Lec8:区间估计（二）：容忍区间 张伟平 2011年3月28日 1容忍区间与容忍限* 本节要讨论的问题，其提法与区间估计并无共同之处.置信区间是回答总体X的某个参 数（或特征）被包含在基于样本构造的某个随机区间中，而无法回答诸如总体一定比例被包含在 基于样本构造的某个随机区间之类的问题. 一、问题的提法及定义 设有分布族{F0,0∈日，日是参数空间，X=(X1,·,Xn)为从分布族某总体中抽取的简单 样本.此处不是考虑参数的置信区间，而是考虑总体随机变量X的“置信区间”，称之为容忍区 间.即希望求T1=T1(X)和T2=T2(X),使得对总体的至少100(1-)部分是落在区间[T1,T]内： P{X∈T(X),T2(X)}≥1-B. 请看以下两个例子： 例4.5.1设某轴承厂有一部自动化机器，生产直径为0.25cm的轴承，允许误差为0.001cm. 生产中要求99%的产品达到以上规定，即要求轴承的直径落在[0.249,0.251之间.今对一批轴承 抽取n件，测得其直径为X1,·,Xm,问这一批轴承是否合格？ 设随机变量X表示轴承的直径，其分布函数F(x)解决这一问题的方法，就是由样本X= (X1,·,Xn)确定两个统计量T1=T(X)和T2=T2(X),使得P(X∈[T1,T2])=F(T2)- F(T1)≥0.99，若[T1,T2]C[0.249,0.251,则说明此批轴承合格.这就归结为求容忍区间的问题 例4.5.2钢厂生产某种钢材，要求其钢材的强度不少于。（如，。=120单位强度）.若 生产中钢材强度有99%符合上述要求，认为此批钢材合格.今对一批钢材，测试了根，强度 为X1,·,Xn,问这批钢材是否合格？ 设钢材的强度为随机变量X,其分布函数为F(x).解决这一问题的一种方法是由样 本X=(X1,·,Xn)确定一个统计量Tz(X),使得P(X∈[T(X),o)=1-Fg(Tz(X)≥0.99， 若TL(X)≥，则说明这批钢材合格，这就归结为求容忍下限的问题. 将上述两个例子提出的问题统一在一个模型下，描述如下：设有总体X的分布族{F,0∈ Θ}.令X=(X1,·,Xn)为从此分布族中抽取的简单样本，要找到两个统计量T1=T(X)和T= T2(X),使得对0<B<1有 P(T1(X)≤X≤T2(X)=Fg(T2(X)-Fg(T1(X)≥1-B, (1.1)
Lec8: ´mO(): N=´m ‹ï² 2011 c 3 28 F 1 N=´mÜN=Å* !á?ÿØK, ŸJ{Ü´mOøÔÉ?. ò&´m¥£âoNX,áÎ Í(½A)ù¹3ƒu E,áëÅ´m•, Ã{£âÃXoNò½'~ù¹3 ƒu E,áëÅ´mÉaØK. ò!ØKJ{9½¬ k©Ÿx{Fθ, θ ∈ Θ}, Θ¥ÎÍòm, X = (X1, · · · , Xn)èl©Ÿx,oN•ƒ{¸ . d?ÿ¥ƒÎÍθò&´m, ¥ƒoNëÅC˛X/ò&´m0, °ÉèN=´ m. =F"¶T1 = T1(X)⁄T2 = T2(X), ¶ÈoNñ100(1 − β)‹©¥·3´m[T1, T2]S: Pθ{X ∈ [T1(X), T2(X)]} ≥ 1 − β. ûw±e¸á~f: ~4.5.1 ,¶´Çkò‹gƒzÅÏ, )ܪè0.25cm¶´, #Nÿ è0.001cm. )•á¶99%¨à±˛5½, =ᶶ´Üª·3[0.249, 0.251] Ém. 8Èò1¶´ ƒná, ˇŸÜªèX1, · · · , Xn, Ø˘ò1¶´¥ƒ‹Ç? ëÅC˛XL´¶´Üª, Ÿ©ŸºÍFθ(x). )˚˘òØKê{, “¥d X = (X1, · · · , Xn)(½¸á⁄O˛T1 = T1(X)⁄T2 = T2(X), ¶Pθ(X ∈ [T1, T2]) = Fθ(T2) − Fθ(T1) ≥ 0.99, e[T1, T2] ⊂ [0.249, 0.251], K`²d1¶´‹Ç. ˘“8(è¶N=´mØK. ~4.5.2 gÇ),´g·, ᶟg·r›ÿuξ0 (X, ξ0 = 120¸†r›) . e )•g·r›k99%Œ‹˛„á¶, @èd1g·‹Ç. 8Èò1g·, ˇ£ nä, r› èX1, · · · , Xn, Ø˘1g·¥ƒ‹Ç? g·r›èëÅC˛X, Ÿ©ŸºÍèFθ(x). )˚˘òØKò´ê{¥d X = (X1, · · · , Xn)(½òá⁄O˛TL(X), ¶Pθ(X ∈ [TL(X), ∞)) = 1−Fθ(TL(X)) ≥ 0.99, eTL(X) ≥ ξ0, K`²˘1g·‹Ç, ˘“8(è¶N=eÅØK. Ú˛„¸á~fJ—ØK⁄ò3òá .e, £„Xe: koNX©Ÿx{Fθ, θ ∈ Θ}. -X=(X1, · · · , Xn)èld©Ÿx•ƒ{¸ , áȸá⁄O˛T1 = T1(X)⁄T2 = T2(X), ¶È0 < β < 1k Pθ(T1(X) ≤ X ≤ T2(X)) = Fθ(T2(X)) − Fθ(T1(X)) ≥ 1 − β, (1.1)
或找一个统计量Tz(X),使得对01-B)>1-r. 对(1.2)和(1.3)中的TL,Tu也可以提出类似要求，这就引导到容忍区间和容忍限的概念.下面给 出定义 定义4.5.1设样本X=(X1,·,Xn)为从总体X~Fg,0∈Θ中抽取的简单样本.又 设T1(X)和T2(X)是两个统计量，且T1(X)≤T2(X),若对任意给定的B,Y(通常取较小的数， 如B=0.05,Y=0.01),0<B,Y<1有 Pe{P(T≤X≤T2)21-B} =Pa{F(T2)-F(T)≥1-B}≥1-Y,一切0∈Θ， (1.4) 则称[Ti,T2]是Fg的一个水平为(1-B,1-y)的容忍区间(Tolerance interval) 设TL=T(X)和Tu=Tu(X)是两个统计量，若对任意给定的B,Y,0<B,Y<1,和一 切0∈日，分别有 P6{P%(TL≤X)21-B}=P{1-F(T)21-B} =P{F(T)≤B}21-, (1.5) Pa{Pa(X≤Tu)≥1-}=P%{F(Tu)≥1-}21-， (1.6) 则称Tz和Tu分别是Fg的一个水平为(1-B,1-y)容忍下限(Tolerance lower limit)和容忍上限 (Tolerance upper limit). 注意上述定义中的两个P的含义是不同的，里面的P是按总体分布F来计算的，外面 的Pa是按样本X=(X1,·,Xn)的联合分布来计算的. 容忍区间和容忍限之间有下列关系： 引理4.5.1若T2(X)和T(X)分别是分布Fg的水平为(1-B/2,1-y/2)的容忍上、下限， 且总有T2(X)≥T(X),则[T(X),T2(X】为F的水平为(1-B,1-Y)容忍区间. 证令A表示“F(T)≤B/2”;B表示事件“F(T)≥1-B/2”;C表示事件“F(T2)- F(T)≥1-B”,则由定义4.5.1可知 P%(A)≥1-Y/2,P(B)≥1-y/2. (1.7) 2
½Èòá⁄O˛TL(X), ¶È0 < β < 1k Pθ(TL(X) ≤ X < +∞) = 1 − Fθ(TL(X)) ≥ 1 − β, (1.2) ½Èòá⁄O˛TU (X), È0 < β < 1k Pθ(−∞ < X ≤ TU (X)) = Fθ(TU (X)) ≥ 1 − β. (1.3) 3(1.1)•, duT1(X)⁄T2(X)èëÅC˛, Fθ(T1(X))⁄Fθ(T2(X))è¥ëÅC˛, §±/F(T2)− F(T1) ≥ 1 − β0¥òáëÅØá. w,ÿUy˘òØá˝Èu), u¥êU¸$á¶: â½r (œ~0 < r < 1) , á¶/F(T2) − F(T1) ≥ 1 − β0˘áØáñ±V«1 − r§·,= Pθ F(T2) − F(T1) ≥ 1 − β ≥ 1 − r. È(1.2)⁄(1.3)•TL, TUèå±J—aqá¶, ˘“⁄N=´m⁄N=ÅVg. e°â —½¬. ½¬4.5.1 X = (X1, · · · , Xn)èloNX ∼ Fθ, θ ∈ Θ•ƒ{¸ . q T1(X)⁄T2(X)¥¸á⁄O˛, ÖT1(X) ≤ T2(X), eÈ?øâ½β, γ (œ~Í, Xβ = 0.05, γ = 0.01), 0 < β, γ < 1k Pθ Pθ(T1 ≤ X ≤ T2) ≥ 1 − β = Pθ F(T2) − F(T1) ≥ 1 − β ≥ 1 − γ, òÉ θ ∈ Θ, (1.4) K°[T1, T2]¥FθòáY²è(1 − β, 1 − γ)N=´m (Tolerance interval). TL = TL(X)⁄TU = TU (X)¥¸á⁄O˛, eÈ?øâ½β, γ, 0 < β, γ < 1,⁄ò Éθ ∈ Θ,©Ok Pθ Pθ(TL ≤ X) ≥ 1 − β = Pθ 1 − F(TL) ≥ 1 − β = Pθ F(TL) ≤ β ≥ 1 − γ, (1.5) Pθ Pθ(X ≤ TU ) ≥ 1 − β = Pθ F(TU ) ≥ 1 − β ≥ 1 − γ, (1.6) K°TL⁄TU©O¥FθòáY²è(1 − β, 1 − γ)N=eÅ (Tolerance lower limit)⁄N=˛Å (Tolerance upper limit). 5ø˛„½¬•¸áPθ¹¬¥ÿ”, p°Pθ¥UoN©ŸFθ5Oé, ° Pθ¥U X = (X1, · · · , Xn)È‹©Ÿ5Oé. N=´m⁄N=ÅÉmke'Xµ ⁄n4.5.1 eT2(X)⁄T1(X)©O¥©ŸFθY²è(1 − β/2, 1 − γ/2) N=˛!eÅ, ÖokT2(X) ≥ T1(X), K[T1(X), T2(X)]èFθY²è(1 − β, 1 − γ)N=´m. y -AL´/F(T1) ≤ β/20; BL´Øá/F(T2) ≥ 1 − β/20; CL´Øá/F(T2) − F(T1) ≥ 1 − β0, Kd½¬4.5.1å Pθ(A) ≥ 1 − γ/2, Pθ(B) ≥ 1 − γ/2. (1.7) 2
我们希望证明P(C)≥1-.由以上定义可知，若A、B同时成立，则必有F(T2)-F(T)≥1-B, 即C成立，因此ABCC,故有Pa(C)≥P(AB),由此可得 Pg(C)=Pa(Fg(T2)-Fg(T)≥1-)≥P(AB) =P(A)+P(B)-P(AUB) ≥(1-Y/2)+(1-y/2)-1=1-Y. 定理证毕。 二、正态总体的容忍区间和容忍限 设X=(X1,…,Xn)为自正态总体N(4,σ2)中抽取的简单随机样本，0=(4，σ)的充分统计 分量为 =三x9=x-刘加 n i=1 1 我们将基于充分统计量(，S2)来构造正态总体的容忍限和容忍区间问题.在总体N(μ，σ)中 若μ和σ已知，则水平为(1-B,1-y)的容忍上下限和容忍区间分别为μ+oug,4-oug和[μ- ua2,4+0ua2小.但现在μ和σ2未知，我们知道灭和S2分别是u和σ的良好估计，因此将上述容 忍上限中的μ和σ用X和S代替得到了+Sua:由于估计而带来的随机性，水平(1-B,1-Y)的 容忍上限不见得正好是灭+Sua,而可能要将系数u修改为某个入，A既与B有关，也与y有关（注 意a与y无关).容忍下限和容忍区间也如此处理 因此我们首先来求容忍上限.即找入使+入S为水平(1-B,1-y)的容忍上限.按定义，对 给定的3和Y,0<B,Y<1,要确定入，使得 Pa{Pa(X≤X+λS)≥1-}≥1-Y: 由于(X-)/o~N(0,1),其分布函数为④()，因此上式左边也为 {B(X,≤X-+)≥1- =(-+)≥1- -n-g+≥0-=} (1.8) 令Z=V(x-4/a,S*=S/a,则Z~N(0,1),S,~VX品-1/n-1).因此 Z-vmu2=Z-、tn-1, S/σ S. 即自由度n-1,非中心参数6=-√V万us的非中心分布.由(1.8)可知 P6{P6(X≤X+λS)≥1-B}≥1-Y→ 3
·ÇF"y²Pθ(C) ≥ 1−γ. d±˛½¬å, eA!B”û§·, K7kF(T2)−F(T1) ≥ 1−β, =C§·, œdAB ⊂ C, kPθ(C) ≥ Pθ(AB), ddå Pθ(C) = Pθ(Fθ(T2) − Fθ(T1) ≥ 1 − β) ≥ P(AB) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) ≥ (1 − γ/2) + (1 − γ/2) − 1 = 1 − γ. ½ny.. !oNN=´m⁄N=Å X = (X1, · · · , Xn)ègoNN(µ, σ2 )•ƒ{¸ëÅ , θ = (µ, σ2 )ø©⁄O ©˛è X¯ = 1 n Xn i=1 Xi , S2 = 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X¯) 2 . ·ÇÚƒuø©⁄O˛(X, S ¯ 2 )5EoNN=Å⁄N=´mØK. 3oNN(µ, σ2 )•, eµ⁄σ 2Æ, KY²è(1 − β, 1 − γ)N=˛eÅ⁄N=´m©Oèµ + σuβ, µ − σuβ⁄[µ − σuβ/2, µ + σuβ/2]. y3µ⁄σ 2ô, ·ÇX¯⁄S 2©O¥µ⁄σ 2˚–O, œdÚ˛„N =˛Å•µ⁄σ^X¯⁄SìOX¯ + Suβ. duO ë5ëÅ5, Y²(1 − β, 1 − γ) N=˛ÅÿÑ–¥X¯ + Suβ, åUáÚXÍuβ?Uè,áλ, λQÜβk', èÜγk'(5 øuβÜγÃ'). N=eÅ⁄N=´mèXd?n. œd·Çƒk5¶N=˛Å. =Èλ¶X¯ + λSèY²(1 − β, 1 − γ)N=˛Å. U½¬, È â½β⁄γ, 0 èè Pθ Pθ X − µ σ ≤ X¯ − µ + λS σ ≥ 1 − β = Pθ Φ X¯ − µ + λS σ ≥ 1 − β = Pθ X¯ − µ + λS σ ≥ Φ −1 (1 − β) = uβ . (1.8) -Z = √ n(X¯ − µ)/σ, S∗ = S/σ,KZ ∼ N(0, 1), S∗ ∼ q χ 2 n−1 /(n − 1).œd Z − √ nuβ S/σ = Z − √ nuβ S∗ ∼ tn−1, δ , =gd›n − 1, ö•%ÎÍδ = − √ nuβö•% t©Ÿ. d(1.8)å Pθ Pθ X ≤ X¯ + λS ≥ 1 − β ≥ 1 − γ ⇐⇒ Pθ X¯ − µ + λS σ ≥ uβ ≥ 1 − γ ⇐⇒ 3
(1.9) 若记入=A(n,B,),故由-V入=tn-1,(1-),解得A(n,B,）=-tm-1,(1-)/V元= tn-1.s(y)/√元.因此可知，水平为(1-B,1-y)的容忍上限为+λS,其中入=tn-1,s()/√元.类 似可求水平为(1-B,1-Y)的容忍下限为-入S,入同上.对常见的n,入，y已编制了(n,By)值 的表，见附表6. 求正态总体N(4,σ2)的容忍区间，可利用引理4.5.1可得[X-入S,X+λS],此处入(n,B,y)= tn-1,-(/2)/V元.其中6*=-Vnua/2.当然，现有的非中心t分布表还不够大，不一定能从表上 直接查到非中心t分布的分位数的值.但书末附表7给出了入(n,B,y)值的表 例4.5.3某厂生产乐器用的镍合金线.经验表明：镍合金线的抗拉强度服从正态分布.今 从一批产品中随机抽取10个样品，测得起抗拉强度为（单位：kg/mm) 10512,10623,10668.10554,10776,1071,10557,10581,10666,10670 求该镍合金线抗拉强度容忍下限（设水平为(0.95,0.95）) 解此问题中n=10,水平为(0.95,0.95)即，8=0.05，y=0.05.因此1-B=0.95,1-Y= 0.95.由数据算得 元=10632.4，S2=6738.77,S=82.09 查附表6得入=2.91，因此得容许下限Tz=元-λS=10632.4-2.91×82.09=10393.52.因此 这批镍合金线抗拉强度不低于10393.52kg/mm2. 例4.5.4经验表明棉纱的断裂负荷（单位：百分之一牛顿服从正态分布，现从一批棉纱 中随机抽取12根，测得其断裂负荷为 228.6,232.7,238.8,317.2,315.8,275.1, 222.2,236.7,224.7,251.2,210.4,270.7 求棉纱断裂负荷的水平为(0.95.0.99)的容忍区间. 解此问题中n=12,1-6=0.95,1-y=0.99,由数据算得 =252.0,S2=1263.4,S=35.5 查附表7得λ(12,0.95,0.99)=3.87，由此算得 T=-λS=252.0-3.87×35.5=114.6 T=+λS=252.0+3.87×35.5=389.4 因此棉纱断裂负荷的水平(0.95,0.99)的容忍区间为[114.6,389.4. 三、非参数容忍限和容忍区间 在实际问题中，还会经常遇到这样的问题，人们只知道总体分布F是连续型的，要求此分布 的容忍限和容忍区间.由于这时不知道分布的具体形式，谈不上运用分布的性质，只能利用样本 给出的信息.下面讨论基于次序统计量如何给出F的容忍限和容忍区间.先证明一个预备知识. 4
Pθ Z − √ nuβ S∗ ≥ −√ nλ ≥ 1 − γ. (1.9) ePλ = λ(n, β, γ), d− √ nλ = tn−1, δ(1 − γ), )λ(n, β, γ) = −tn−1, δ(1 − γ)/ √ n = tn−1, δ(γ)/ √ n. œdå, Y²è(1 − β, 1 − γ)N=˛ÅèX¯ + λS, Ÿ•λ = tn−1, δ(γ)/ √ n. a qå¶Y²è(1 − β, 1 − γ)N=eÅèX¯ − λS, λ”˛. È~Ñn, λ, γÆ?õ λ(n, β, γ)ä L, ÑNL6. ¶oNN(µ, σ2 )N=´m, å|^⁄n4.5.1å[X¯ − λS, X¯ + λS], d?λ(n, β, γ) = tn−1,δ∗ (γ/2)/ √ n. Ÿ•δ ∗ = − √ nuβ/2. ,, ykö•% t©ŸLÑÿ å, ÿò½UlL˛ Üö•%t©Ÿ©†Íä. ÷"NL7 â— λ(n, β, γ)äL. ~4.5.3 ,Ç)WÏ^q‹7Ç. ²L²: q‹7Ç|.r›—l©Ÿ. 8 lò1¨•ëŃ10á¨, ˇÂ|.r›è(¸†: kg/mm2 ) 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 1071, 10557, 10581, 10666, 10670 ¶Tq‹7Ç|.r›N=eÅ(Y²è(0.95, 0.95)) ) dØK•n = 10, Y²è(0.95, 0.95)=,β = 0.05, γ = 0.05. œd1 − β = 0.95, 1 − γ = 0.95. dÍ‚é X¯ = 10632.4, S2 = 6738.77, S = 82.09. NL6λ = 2.91, œdNNeÅTL = X¯ − λS = 10632.4 − 2.91 × 82.09 = 10393.52. œd ˘1q‹7Ç|.r›ÿ$u10393.52 kg/mm2 . ~4.5.4 ²L²ô„‰K÷(¸†: z©Éò⁄Ó) —l©Ÿ, ylò1ô„ •ëŃ12ä, ˇŸ‰K÷è 228.6, 232.7, 238.8, 317.2, 315.8, 275.1, 222.2, 236.7, 224.7, 251.2, 210.4, 270.7 ¶ô„‰K÷Y²è(0.95,0.99)N=´m. ) dØK•n = 12, 1 − β = 0.95, 1 − γ = 0.99,dÍ‚é X¯ = 252.0, S2 = 1263.4, S = 35.5 NL7λ(12, 0.95, 0.99) = 3.87,ddé TL = X¯ − λS = 252.0 − 3.87 × 35.5 = 114.6 TL = X¯ + λS = 252.0 + 3.87 × 35.5 = 389.4 œdô„‰K÷Y²(0.95, 0.99)N=´mè[114.6, 389.4]. n!öÎÍN=Å⁄N=´m 3¢SØK•, Ѩ²~ë˘ØK, <ÇêoN©ŸF¥ÎY., á¶d©Ÿ N=Å⁄N=´m. du˘ûÿ©Ÿ‰N/™, !ÿ˛$^©Ÿ5ü, êU|^ â—&E. e°?ÿƒugS⁄O˛X¤â—FN=Å⁄N=´m. ky²òá˝£. 4
引理4.5.2设一维随机变量XF(c),F(x)是分布函数且处处连续，则Y=F(X)服从 均匀分布U(0,1): 证因为00,q>0时， BE(p,q)表示一分布，其分布函数为 1p.g()= 1 tp-1(1-t)9-1dt, (1.12) B(p,q)Jo 其中B(p,q)=tP-1(1-t)9-1dt,称为Beta积分.它与Gammap函数T(c)有关系：B(p,q)= T(p)T(q)/T(p+q),这个公式在微积中已经给出过. 公式(1.12)当0<x<1时，称为不完全的Beta积分，Pearson曾给它造了表.这表可用于选 择i,的问题. 对F(x)的水平(1-B,1-y)的容忍上下限的问题也同样处理.对容忍上限有 P{P(X≤Xo)21-B}≥1-Y, 此式左边是P{F(X)≥1-B}=P(U≥1-)利用(？)式，在其中置F)=工，f)= 1得U包的密度 9n=i）r-11-m-<a< 因此有 P{F(Xo)≥1-B}=PUo≥1-)=9a(o)d (1.13) 5
⁄n4.5.2 òëëÅC˛X ∼ F(x), F(x)¥©ŸºÍÖ??ÎY, KY = F(X)—l ˛!©ŸU(0, 1). y œè0 è P F(X(j)) − F(X(i)) ≥ 1 − β =P Vij ≥ 1 − β = Z 1 1−β gnij (v)dv. (1.11) XJ¿J·i, j¶(1.10)™•»©ÿuâ½1 − γ, K[X(i) , X(j) ]“¥FòáY ²(1 − β, 1 − γ)N=´m. ó›gnij °èBeta ©Ÿ, ŸÎÍèj − i⁄n − j + i + 1, P èBe(j − i, n − j + i + 1). Beta ©ŸÎÍÿ7èÍ, êáåu0“1. p > 0, q > 0û, Be(p, q)L´ò©Ÿ, Ÿ©ŸºÍè Ip,q(x) = 1 B(p, q) Z x 0 t p−1 (1 − t) q−1 dt, (1.12) Ÿ•B(p, q) = R 1 0 t p−1 (1 − t) q−1dt,°èBeta »©.ßÜGammaºÍΓ(x)k'XµB(p, q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p + q),˘á˙™3ổƲâ—L. ˙™(1.12)0 ¥P F(X(i)) ≥ 1 − β = P U(i) ≥ 1 − β .|^(??)™, 3Ÿ•òF(x) = x, f(x) = 1U(i)ó› gni(x) = i n i x i−1 (1 − x) n−i I[0<x<1]. œdk P F(X(i)) ≥ 1 − β = P U(i) ≥ 1 − β = Z 1 1−β gni(v)dv. (1.13) 5
选择使(1.13)式不小于1-Y,则根据定义X就是F的一个水平(1-B,1-Y)的容忍上限. 同理选择j,使得下式不小于1-Y,即 P(F(XG)≤)=P(U)≤)= 9ni(v)du≥1-Y, (1.14) 则X)就是F的一个水平(1-B,1-y)的容忍下限， 在(1.13)和(1.14)中选择i,j使积分不小于1-Y,可借助于不完全Beta函数表求得 2.特例情形 (1)假如我们取Xm)作为F的一个水平(1-B,1-Y)的容忍上限，样本容量n必须有一定的 要求，否则它不能作为合适的容忍上限.那么样本容量至少应为多少？这就把求容忍上限的问 题转化为确定样本容量的问题. 由于X~F(x),且F(x)处处连续，故F(X)~U(0,1).而F(X(n)=Um)是来自总体U(0,1)的 容量为n的样本的最大次序统计量，其密度函数为 gnn(y)=ny"-IIo<<i]. 于是要求确定n,使得 P{FXm)≥1-B}=P(Um)≥1-B)≥1-Y, 即 nyn-1dy≥1-6←→1-(1-)”≥1-Y. 因此有 Iny n之n1-) 对给定的B,Y,可以算得满足上述不等式的最小自然数n. (2)类似计算可知，若取X1)作为F的一个水平(1-B,1-y)的容忍下限，可知F(X()=U) 密度函数为 gn1(y)）=n(1-)n-11o<y< 故要使 PFXa≤)=PUa≤= n(1-m-1dy≥1-Y 同样解出n≥ny/ln(1-) 对通常用的B,Y,确定F的水平(1一B,1-)的容忍上下限所需要最小样本容量n,已编制了 表，详见附表8.如1-6=0.90,1-Y=0.95从附表8上查得n=29,若1-B=0.95,1-Y= 0.99从表上查得n=90. (3)若取[X1),X(m作为F(x)的一个水平为(1-B,1-)的容忍区间，按定义 P(F(X(m)-F(Xa)）≥1-B)=P(Um)-Uu)≥1-)≥1-Y. (1.15) 6
¿Ji¶(1.13)™ÿu1 − γ, K䂽¬X(i)“¥FòáY²(1 − β, 1 − γ)N=˛Å. ”n¿Jj, ¶e™ÿu1 − γ, = P F(X(j) ≤ β) = P U(j) ≤ β = Z β 0 gnj (v)dv ≥ 1 − γ, (1.14) KX(j)“¥FòáY²(1 − β, 1 − γ)N=eÅ. 3(1.13)⁄(1.14)•¿Ji, j¶»©ÿu1 − γ, å/œuÿ BetaºÍL¶. 2. A~ú/ (1) bX·ÇX(n)äèFòáY²(1 − β, 1 − γ)N=˛Å, N˛n7Lkò½ á¶, ƒKßÿUäè‹·N=˛Å. @o N˛nñAèı? ˘“r¶N=˛ÅØ K=zè(½ N˛ØK. duX ∼ F(x), ÖF(x)??ÎY,F(X) ∼ U(0, 1). F(X(n)) = U(n)¥5goNU(0, 1) N˛èn ÅågS⁄O˛, Ÿó›ºÍè gnn(y) = nyn−1 I[0<y<1] . u¥á¶(½n, ¶ P F(X(n)) ≥ 1 − β = P U(n) ≥ 1 − β ≥ 1 − γ, = Z 1 1−β nyn−1 dy ≥ 1 − β ⇐⇒ 1 − (1 − β) n ≥ 1 − γ. œdk n ≥ ln γ ln (1 − β) Èâ½β, γ, å±é˜v˛„ÿ ™Åg,Ín. (2) aqOéå, eX(1)äèFòáY²(1−β, 1−γ)N=eÅ, åF(X(1)) = U(1) ó›ºÍè gn1(y) = n(1 − y) n−1 I[0<y<1] ᶠP F(X(1)) ≤ β = P U(1) ≤ β = Z β 0 n(1 − y) n−1 dy ≥ 1 − γ, ”)—n ≥ ln γ/ ln (1 − β). Èœ~^β, γ, (½FY²(1 − β, 1 − γ)N=˛eŧIáÅ N˛n, Æ?õ L, çÑNL8. X1 − β = 0.90, 1 − γ = 0.95, lNL8˛n = 29, e1 − β = 0.95, 1 − γ = 0.99lL˛n = 90. (3) e[X(1), X(n) ]äèF(x)òáY²è(1 − β, 1 − γ)N=´m, U½¬ P F(X(n)) − F(X(1)) ≥ 1 − β =P U(n) − U(1) ≥ 1 − β ≥1 − γ. (1.15) 6
由于(U,Um)的联合密度 p(1,2)=n(m-1)(2-1)m-21o≤≤2≤， 所以(1.15)式可改写为 w2-121-B 21-, 解之可得 n(1-)n-1-(n-1)(1-)m≤Y. 对给定的3和y(或等价的给定1-B,1-y)可以从上述不等式中解出n来 对常用的1-B和1-Y,也已编造了确定F的水平(1-B,1-)的容忍区间所需最小样本容量 表，见附表9.例如，1-6=0.90,1-y=0.95,从附表9上查得n=46:1-6=0.95,1-y=0.99,从 表上查得n=130. 7
du(U(1), U(n))È‹ó› p(y1, y2) = n(n − 1)(y2 − y1) n−2 I[0≤y1≤y2≤1], §±(1.15)™åUè Z Z y2−y1≥1−β p(y1, y2)dy1dy2 = Z β 0 Z 1 y1+(1−β) n(n − 1)(y2 − y1) n−2 dy2dy1 ≥ 1 − γ, )Éå n(1 − β) n−1 − (n − 1)(1 − β) n ≤ γ. Èâ½β⁄γ (½ dâ½1 − β, 1 − γ) å±l˛„ÿ ™•)—n5. È~^1−β⁄1−γ, èÆ?E (½FY²(1−β, 1−γ)N=´m§IÅ N˛ L, ÑNL9. ~X, 1−β = 0.90, 1−γ = 0.95, lNL9˛n = 46; 1−β = 0.95, 1−γ = 0.99,l L˛n = 130. 7