Lecl1:假设检验（三） 张伟平 2011年4月28日 1一致最优检验与无偏检验 一、引言及定义 设有样本X,它取值于样本空间见，X的分布属于分布族{F,0∈日}，日为参数空间. 如S5.1所述，参数0的假设检验问题可以表成如下的一般形式 H0:0∈Θ0←→H1:0∈Θ1， (1.1) 此处日0为参数空间日的非空真子集，日1=日-Θ0 对检验问题(1.1)可用种种不同方法去检验，这就产生不同检验的比较问题，以及在种种意义 下求“最优”检验问题.这与我们在第三章参数估计问题中，在无偏估计中找一致最小方差无偏 估计的问题完全相似.下面首先给出一致最优检验的定义. 定义5.4.1设有检验问题(1.1)，令0<a<1,记Φ。为(1.1)的一切水平为a的检验的集合 若p∈Φa,且对任何检验p1∈④a有 B(0)≥Bp,(0),H6∈Θ1 (1.2) 则称p为(1.l)的一个水平为a的一致最优检验(Uniformly Most Powerful Test),简称水平 为a的UMP检验.当p为水平a的UMP检验时，它在限制第一类错误概率不超过a的条件下，总 使第二类错误概率达到最小.因此若以错误概率为衡量检验优劣的唯一量度，且接受限制第一 类错误概率的原则，则UMP检验是最好的检验.不过，UMP检验的存在一般是例外而不常见的， 理由如下：若日1不止包含一个点，则当在其中取两个不同点01和02时，为使B。(0)尽可能大的那 种检验p,不见得同时也能使B(02)大.只有在日o和日1都只包含一点时，UMP检验才存在.这就 是下面Neyman-Pearson(简称NP)引理的内容. 二、Neyman-Pearson引理 定理5.4.1(NP基本引理)设样本X的分布有概率函数f(x,),参数9只有两个可能的 值o和91，考虑下列检验问题 H0:09=00←→H1:0=01, (1.3) 则对任给的0<a<1有
Lec11: bu(n) ‹ï² 2011 c 4 28 F 1 òóÅ`uÜÆu ò!⁄Û9½¬ k X, ßäu òm X , X ©Ÿ·u©Ÿx{Fθ, θ ∈ Θ}, ΘèÎÍòm. X§5.1§„, ÎÍθ buØKå±L§XeòÑ/™ H0 : θ ∈ Θ0 ←→ H1 : θ ∈ Θ1, (1.1) d?Θ0 èÎÍòmΘ öò˝f8, Θ1 = Θ − Θ0. ÈuØK(1.1)å^´´ÿ”ê{u, ˘“)ÿ”u'ØK, ±93´´ø¬ e¶/Å`0uØK. ˘Ü·Ç31nŸÎÍOØK•, 3ÆO•ÈòóÅê Æ OØK Éq. e°ƒkâ—òóÅ`u½¬. ½¬5.4.1 kuØK(1.1),-0 < α < 1, PΦαè(1.1)òÉY²èαu8‹. eϕ ∈ Φα, ÖÈ?¤uϕ1 ∈ Φαk βϕ(θ) ≥ βϕ1 (θ), ∀ θ ∈ Θ1 (1.2) K°ϕè(1.1)òáY²èα òóÅ`u (Uniformly Most Powerful Test), {°Y² èαUMPu. ϕèY²αUMPuû, ß3Åõ1òaÜÿV«ÿáLα^áe, o ¶1aÜÿV«àÅ. œde±ÜÿV«èÔ˛u`çò˛›, Ö…Åõ1ò aÜÿV«K, KUMPu¥Å–u. ÿL, UMPu3òÑ¥~ ÿ~Ñ. ndXe: eΘ1ÿéù¹òá:, K3Ÿ•¸áÿ”:θ1⁄θ2û, è¶βϕ(θ1) ¶åUå@ ´uϕ, ÿÑ”ûèU¶βϕ(θ2)å. êk3Θ0⁄Θ1—êù¹ò:û, UMPu‚3. ˘“ ¥e°Neyman-Pearson({°NP)⁄nSN. !Neyman–Pearson⁄n ½n5.4.1 (NPƒ ⁄n) X©ŸkV«ºÍf(x, θ), ÎÍθêk¸áåU äθ0⁄θ1, ƒeuØK H0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ = θ1, (1.3) KÈ?â0 < α < 1k
()存在性.对检验问题(1.7)必存在一个检验函数(x)及非负常数c和0≤r≤1，满足条件 (a) 1,当fx,A1)/f(x,o)>c p(x)= r,当f(x,01)/fx,0o)=c (1.4) 0,当f(x,01)/fx,0o)c 0,当f(x,01)/f(x,0o)≤c 其中c由Eop(X)=P(f(X,01)/f(X,o)>c|Ho)=a来确定 2.从“似然性”的观点去看NP基本引理是很清楚的：对每个样本X,o和01的“似然度” 分别为f(x,o)和f(x,0).比值f(x,)/f(x,o)愈大，就反映在得到样本X时，9愈像0而 非0o,这样的样本X就愈倾向于否定“H0:0=o”的假设. 证（①）先证明存在性：记随机变量f(X,01)/f(X,0o)的分布函数为 G(y)=P(fX,9)/f(X,o)≤，-oc) =1-P(f(X,8)/f(X,o)≤c=1-Gc)=a. (b)若G(c-0)=1-a,则取r=1,此时由(1.4)定义的p(x)满足 E0olp(X)]=1-P(f(X,01)/f(X,0o)<c) =1-Gc-0)=a. 2
(i) 35. ÈuØK(1.7)73òáuºÍϕ(x) 9öK~Íc⁄0 ≤ r ≤ 1, ˜v^á (a) ϕ(x) = 1, f(x, θ1)/f(x, θ0) > c r, f(x, θ1)/f(x, θ0) = c 0, f(x, θ1)/f(x, θ0) c 0, f(x, θ1)/f(x, θ0) ≤ c Ÿ•cdEθ0 ϕ(X) = P(f(X, θ1)/f(X, θ0) > c |H0) = α5(½. 2. l/q,50*:wNPƒ ⁄n¥ÈòŸ: Èzá X, θ0⁄θ1/q,›0 ©Oèf(x, θ0)⁄f(x, θ1). 'äf(x, θ1)/f(x, θ0)ïå, “áN3 Xû, θïîθ1 öθ0, ˘ X“ïñïuƒ½/H0 : θ = θ00b. y (i)ky²35: PëÅC˛f(X, θ1)/f(X, θ0)©ŸºÍè G(y) = P(f(X, θ1)/f(X, θ0) ≤ y), −∞ c = 1 − Pθ0 f(X, θ1) f(X, θ0) ≤ c = 1 − G(c) = α. (b) eG(c − 0) = 1 − α, Kr = 1, dûd(1.4)½¬ϕ(x)˜v Eθ0 [ϕ(X)] = 1 − P f(X, θ1) f(X, θ0) < c = 1 − G(c − 0) = α. 2
(c)若G(c-0)c)+r.P(f(X,01)f(X,0o)c) =1-ce-0)-cg-Gc-0)+-）-cc-0.(cd-cc-0) G(c)-G(c-0) =1-(1-a)=a. 故存在性证毕。 ()再证由(1.4)和(1.5)定义的p(x)有UMP性质.设p1(x)为检验问题(1.7)的任一水平为a的 检验，我们要证明Ea,[(X)】≥E6,【p1(X)小.为此定义样本空间②上的子集： S+={x:p(x)>P1(x)},S-={x:p(x)P1(x)≥0，故由(1.4)可知此时 f(x,9) fx,%)≥c 当x∈S-时有：p(x)0) 3
(c) eG(c − 0) c + r · P f(X, θ1) f(X, θ0) = c = 1 − G(c − 0) − (G(c) − G(c − 0)) + (1 − α) − G(c − 0) G(c) − G(c − 0) · (G(c) − G(c − 0)) = 1 − (1 − α) = α. 35y.. (ii)2yd(1.4)⁄(1.5)½¬ϕ(x)kUMP5ü. ϕ1(x) èuØK(1.7)?òY²èα u, ·Çáy²Eθ1 [ϕ(X)] ≥ Eθ1 [ϕ1(X)]. èd½¬ òm X ˛f8: S + = {x : ϕ(x) > ϕ1(x)}, S− = {x : ϕ(x) ϕ1(x) ≥ 0, d(1.4)ådû f(x, θ1) f(x, θ0) ≥ c; x ∈ S −ûk: ϕ(x) öK, l Ü>èöK, œdk βϕ(θ1) = Z X ϕ(x)f(x, θ1)dx ≥ Z X ϕ1(x)f(x, θ1)dx = βϕ1 (θ1). ˘“y² ϕ(x)è(1.7)Y²èαUMPu. ½ny.. ~5.4.1 X = (X1, · · · , Xn)ègoNN(µ, 1)•ƒëÅ , Ÿ•µô, ¶b uØK H0 : µ = 0 ←→ H1 : µ = µ1 (µ1 > 0) 3
的水平为a的UMP检验.此处1和a给定. 解由NP引理，先求fo(x)和1(x)的表达式： f6(x)= em{2} f(x)=( s)-emm 似然比可表示为 )=亮=即{-听+ 显然当41>0时，(x)为的增函数，故UMP检验的否定域为 D={X:(X)>c))={X:X>A} 当Ho成立时，~N(0,),故由NP引理可知： P(X AHo)=P(vnX >VnA Ho)=a, 其中√元XN(0,1).由V元A=ua→A=u/V元，即检验水平为a的UMP检验的检验函数为 p(x)= 1,当元>ua/V元， 0, 当≤ua/Wi. 可见(x)与1无关，可见上述检验函数(x)也是检验问题 H0:4=0←→H1:4>0 的水平为a的UMP检验. 注5.4.2此例告诉我们：在某些情况下，如果由NP引理得到的UMP检验不依赖于对立假 设的具体值，则可由此得到一个扩大了的，对立假设为复合假设的检验问题的水平为α的UMP检 验 类似本例可以求得检验问题Ho:4=0←→H1:4Po) 的水平为a的UMP检验.此处po,p1和a给定 解由NP引理，先求fo和f1的表达式： f6(x)=p(x,%)=p话1(1-p%m-1 fi(x)=p(x p1)=(I-p)i 记T(x)=∑1x,似然比 A(x)= p(x,P1) -p1 P(1-p0)]Tx p(x,po) 1-p0 po(1-p1) 4
Y²èαUMPu. d?µ1⁄αâ½. ) dNP⁄n, k¶f0(x)⁄f1(x)Là™: f0(x) = (2π) −n/2 exp ( − 1 2 Xn i=1 x 2 i ) , f1(x) = (2π) −n/2 exp ( − 1 2 Xn i=1 (xi − µ1) 2 ) . q,'åL´è λ(x) = f1(x) f0(x) = exp n − 1 2 nµ2 1 + nµ1x¯ o w,µ1 > 0û, λ(x)èx¯OºÍ, UMPuƒ½çè D = {X : λ(X) > c)} = {X : X > A ¯ } H0§·û, X¯ ∼ N(0, 1 n ), dNP⁄nå: P(X > A ¯ |H0) = P( √ nX >¯ √ nA|H0) = α, Ÿ• √ nX¯ ∼ N(0, 1). d √ nA = uα =⇒ A = uα/ √ n, =uY²èαUMPuuºÍè ϕ(x) = ( 1, x > u ¯ α √ n, 0, x¯ ≤ uα √ n. åÑϕ(x)ܵ1Ã', åÑ˛„uºÍϕ(x)è¥uØK H0 : µ = 0 ←→ H1 : µ > 0 Y²èαUMPu. 55.4.2 d~wä·Ç: 3, ú¹e, XJdNP⁄nUMPuÿù6uÈ·b ‰Nä, Kåddòá*å , È·bèE‹buØKY²èαUMPu . aq ~屶uØKH0 : µ = 0 ←→ H1 : µ P0) Y²èαUMPu. d?p0, p1⁄αâ½. ) dNP⁄n, k¶f0⁄f1Là™: f0(x) = p(x, p0) = p Pn i=1 xi 0 (1 − p0) n− Pn i=1 xi f1(x) = p(x, p1) = p Pn i=1 xi 1 (1 − p1) n− Pn i=1 xi PT(x) = Pn i=1 xi , q,' λ(x) = p(x, p1) p(x, p0) = 1 − p1 1 − p0 n p1(1 − p0) p0(1 − p1) T(x) . 4
由于p1>po,1-p0>1-p1,因此p1(1-p0)/p0(1-p1)>1,故A(x)关于T(x)单调增.由 于r.u.T(X)服从离散型分布，故需要随机化.由NP引理可知检验函数为 1. 当T(x)>c (x) T, 当T(x)=c C, 当T(x)a>三(（份)-网-=am 取 Q-Q1 r=©61-0n-e 则必有 Epp(X)】=Pp(T(X)>c)+r·P(T(X)=c=a. 因此p(X)为水平为a的UMP检验 由于上述检验函数p(x)与p1无关，故它也是检验问题 H0:p=po←→H1:p>p0 的水平为a的UMP检验 注5.4.3关于随机化检验问题.本例中当出现T(x)=∑1=c时，先做一个具有成功 率为r的Benoullii试验.若该试验成功，则否定Ho;若不然则接受Ho.如r=号则可通过掷一均匀 硬币，规定出现正面为成功.若掷出正面则否定Ho;若不然则接受Ho: 如我们在55.1中所述，对随机化检验分两步走：（句）首先通过试验获得样本观察，()有了样本 后，当样本出现特殊值（如本例中∑1x=c)需随机化时再作一次试验.试验结果为A或A,发 生概率为P(A)=T,若A发生，则拒绝Ho;否则接受Ho 例5.4.3设X=(X1,·,Xn)是来自均匀分布U(0,),0>0的随机样本，求下列检验问 题 Ho:0=00←→H1:0=01(01>00>0) 的水平为a的UMP检验 解服从均匀分布的样本X的密度函数和似然比分别为 1 fx,)）=0C 0. 当xm≤c 5
dup1 > p0, 1 − p0 > 1 − p1,œdp1(1 − p0)/p0(1 − p1) > 1, λ(x)'uT(x)¸NO. d ur.v. T(X)—ll—.©Ÿ, IáëÅz. dNP⁄nåuºÍè ϕ(x) = 1, T(x) > c r, T(x) = c c, T(x) α > Xn k=c+1 n k p k 0 (1 − p0) n−k = α1. r = α − α1 n c p c 0 (1 − p0) n−c , K7k Ep0 [ϕ(X)] = Pp0 (T(X) > c) + r · Pp0 (T(X) = c) = α. œdϕ(X)èY²èαUMPu. du˛„uºÍϕ(x)Üp1Ã', ßè¥uØK H0 : p = p0 ←→ H1 : p > p0 Y²èαUMPu. 55.4.3 'uëÅzuØK. ~•—yT(x) = Pn i=1 xi = cû, kâòá‰k§ı «èrBenoulli£. eT£§ı, Kƒ½H0; eÿ,K…H0. Xr = 1 2KåœLïò˛! M1, 5½—y°è§ı. eï—°Kƒ½H0; eÿ,K…H0. X·Ç3§5.1•§„, ÈëÅzu©¸⁄r: (i)ƒkœL£º * , (ii)k , —yAœä(X ~• Pn i=1 xi = c) IëÅzû2äòg£. £(JèA½A, ¯ u )V«èP(A) = r, eAu), K·˝H0; ƒK…H0. ~5.4.3 X = (X1, · · · , Xn)¥5g˛!©ŸU(0, θ), θ > 0ëÅ , ¶euØ K H0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ = θ1 (θ1 > θ0 > 0) Y²èαUMPu. ) —l˛!©Ÿ Xó›ºÍ⁄q,'©Oè f(x, θ) = 1 θ n I[0 c; 0, x(n) ≤ c. 5
T=X(m的密度函数为 g=ee 故当H成立时，TX)的密度函数为g,(因)=o%1-a 当Xm≤o1-a 为一个水平为a的UMP检验. 由于此检验p(X)与91无关，故它也是 H0:0=00←→H1:0>% 的水平为a的UMP检验， 注5.4.4由上面三个例子可见UMP检验函数(x)皆为充分统计量的函数，这是否具有普 遍意义呢？我们有下列结论： 设r.v.X的密度函数为f(x,),日∈日为未知参数，X=(X1,·,Xn)为自总体X中抽取的 随机样本，T=T(X)为的充分统计量，则由(1.4)和(1.5)定义的检验函数(x)是充分统计量T的 函数 这一结果的证明并不难，只要利用充分统计量的因子分解定理即可证得 定理5.4.1'(NP基本引理的逆)设样本X的分布有概率函数f(x,),参数0只有两个可能 的值0o和01，考虑下列检验问题 H0:0=00←→H1:0=01, (1.7） 则对任给的0c p(x)= (1.8) 0,当f(x,01)/fx,o)c (x) (1.10) 0, 当f(x,01)/f(x,o)<c 6
T = X(n)ó›ºÍè gθ(t) = ntn−1 θ n I[0 θ0 √n 1 − α; 0, X(n) ≤ θ0 √n 1 − α. èòáY²èαUMPu. duduϕ(X)Üθ1Ã', ßè¥ H0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ > θ0 Y²èαUMPu. 55.4.4 d˛°ná~fåÑUMPuºÍϕ(x)èø©⁄O˛ºÍ, ˘¥ƒ‰k Hø¬Q?·Çke(ÿ: r.v. Xó›ºÍèf(x, θ), θ ∈ Θ èôÎÍ, X = (X1, · · · , Xn)ègoNX•ƒ ëÅ , T = T(X)èθø©⁄O˛, Kd(1.4)⁄(1.5) ½¬uºÍϕ(x)¥ø©⁄O˛T ºÍ. ˘ò(Jy²øÿJ, êá|^ø©⁄O˛œf©)½n=åy. ½n5.4.1’ (NPƒ ⁄n_) X©ŸkV«ºÍf(x, θ), ÎÍθêk¸áåU äθ0⁄θ1, ƒeuØK H0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ = θ1, (1.7) KÈ?â0 c 0, f(x, θ1)/f(x, θ0) c 0, f(x, θ1)/f(x, θ0) < c (1.10) 6
记S+={x:(x)>p(x)},S-={x:(x)0 从而如果P(S)>0,将有 ((x)-p(x))(f(x.0)-cf(x.0)dx= ((x)-(x))(f(x,01)-cf(x,0))dx >0 因此 ((x)-p(x))f(x,01)>cla-Eoop(x)0. Jx 此即B(01)>Be(01),这与p为水平aUMP矛盾.因此有P(S)=0,即⊙和p在{x:f(x,a1)/f(x,o)≠ c}上以概率1相等.于是(a)得证. 对(b),如果E。(X)o或者H0:日≥0←→H1:0<时，且对样本分布 有一定要求时，上述方法才可行.特别当样本分布具有单调似然比性质时，上述两类单边检验 的UMP检验是存在的.下面就来讨论之. 7
PS + = {x : ˜ϕ(x) > ϕ(x)} ,S − = {x : ˜ϕ(x) 0 l XJP(S) > 0, Úk Z χ ( ˜ϕ(x) − ϕ(x))(f(x, θ1) − cf(x, θ0))dx = Z S ( ˜ϕ(x) − ϕ(x))(f(x, θ1) − cf(x, θ0))dx > 0 œd Z χ ( ˜ϕ(x) − ϕ(x))f(x, θ1) > c[α − Eθ0 ϕ(x) ≥ 0. d=βϕ˜(θ1) > βϕ(θ1), ˘ÜϕèY²α UMPgÒ. œdkP(S) = 0, =ϕ˜⁄ϕ3{x : f(x, θ1)/f(x, θ0) 6= c}˛±V«1É . u¥(a)y. È(b), XJEθ0 ϕ(X) , =èH0 : θ ≤ θ0 ←→ H1 : θ > θ0½ˆH0 : θ ≥ θ0 ←→ H1 : θ u UMPu¥3. e°“5?ÿÉ. 7
定义(MLR)称随机变量X的分布f(x,)具有单调似然比性质，如果存在一个实值函 数T(z),使得对任意的000 (1.11) 有下列结论： 定理5.4.2设样本X=(X1,·,Xn)的分布具有MLR性质，参数空间日为R1=(-o,+o∞)的 一 有限或无限区间，o为Θ的一个内点，则检验问题(1.11)的水平为a的UMP检验存在(0c Pa(x) 当T(x)=c (1.12) 0, 当T(x)c)+r.Poo(T(X)=c)=a (1.13) 证 任取01>o,首先考虑检验问题 H%:0=00←→H1:9=9 (1.14) 有似然比 A(x)=f8) f(x,o) 由MLR性质，λ(x)为T(x)的非降函数因此由NP引理可知检验问题(1.14)的UMP检验函数为 1,当λ(x)>c 1,当T(x)>c o(x) T, 当λ(x)=C (x) T, 当T(x)=c 0,当A(x)c)+rP0o(T(X)=c)=a 由于c和r与01无关，故由(1.12)和(1.13)确定的检验函数p(x)也是下述检验问题 H6:0=00←→H1:0>o 的水平为a的UMP检验. 我们只要证明p(x)作为检验问题(1.11)的检验，具有水平α，即可完成证明.为此我们只需证 明(x)的功效函数3，()是的单调增函数即可.下面我们来证明这一事实. 8
½¬ (MLR) °ëÅC˛X©Ÿf(x, θ)‰k¸Nq,'5ü, XJ3òá¢äº ÍT(x), ¶È?øθ uØK H0 : θ ≤ θ0 ←→ H1 : θ > θ0 (1.11) ke(ÿ: ½n5.4.2 X = (X1, · · · , Xn)©Ÿ‰kMLR5ü, ÎÍòmΘèR1 = (−∞, +∞) òkŽÃÅ´m, θ0èΘòáS:, KuØK(1.11)Y²èαUMPu3(0 c r, T(x) = c 0, T(x) c) + r · Pθ0 (T(X) = c) = α (1.13) y ?θ1 > θ0, ƒkƒuØK H0 o : θ = θ0 ←→ H0 1 : θ = θ1 (1.14) kq,' λ(x) = f(x, θ1) f(x, θ0) . dMLR5ü,λ(x)èT(x)ö¸ºÍœddNP⁄nåuØK(1.14)UMPuºÍè ϕ(x) = 1, λ(x) > c0 r, λ(x) = c 0 0, λ(x) c r, T(x) = c 0, T(x) c) + rPθ0 (T(X) = c) = α duc⁄rÜθ1Ã', d(1.12)⁄(1.13)(½uºÍϕ(x) è¥e„uØK H0 0 : θ = θ0 ←→ H0 1 : θ > θ0 Y²èαUMPu. ·Çêáy²ϕ(x)äèuØK(1.11)u, ‰kY²α, =å§y². èd·ÇêIy ²ϕ(x)ıºÍβϕ(θ)¥θ¸NOºÍ=å. e°·Ç5y²˘òØ¢. 8
任取9f(x,8)}以及supp(x)= a,infp(x)=b,注意到p(x)为T(x)的非降函数，于是b-a≥0.所以 月，(0-6(8）=/p6xf6x,的）-f6x1 ≥a/f6x)-fx,0"小ax+berx,0-fx,0'Ia =(6-a)fx,-fx,]dx≥0， 即B(0")>B(0),对任给的9">成立，这就证明了B()为0的单调增函数，故有 sup Be(0)0和Q()为的严格增函数，T(x)和h(x)是样本x的函数.则f(x,9)具有单调似 然比性质，于是定理5.4.2成立.若Q()为的严格降函数，其余不变，则检验问题(1.11)的水 平为a的UMP检验，需要通过将(1.12)和(1.13)式中的不等号反向（等号不变），即可得到. 考虑与(1.11)相反的单边检验问题 H0:8≥o←→H1:8c 其中c和r(0≤r≤1)满足条件： Poo(T(X)0o的UMP检验，此处9o和检验水平aα给定. 9
?θ 0 f(x, θ0 )} ±9sup A ϕ(x) = a, inf B ϕ(x) = b, 5øϕ(x)èT(x)ö¸ºÍ, u¥b − a ≥ 0. §± βϕ(θ 00) − βϕ(θ 0 ) = Z X ϕ(x)[f(x, θ00) − f(x, θ0 )]dx ≥ a Z A [f(x, θ00) − f(x, θ0 )]dx + b Z B [f(x, θ00) − f(x, θ0 )]dx = (b − a) Z B [f(x, θ00) − f(x, θ0 )]dx ≥ 0, =βϕ(θ 00) > βϕ(θ 0 ), È?âθ 00 > θ0§·, ˘“y² βϕ(θ)èθ¸NOºÍ, k sup θ≤θ0 βϕ(θ) ≤ βϕ(θ0) = Eθ0 [ϕ(X)] = α œdd(1.12)⁄(1.13)(½ϕ(X)èuØK(1.11) Y²èαUMPu. ½ny.. 55.4.5 1. 3½n5.4.2•e ©Ÿ¥ÎY.©Ÿ, KUMPuÿIáëÅz. uØK(1.11) Y²èαUMPu, œL(1.12)⁄(1.13)•-r = 0º. 2. AO ©ŸèXeçÍxû, f(x, θ) = c(θ) exp{Q(θ)T(x)}h(x), (1.15) Ÿ•c(θ) > 0⁄Q(θ)èθÓÇOºÍ, T(x)⁄h(x) ¥ xºÍ. Kf(x, θ)‰k¸Nq ,'5ü, u¥½n5.4.2§·. eQ(θ)èθÓǸºÍ, Ÿ{ÿC, KuØK(1.11)Y ²èαUMPu, IáœLÚ(1.12)⁄(1.13)™•ÿ “áï( “ÿC) , =å. ƒÜ(1.11)Éá¸>uØK H0 : θ ≥ θ0 ←→ H1 : θ c; (1.17) Ÿ•c⁄r (0 ≤ r ≤ 1)˜v^á: Pθ0 (T(X) θ0UMPu, d?θ0⁄uY²αâ½. 9
解正态分布为指数族分布，样本密度为 fa,…80=2m号epf-n82yepn0ien{-∑/p =c(0)exp{Q(0)T(X)}h(x) 此处c(0)=(2x)/2exp{-n92/2卧，h(x)=exp{-∑1x/2,T(X)=X,Q()=n9为9的 严格增函数，由定理5.4.2（由于正态分布为连续分布，检验函数不需要随机化）可知水平 为a的UMP检验由下式给出： 1 T(x)>c; P(x)= 0,T(x)≤c 由于T(X)=心N(0,1/m),故元(x-)~N(0,1),令 a=E0ol(X)]=Poo(T(X)>c)=P0o(vn(X-00)>vn(c-00)), 可知Va(c-o)=ua,即c=o+云ua.故知水平为a的UMP检验为 1, T(x)>00+ua/√元； P(x)= 0,T(x)≤0o+ua/vm 特别取00=0就与例5.4.1中的检验结果相同. 例5.4.5从一大批产品中抽取n个检查其结果，得样本X=(X1,…,Xn),其中X=1,若 第个产品为废品，否则为0，i=1,·,n.求 H0:p≤p0←→H1:p>o 的水平为a的UMP检验.其中po和a给定 令T(X)=工X为n个产品中的废品数，则T、三项分布(n,p).二项分布为指数成 解 其概率分布为 fel=(）p1-p-t=(）-pew{os(1P)rw} 其中)=1-p八，T)=名X,)=(9,Q)=1og÷为p的严格单调增函数，故由定 理5.4.2可知 1. 当T(x)>C p(x)= 当T(x)=c 0,当T(x)<c 其中c有下列不等式决定 ai=三，（份）-mt<a<(GO）-m- 取r为 Q-Q1 r=©)61-wn=e 10
) ©ŸèçÍx©Ÿ, ó›è f(x1, · · · , θ) = (2π) − n 2 exp{−nθ2 /2} exp{nθx¯} exp n − Xn i=1 x 2 i /2 o , = c(θ)exp{Q(θ)T(X)}h(x) d?c(θ) = (2π) n/2 exp{−nθ2/2}, h(x) = exp{−Pn i=1 x 2 i /2}, T(X) = X, Q ¯ (θ) = nθèθ ÓÇOºÍ, d½n5.4.2 (du©ŸèÎY©Ÿ, uºÍÿIáëÅz) åY² èαUMPude™â—: ϕ(x) = 1, T(x) > c; 0, T(x) ≤ c; . duT(X) = X¯ ∼ N(θ, 1/n), √ n(X¯ − θ) ∼ N(0, 1), - α = Eθ0 [ϕ(X)] = Pθ0 (T(X) > c) = Pθ0 ( √ n(X¯ − θ0) > √ n(c − θ0)), å √ n(c − θ0) = uα, =c = θ0 + √ 1 n uα. Y²èαUMPuè ϕ(x) = 1, T(x) > θ0 + uα/ √ n; 0, T(x) ≤ θ0 + uα/ √ n; . AOθ0 = 0“Ü~5.4.1•u(JÉ”. ~5.4.5 lòå1¨•ƒnáuŸ(J, X = (X1, · · · , Xn), Ÿ•Xi = 1,e 1iá¨è¢¨,ƒKè0, i = 1, · · · , n.¶ H0 : p ≤ p0 ←→ H1 : p > p0 Y²èαUMPu. Ÿ•p0⁄αâ½. ) -T(X) = Pn i=1 Xiènᨕ¢¨Í, KT ∼ ë©Ÿ b(n, p). ë©ŸèçÍx, ŸV«©Ÿè f(t, p) = n t p t (1 − p) n−t = n x (1 − p) n exp n log p 1 − p T(x) o Ÿ•c(p) = (1 − p) n, T(x) = Pn i=1 Xi , h(x) = n x , Q(p) = log p 1−pèpÓǸNOºÍ, d½ n5.4.2å ϕ(x) = 1, T(x) > c; r, T(x) = c; 0, T(x) < c; Ÿ•ckeÿ ™˚½ α1 = Xn i=c+1 n i p i 0 (1 − p0) n−i < α < Xn i=c n i p i 0 (1 − p0) n−i , rè r = α − α1 n c p c 0 (1 − p0) n−c , 10