§2判断估计量的优良性标准 1.无偏性 我们在评价估计量好坏时，一般总希望估计量(X)的平均值与越接近越好，即E((X)- )越小越好.由于(X)是随机变量，(X)的值有时比的值大，有时比的值小，我们希望(X)在 大量重复使用时，在平均意义下(X)与9的偏差很小.期望值E((X)一)=0，时就得到无偏 性的概念.将其一般化，用g()代替0，用(X)代替(X),得到如下定义： 定义1.设X=(X1,…,Xn)为从总体{Fa,0∈日}中抽取的样本，g(0)是定义于参数空间日上 的已知函数.(X)=(X1,…,Xn)是g(0)的一个估计量，如果 E.(g(X)=g(0),对任何0∈日 则称g(X)为g(0)的一个无偏估计量(Unbiased estimation).记g(X)=gn(X),若 1imE(gn(X)=g(0),对任何B∈日 则称gn(X)为g(0)的渐近无偏估计(Asymptotically unbiased estimation小. 无偏性的含意有两个：第一个含意是无系统偏差.由于样本的随机性，(X)是样本的函 数，因此它是一随机变量，用估计量g(X)去估计g(0),对某些样本，(X)与g()相比，时而偏低； 对另一些样本，(X)时而偏高；无偏性表示，把这些正负偏差在概率上平均起来，其值为0.如 用一杆秤去称东西，误差的来源有二：()这杆秤自身结构上有问题.用它称东西总是倾向于 偏高或总是倾向于偏低，这属于系统误差.()另一种误差是随机误差，由不可控制的因素产 生，如温度、湿度和工作人员心理波动等影响造成的，这属于随机误差.无偏性相当于要求 无系统误差.随机误差总是存在的，大量重复使用无偏估计，误差有时为正，有时为负，但随 机误差可以正负相抵消. 无偏性的另一个含意是：要求估计量大量重复使用，在多次重复使用下给出接近真值g() 的估计.设想这样一种情况：每天抽样对g()进行估计，第天的样本为X=(X⑧，·，X),估 计值为g(X@),一共作了n天.设X四，·，Xm)是独立同分布的样本，如g(X)有无偏性，按大 数定律有 P(=∑xo)=go）=1 1 就是说，尽管一次估计结果g(X)不一定恰好等于g(),但在大量重复使用时，多次估计的 算术平均值，可以任意接近g().如果这一估计量(X)只使用一次，无偏性这个概念就失去意 义 在点估计理论中，目前无偏性仍占有重要的地位.除了历史因素外，还有两个原因.一是 无偏性的要求只涉及一阶矩（均值），在数学处理时较方便.二是在没有其它合理准则可循时， 人们心理上觉得：一个具有无偏性的估计，总比没有这种性质的估计要好些。 定义2.设X1,·,X是取自期望为4，方差为o的总体的一个样本.显然样本均值了是μ的无 偏估计.证明样本方差S2=点上（化：-X)2是，2的无偏估计. 1 证显然 Es9=[B(X)-nE(X9)=2[Ex-E(]§2 ‰O˛`˚5IO 1. Æ5 ·Ç3µdO˛–Äû, òÑoF"O˛ˆθ(X) ²˛äÜθC–, =E( ˆθ(X)− θ)–. duˆθ(X)¥ëÅC˛, ˆθ(X)äkû'θäå, kû'θä, ·ÇF"ˆθ(X)3 å˛­E¶^û, 3²˛ø¬eˆθ(X)Üθ†È. œ"äE( ˆθ(X) − θ) = 0, û“Æ 5Vg. ÚŸòÑz,^g(θ)ìOθ, ^gˆ(X)ìOˆθ(X),Xe½¬: ½¬ 1. X = (X1, · · · , Xn)èloN{Fθ, θ ∈ Θ}•ƒ, g(θ)¥½¬uÎÍòmΘ˛ ƺÍ. gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn)¥g(θ) òáO˛, XJ Eθ(ˆg(X)) = g(θ), È?¤ θ ∈ Θ K°gˆ(X)èg(θ)òáÆO˛ (Unbiased estimation). Pgˆ(X) = ˆgn(X),e limn→∞ Eθ(ˆgn(X)) = g(θ), È?¤ θ ∈ Θ K°gˆn(X)èg(θ)ÏCÆO (Asymptotically unbiased estimation). Æ5¹øk¸á: 1òá¹ø¥ÃX⁄†. duëÅ5, ˆg(X)¥º ÍßœdߥòëÅC˛, ^O˛gˆ(X)Og(θ),È, ,ˆg(X)Üg(θ)É', û †$; È,ò , ˆg(X)û †p; Æ5L´, r˘ K†3V«˛²˛Â5, Ÿäè0. X ^ò\Æ°¿‹, ÿ5 k: (i)˘\Æg(˛kØK. ^ß°¿‹o¥ñïu †p½o¥ñïu†$, ˘·uX⁄ÿ. (ii),ò´ÿ¥ëÅÿ, dÿåõõœÉ ), Xß›!ó›⁄Ûä< %nŃKèE§, ˘·uëÅÿ. Æ5ÉuᶠÃX⁄ÿ. ëÅÿo¥3, å˛­E¶^ÆO, ÿkûè, kûèK, ë Åÿå±KÉ-û. Æ5,òá¹ø¥: á¶O˛å˛­E¶^, 3ıg­E¶^eâ—C˝äg(θ) O. é˘ò´ú¹: zUƒÈg(θ)?1O, 1iUèX(i) = (X (i) 1 , · · · , X(i) n ), Oäègˆ ￾ X(i)
,ò
ä nU. X(1) , · · · , X(n)¥’·”©Ÿ, Xgˆ(X)kÆ5, Uå ͽÆk P  limn→∞ 1 n Xn i=1 gˆ ￾ X(i)
= g(θ)  = 1 “¥`, ¶+ògO(Jgˆ ￾ X(i)
ÿò½T–ug(θ), 3å˛­E¶^û, ıgO 邲˛ä, å±?øCg(θ). XJ˘òO˛gˆ(X)ê¶^òg, Æ5˘áVg“îø ¬. 3:Onÿ•, 8cÆ5E”k­á/†. ÿ {§œÉ , Ñk¸áœ. ò¥ Æ5á¶ê9ò›(˛ä), 3ÍÆ?nûêB. ¥3vkŸß‹nOKåÃû, <Ç%n˛˙: òá‰kÆ5O, o'vk˘´5üOá– . ½¬ 2. X1, · · · , Xn¥gœ"èµ,êèσ 2oNòá. w,˛äX¯¥µà †O. y²êS 2 = 1 n−1 Pn i=1 (Xi − X¯) 2 ¥σ 2ÆO. y w, E(S 2 ) = 1 n − 1 Xn i=1 E(X2 i ) − nE(X¯ 2 )  = n n − 1 E(X2 1 ) − E ￾ X¯ 2
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