X(r) > 1 2λ0 χ 2 α(2r)ûß·˝H0, ÿ,“… aqå±2ß3uè φ 0 : Xr i=1 X(i) + (n − r)X(r) < 1 2λ0 χ 2 1−α(2r)ûß·˝H0 0 , ÿ,“… ⁄ φ 00 : Xr i=1 X(i) + (n − r)X(r) < 1 2λ0 χ 2 1−α/2 (2r)½ 2
∑Xo+n-rXo>2六22 时，拒绝H,不然就接受 (b)定时截尾 与定数截尾相对的就是定时截尾，即在试验前，事先确定一个时间T6,当实验进行到o时 刻就停止整个试验。把到这时为止全部个元件的寿命加起来记为T*，算法为：当某个元件在 时刻T之前的某个时刻t失效，则该元件的寿命就是t,若到了T6时刻该元件还没有失效，则该 元件的寿命就记为T。显然，平均寿命越大，则T越倾向于取较大的值。于是对假设检验问 题1，一个合理的检验可以取为 中：当T*>c时，拒绝Ho,不然就接受 可以证明，近似地有2入T~X经u+1,这里u是到时刻T为止时失效的个数。因此假设1-3的检验 为 :当7>品云u+1)时，拒绝团，不然就接受 类似可以得到2,3的检验为 。:当T元e2u+到 时，拒绝，不然就接受 1.2二项分布参数p的检验 设某个事件在一次试验中发生的概率为P,p未知。作次独立的试验，每次观察该事件是 否发生。以X记该事件发生的总次数，则X~B(n,p),根据X去检验如下的假设： 1.H0:p≤PoHH1:p>P0 2.H6:p≥P0+H:pc时，拒绝Ho,不然就接受 其功效函数为 =Px>9-I-w≤=1-三(Og 3
Xr i=1 X(i) + (n − r)X(r) > 1 2λ0 χ 2 α/2 (2r) ûß·˝H00 0 , ÿ,“… (b) ½û ó Ü½Í óÉÈ“¥½û óß=3£cßØk(½òáûmT0ߢ?1t0û è“ éá£"r˘ûèé ‹n ááÆ·\Â5PèT ∗ßé{èµ,áá3 ûèT0Éc,áûètîßKTáÆ·“¥tße T0ûèTáÑvkîßKT áÆ·“PèT0"w,ß²˛Æ·åßKT ∗ñïuåä"u¥ÈbuØ K1ßòá‹nuå±è φ : T ∗ > cûß·˝H0, ÿ,“… å±y²ßCq/k2λT ∗ ∼ χ 2 2u+1ߢpu¥ûèT0èéûîáÍ"œdb1-3u è φ : T ∗ > 1 2λ0 χ 2 α(2u + 1)ûß·˝H0, ÿ,“… aqå±2ß3uè φ 0 : T ∗ 1 2λ0 χ 2 α/2 (2u + 1) ûß·˝H00 0 , ÿ,“… 1.2 ë©ŸÎÍpu ,áØá3òg£•u)V«èpßpô"äng’·£ßzg* TØᥠƒu)"±XPTØáu)ogÍßKX ∼ B(n, p)ßä‚XuXebµ 1. H0 : p ≤ p0 ↔ H1 : p > p0 2. H0 0 : p ≥ p0 ↔ H0 1 : p cûß·˝H0, ÿ,“… ŸıºÍè βφ(p) = P(X > c) = 1 − P(X ≤ c) = 1 − Xc i=0 n i p i q n−i 3
注意到P(X≤月=n-6-Pt(1-t)m-k-1dt,即B,(p)为p的增函数。因此欲使上式小 于等于a,只需B.(po)=a。即 此方程往往没有整数解，较常见的是存在c0,使得 ()1-a芝(（0e 这时，一个经常采用的检验是 φ： 当X≤co时，接受Ho 当X>c0+1时，拒绝Ho: 当X=co+1时，需要协商 (即再作随机试验或者按照某种都同意的准则)。 类似的对假设2和3，可以得到一个检验为 ':当X≥c时，接受H6,不然就拒绝 其中c由 c-1 n Pogo-i =a =0 确定。 o”:当c1≤X≤c2时，接受H,不然就拒绝 其中c1,c2由 三间+三（月-a 确定。常常令 三（日eg 三（目= 以定出c1,c2 1.3 Poisson总体参数的检验 对Poisson总体参数的检验，完全类似于二项分布总体参数的检验。考虑如下三种形式的假 设 1.H0:入≤入0+H1:入>入0 4
5øP(X ≤ k) = n! k!(n−k−1)! R 1−p 0 t k (1 − t) n−k−1dtß=βφ(p)èpOºÍ"œdñ¶˛™ u uαßêIβφ(p0) = α"= Xc i=0 n i p i 0 q n−i 0 = 1 − α dêß vkÍ)ß~Ñ¥3c0߶ Xc0 i=0 n i p i 0 q n−i 0 c0 + 1ûß·˝H0; X = c0 + 1ûßIá˚ (=2äëÅ£½ˆUÏ,´—”øOK)" aqÈb2⁄3ßå±òáuè φ 0 : X ≥ cûß…H0 0 , ÿ,“·˝ Ÿ•cd Xc−1 i=0 n i p i 0 q n−i 0 = α (½" φ 00 : c1 ≤ X ≤ c2ûß…H00 0 , ÿ,“·˝ Ÿ•c1, c2d cX1−1 i=0 n i p i 0 q n−i 0 + Xn i=c2+1 n i p i 0 q n−i 0 = α (½"~~- cX1−1 i=0 n i p i 0 q n−i 0 = α/2 Xn i=c2+1 n i p i 0 q n−i 0 = α/2 ±½—c1, c2" 1.3 PoissonoNÎÍu ÈPoissonoNÎÍuß aquë©ŸoNÎÍu"ƒXen´/™b 1. H0 : λ ≤ λ0 ↔ H1 : λ > λ0 4
2.H:入≥λ0+H1:入c时，拒绝Ho,不然就接受 其功效函数为 %(A)=PX>c)=1-2Ie 注意到P(K≤)=若e-td,所以B。(A)为A的增函数。从而欲使B。(A)≤a对任意的入≤ Xo成立，只需B。(o)=a,即 2e0=1-a i=1 若方程有整数解，则可以定出c,检验也就完全确定了。但是此方程也是往往没有整数解，常 见的是存在整数co,满足 wco+1时，拒绝Ho: 当X=c0+1时，需要协商 (即再作随机试验或者按照某种都同意的准则)。 类似的对假设2和3，可以得到一个检验为 ':当Xc2时，拒绝H,不然就接受 其中c1,c2由 从ea+Le-0=四 i=c2+1 确定。常常令 -a12 5
2. H0 0 : λ ≥ λ0 ↔ H0 1 : λ cûß·˝H0, ÿ,“… ŸıºÍè βφ(λ) = P(X > c) = 1 − Xc i=1 λ i i! e −λ 5øP(X ≤ k) = R ∞ λ t k k! e −tdtߧ±βφ(λ)èλOºÍ"l ñ¶βφ(λ) ≤ αÈ?øλ ≤ λ0§·ßêIβφ(λ0) = α,= Xc i=1 λ i 0 i! e −λ0 = 1 − α eêßkÍ)ßKå±½—cßuφè“ (½ "¥dêßè¥ vkÍ)ß~ Ñ¥3Íc0ߘv Xc0 i=1 λ i 0 i! e −λ0 c0 + 1ûß·˝H0; X = c0 + 1ûßIá˚ (=2äëÅ£½ˆUÏ,´—”øOK)" aqÈb2⁄3ßå±òáuè φ 0 : X c2ûß·˝H00 0 , ÿ,“… Ÿ•c1, c2d cX1−1 i=0 λ i 0 i! e −λ0 + Xn i=c2+1 λ i 0 i! e −λ0 = α (½"~~- cX1−1 i=0 λ i 0 i! e −λ0 = α/2 5
e-0=a2 i=c2+1 以定出c1,c2 1.4极限分布为正态分布的检验* 当样本容量计较大，这个时候我们可以根据中心极限定理，对参数进行检验。这种方法 称为“大样本检验方法”。我们举几个例子说明。 l.Behrens-Fisher问题 例1.[Behrens-Fisher Problem]设X1,·,Xn和Yi,…,Ym为分别来自正态总体N(01,o)和N(O2,o), 且两组样本独立。91,02，o1,σ2都未知.要检验假设H0:01=02H1:01≠02 解：由于 x--(0-2）N0,1) √兵+照 中含有未知参数σ，号，故不能从上式确定临界值。于是以S吳来估计σ和S学来估计σ，根据 大数律，当n,m较大时，有 x--(0-2）AN0,1) √堡+器 于是，我们得到假设Ho的拒绝域为 -/n+/m uo12- 例2.考虑二项分布参数p的检验：H0:p=p0,当n很大时，c1,c2无法从二项分布表上查到。但 根据中心极限定理，当原假设p=p0成立且n足够大时，有(X-npo)/Vmpo9~AN(0,1),因 此可以提出如下的检验：当 X -npol/Vnpogo ua/2 时拒绝H0,不然就接受。这等于用上述不等式的两端的值作为c1,c2的值。这两个值比c1,c2的 确切值要容易计算的多。 大样本检验方法是不得已而用的方法。 从本质上讲，这里用的大样本方法仍然是需要从直观上给出检验形式的。直接从数学推导 上得到检验的方法还有Bays方法和似然比检验方法等，此处我们简单介绍一下似然检验比方 法。 2.二项分布和Poisson分布参数的大样本检验 设X,X。id~1,刊显见T=含X~M以考虑下列检验同图： H。:p=P。←→H1:p≠po (1.1) 6
Xn i=c2+1 λ i 0 i! e −λ0 = α/2 ±½—c1, c2" 1.4 4Å©Ÿè©Ÿu* N˛nOåߢáûˇ·Çå±ä‚•%4ŽnßÈÎÍ?1u"˘´ê{ °è/å uê{0"·ÇfiAá~f`²" 1. Behrens-Fisher ØK ~1. [Behrens-Fisher Problem] X1, · · · , Xn⁄Y1, · · · , Ymè©O5goNN(θ1, σ2 1 )⁄N(θ2, σ2 2 )ß Ö¸| ’·"θ1, θ2, σ2 1 , σ2 2—ô"áubH0 : θ1 = θ2 ↔ H1 : θ1 6= θ2" )µdu X¯ − Y¯ − (θ1 − θ2) q σ 2 1 n + σ 2 2 m ∼ N(0, 1) •¹kôÎÍσ 2 1 , σ2 2ßÿUl˛™(½.ä"u¥±S 2 X5Oσ 2 1⁄S 2 Y 5Oσ 2 2ßä‚ åÍÆßn, måûßk X¯ − Y¯ − (θ1 − θ2) qS2 X n + S2 Y m ∼ AN(0, 1) u¥ß·ÇbH0·˝çè |X¯ − Y¯ | .q S 2 X/n + S 2 Y /m > uα/2. ~2. ƒë©ŸÎÍpu: H0 : p = p0ßnÈåûßc1, c2Ã{lë©ŸL˛" ä‚•%4Žnßbp = p0§·Önv åûßk(X − np0)/ √np0q0 ∼ AN(0, 1)ßœ då±J—Xeuµ |X − np0|/ √ np0q0 > uα/2 û·˝H0ßÿ,“…"˘ u^˛„ÿ ™¸‡ääèc1, c2ä"˘¸áä'c1, c2 (ÉäáN¥Oéı" å uê{¥ÿÆ ^ê{" l ü˛˘ß˘p^å ê{E,¥IálÜ*˛â—u/™"ÜlÍÆÌ ˛uê{ÑkBayesê{⁄q,'uê{ ßd?·Ç{¸0 òeq,u'ê {" 2. ë©Ÿ⁄Poisson©ŸÎÍå u X1, . . . , Xn i.i.d. ∼ b(1, p), wÑT = Pn i=1 Xi ∼ b(n, p), ƒeuØK: H0 : p = p0 ←→ H1 : p 6= p0 (1.1) 6
此处p,和检验水平a给定. 由独立同分布场合的中心极限定理可知：(T-np)/Vnm(1-刀乡N(0,1),当n-一o∞时， 故当Ho成立，即p=P。时有 U= T-npo Vnpo(1-Po) 乡N(0,1),当n-→∞时 因此取U作为检验统计量.当较大时，U可以近似认为服从N(O,1)分布.由U检验法可知检验问 题(1.1)水平近似为α的否定域为 D=(X1.....Xn):IT-npol/Vnpo(1-Po)>uop2 类似可求两个单边检验问题 H6:p≤p0←→H!:p>Po H:p≥p0←→H”:pu2} 类似方法可求关于入的两个单边检验问题 H6:入≤入。←→H:入>入 H6:入≥入。←→H":入<入 的大样本检验， 下面考虑两样本检验问题.设X1,,Xmii.d.~b(1,P),i,,Ynii.d.~b(1,P2),且合样 本X1,,Xm,Y,.,Yn相互独立.求下列检验问题： H。:P2-P1=0←→H1:P2-P1≠0 (1.3) 检验水平a给定. 记灭和亚分别为两组样本的均值.由中心极限定理可知 灭-Y-(P2-p】 乡N0,1),当n,m-→0时. vp(1-p)/m+P2(1-p2)/m 7
d?p0⁄uY²αâ½. d’·”©Ÿ|‹•%4Žnå: (T − np)/ p np(1 − p) L −→ N(0, 1), n −→ ∞û, H0§·, =p = p0ûk U = p T − np0 np0 (1 − p0 ) L −→ N(0, 1), n −→ ∞û œdUäèu⁄O˛. nåû, Uå±Cq@è—lN(0, 1)©Ÿ. dUu{åuØ K(1.1)Y²Cqèჽçè D = n (X1, . . . , Xn) : |T − np0 |/ p np0 (1 − p0 ) > uα/2 o aq嶸á¸>uØK H0 0 : p ≤ p0 ←→ H0 1 : p > p0 H00 0 : p ≥ p0 ←→ H00 1 : p uØK(1.2)Y²Cqèჽçè D = {(X1, . . . , Xn) : |T − nλ0 | p nλ0 > uα/2} aqê{å¶'uλ¸á¸>uØK H0 0 : λ ≤ λ0 ←→ H0 1 : λ > λ0 H00 0 : λ ≥ λ0 ←→ H00 1 : λ < λ0 å u. e°ƒ¸ uØK. X1, . . . , Xm i.i.d. ∼ b(1, p1 ), Y1, . . . , Yn i.i.d. ∼ b(1, p2 ),Ö‹ X1, . . . , Xm, Y1, . . . , YnÉp’·. ¶euØK: H0 : p2 − p1 = 0 ←→ H1 : p2 − p1 6= 0 (1.3) uY²αâ½. PX¯⁄Y¯©Oè¸| ˛ä. d•%4Žnå X¯ − Y¯ − (p2 − p1 ) p p1 (1 − p1 )/m + p2 (1 − p2 )/n L −→ N(0, 1), n, m −→ ∞ û. 7
当H。成立时，即p,=P2=p时，将p用合样本估计，即取 p=m+n x+) 则有 - U*= mm乡N(0,1,当m,n-→o时. Vi(1-p)Vm+n 因此取U*为检验统计量，当m,n都较大时，U可认为近似服从N(O,1)分布.由U检验法得到双边 检验问题(1.3)的检验水平近似为α的否定域为 D={(X1,,Xm,Yi,,Yn):|U1>a/2} 还可以用类似方法讨论下列两个单边检验问题 H6:P2≤P1←→H:P2>p H:P2≥p1→H":P2%或H0:0≥ o←→H1:6<o的检验问题.下面通过例子来说明. 例5.3.1设X1,,Xn为自正态总体N(μ，o)抽取的随机样本.4，o2皆未知，要分别 求4和σ2的置信系数为1-α的置信区间和置信上、下限. 先考虑μ的置信区间和置信上、下限问题.在$5.2中已给出假设 8
H0§·û, =p1 = p2 = pû, Úp^‹ O, = pˆ = 1 m + n Xm i=1 Xi + Xn j=1 Yj Kk U ∗ = X¯ − Y¯ p pˆ(1 − pˆ) r mn m + n L −→ N(0, 1), m, n −→ ∞ û. œdU ∗èu⁄O˛, m, n—åû, Uå@èCq—lN(0, 1)©Ÿ. dUu{V> uØK(1.3)uY²Cqèჽçè D = {(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn) : | U ∗ | > uα/2}. Ñå±^aqê{?ÿe¸á¸>uØK H0 0 : p2 ≤ p1 ←→ H0 1 : p2 > p1 H00 0 : p2 ≥ p1 ←→ H00 1 : p2 uØK H0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ 6= θ0 . ¶—Y²èα ƒ½çD,…çèD, ¯ K7k P(D¯|H0) = 1 − α, (2.1) dD¯(½ÿ ™Xeÿ ™: ˆθ1(X) 6 θ0 6 ˆθ2(X), du(2.1)¥3^á“H0 : θ = θ0”e§ ·,Uθ0 èθ ˆθ1(X) 6 θ 6 ˆθ2(X), K[ ˆθ1(X), ˆθ2(X)]=觶ò&XÍè1 − α ò&´m. eá¶θ ò&˛!eÅ, “Iჸ>u H0 : θ 6 θ0 ←→ H1θ > θ0 ½H0 : θ > θ0 ←→ H1 : θ < θ0 uØK. e°œL~f5`². ~5.3.1 X1, . . . , Xn ègoNN(µ, σ2 ) ƒëÅ . µ, σ2ô, á©O ¶µ ⁄σ 2 ò&XÍè1 − α ò&´m⁄ò&˛!eÅ. kƒµ ò&´m⁄ò&˛!eÅØK. 3§5.2 •Æâ—b 8
H0:μ=0←→H1:4≠40 的水平为a的检验的否定域 D={(X1,...Xn):T>tn-1(a/2)}, 其中T=√元(-o)/S.记0=(，o2),故有P(T>tn-1(a/2)川Ho)=a.等价地，对接受域D 有 Pa(lv元(r-4o)/Sl≤tn-1(a/2)|H)=1-a. (2.2) 由于上述等式是在条件Ho成立，即μ=o时获得的，因此我们将下面出现的所有o用μ代替是等 价的.解(2.2)括号中的不等式得Ho成立的条件下有μ=40,4 -a/2)≤u≤+ r、S Van-1(a/2) 因此 [下-tn-1(a/2),+ntn-1(a/2] 即为μ的置信系数为1-a的置信区间. 若要求μ的置信下限，则考虑检验问题 H0:μ≤0←→H1:μ>0： 在S5.2中已给出水平为a的否定域D={(X1,,Xn):T>tn-1(a)},其接受域 D={(X1,...,Xn):Ttn+m-2(号}， 9
H0 : µ = µ0 ←→ H1 : µ 6= µ0 Y²èαuƒ½ç D = {(X1, . . . , Xn) : |T| > tn−1(α/2)}, Ÿ•T = √ n(X¯ − µ0)/S.Pθ = (µ, σ2 ), kPθ(|T| > tn−1(α/2)| H0) = α. d/, È…ç D¯ k Pθ(| √ n(X¯ − µ0)/S| 6 tn−1 (α/2) | H0) = 1 − α. (2.2) du˛„ ™¥3^áH0§·, =µ = µ0ûº, œd·ÇÚe°—y§kµ0^µìO¥ d. )(2.2))“•ÿ ™H0§·^áekµ = µ0 , µ X¯ − S √ n tn−1(α/2) 6 µ 6 X¯ + S √ n tn−1(α/2) œd X¯ − √ S n tn−1(α/2), X¯ + √ S n tn−1(α/2) =èµò&XÍè1 − α ò&´m. eᶵ ò&eÅ, KƒuØK H0 : µ 6 µ0 ←→ H1 : µ > µ0. 3§5.2•Æâ—Y²èα ƒ½çD = {(X1, . . . , Xn) : T > tn−1(α)}, Ÿ…ç D¯ = {(X1, . . . , Xn) : T 6 tn−1(α)} . œdk Pθ √ n(X¯ − µ0)/S 6 tn−1(α)| H0 = 1 − α ))“•ÿ ™ X¯ − S √ n tn−1(α) 6 µ0, 2Uµ0 èµ X¯ − √ S n tn−1(α) ≤ µ tn+m−2( α 2 )}, 9
其中检验统计量为 T=-V, 此处S品=+m-(m一1)S+(n-1)S引，而S和S号分别为两组样本的样本方差.若记9= (41,2,o2),则有P(T>tn+m-2(a/2)1Ho)=a.类似于上例的讨论，对接受域D有 7--0 mn P ≤tm+n-2(a/2)Ho =1-a, (2.3) m+n 解(2.3)括号中的不等式得到 7-元-Swtn+m-2 )+≤≤-+sam-:()+月 在H0成立的前提下，可改上式中的0为4，因此4=2一山1的置信系数为1一a的置信区间为 --shm-()V+-x+am-(份)V+周 类似方法求得μ=2-山1的置信系数为1-a的置信下、上限分别为7-X-Stn+m-2(a)V合+员 和7-+5wtn+m-2(a)√合+ 这里我们假定了两总体有相同的方差σ2.若去掉这一假设，假定两总体的方差分别为σ子 和o,则就得到著名的Behrens--Fisher问题，由S5.2中第五部分中给出的Behrens-.Fisher问题的 大样本检验方法和一个小样本的近似方法，用类似的方法也同样可以得到一个近似的Behrens- Fisher问题的区间估计形式（这已在S4.2中讨论过，从略）. 两正态总体方差比的置信区间和置信上、下限如何通过假设检验方法的得到，留给读者作 练习. 二、如何由置信区间得到假设检验 若我们用某种方法建立了0的置信水平为1-α的区间估计日1，]，对给定的o不难求出 检验问题H0:0=%←→H1:0≠0的一个水平为a的检验.事实上，一个简单方法就是 若0o∈01,02]则接受Ho,否则就拒绝Ho 类似方法可由置信系数为1-α的置信上、下限求出检验问题H6:0≥%←→H:9o的水平为a的检验. 三、假设检验和区间估计的比较 与点估计和假设检验比较，区间估计这一推断形式有一个显著的特点，即它的精确度（一般 可用区间的长度刻画)和可靠度（用其置信系数刻画）一目了然.点估计不具备这个特点，才促使 人们考虑区间估计.而且区间估计可以在精确度、可靠度和样本大小之间调整，以达到预先指 定的要求.而假设检验提供的信息不如区间估计确切，请看下例： 设从正态总体N(μ，σ)中抽取一定大小的样本去检验假设H0:μ=0←→H1:4≠0.结果 假设被接受了.如我们在§51中所述，这并不意味着“证明”了4=0.假如我们只知道μ=0被 10
Ÿ•u⁄O˛è T = Y¯ −X¯−µ0 Sw q mn m+n , d?S 2 w = 1 n+m−2 [(m − 1)S 2 1 + (n − 1)S 2 2 ], S 2 1⁄S 2 2©Oè¸| ê . ePθ = (µ1, µ2, σ2 ),KkPθ(|T| > tn+m−2(α/2)| H0) = α. aqu˛~?ÿ, È…çD¯ k Pθ Y¯ − X¯ − µ0 Sw r mn m + n 6 tm+n−2(α/2) H0 = 1 − α, (2.3) )(2.3))“•ÿ ™ Y¯ − X¯ − Sw tn+m−2 α 2 r 1 m + 1 n 6 µ 6 Y¯ − X¯ + Sw tn+m−2 α 2 r 1 m + 1 n 3H0 §·cJe, åU˛™•µ0 èµ, œdµ = µ2 − µ1 ò&XÍè1 − α ò&´mè Y¯ − X¯ − Sw tn+m−2 α 2 r 1 m + 1 n , Y¯ − X¯ + Sw tn+m−2 α 2 r 1 m + 1 n aqê{¶µ = µ2−µ1 ò&XÍè1−α ò&e!˛Å©OèY¯−X¯−Sw tn+m−2(α) q 1 m + 1 n ⁄Y¯ − X¯ + Sw tn+m−2(α) q 1 m + 1 n . ˘p·Çb½ ¸oNkÉ”ê σ 2 . eK˘òb, b½¸oNê ©Oèσ 2 1 ⁄σ 2 2 , K“Õ¶Behrens-FisherØK, d§5.2•1 ‹©•â—Behrens-Fisher ØK å uê{⁄òá Cqê{, ^aqê{è”å±òáCqBehrensFisherØK´mO/™(˘Æ3§4.2•?ÿL, l—) . ¸oNê 'ò&´m⁄ò&˛!eÅX¤œLbuê{, 3â÷ˆä ˆS. !X¤dò&´mbu e·Ç^,´ê{Ô· θ ò&Y²è1 − α ´mO[θb1, θb2], Èâ½θ0 ÿJ¶— uØKH0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ 6= θ0 òáY²èα u. Ø¢˛, òá{¸ê{“¥ eθ0 ∈ [θb1, θb2] K…H0, ƒK“·˝H0. aqê{ådò&XÍè1 − α ò&˛!eŶ—uØKH0 0 : θ > θ0 ←→ H0 1 : θ θ0 Y²èα u. n!bu⁄´mO' Ü:O⁄bu', ´mO˘ò̉/™kòáwÕA:, =ß°(› (òÑ å^´m›èx) ⁄åÇ›(^Ÿò&XÍèx) ò8 ,. :Oÿ‰˘áA:, ‚r¶ <ǃ´mO. Ö´mOå±3°(›!åÇ›⁄ ånÉmN, ±à˝kç ½á¶. buJ¯&EÿX´mO(É, ûwe~: loNN(µ, σ2 ) •ƒò½å ubH0 : µ = 0 ←→ H1 : µ 6= 0. (J b… . X·Ç3§5.1•§„, ˘øÿøõX/y²0 µ = 0. bX·Çêµ = 0 10