=n”g2+2)-(o2n+2)=2 故样本方差S2是σ2的无偏估计. 2.有效性 在应用中，同一个参数的无偏估计常常不止一个，那么选用哪一个无偏估计更好呢？为 了解决好这一问题，就要讨论估计量的有效性(ef伍ciency).设1和02为9的两个无偏估计，由无 偏性可知它们的一阶矩相等，我们比较它们的二阶中心矩一方差，方差越小越好. 定义3.设(X)=g(X1,…,Xn)和g2(X)=2(X1,…,Xn)为g(0)的两个不同无偏估计量， 若 D(©(X)≤D(2(X),对一切0∈日， 且至少存在一个0∈日，使得严格不等号成立，则称估计量g(X)比2(X)有效 从这个定义出发可以看出，在均值相等的条件下，方差越小的估计量越有效.例如，X1,·,X是 取自总体F的一个简单样本，设总体均值和总体方差σ2都存在，则01=X1和2=X都是总 体均值的无偏估计量，它们的方差分别是 D(01)=g2, D0)=1g2 后者更小，可见x比X更有效，且越大，下对的估计就越有效.这就是在物体的称重问题 中，为什么我们要将物体称n次，用其平均值作为物重的理由. 3.相合性 大量实践表明，随着样本容量n的增加，估计量(X)=(X1,·,Xn)与被估计参数g()的 偏差越来越小，这是一个良好估计量应具有的性质.试想，若不然，无论作多少次试验，也不 能把()估计到任意指定的精确程度，这样估计量显然是不可取的 定义4.设对每个自然数n,gn(X)=gn(X1,…,Xn)是g()一个估计量，若gn(X)依概率收敛 到g(0),即对任何0∈日及e>0有 niP(lan(X)-9e1≥e）-0, 则称gn(X)为g(0)的弱相合估计(Weakly consistent estimation).若对任何0∈日有 P(im9n(X)=g(0）-1, 则称gn(X)为g(0)的强相合估计(Strongly con.sistent estimation,.以若r>0和对任何0∈日，有 lim Eolgn(X)-g(0)"=0, n→0 称gn(X)为g(0)的r阶矩相合估计(Consistent estimation in r'th mean).当r=2时称为均方相 合估计(Consistent estimation in quadratic mean),. 估计量的相合性是对大样本问题提出的要求，是估计量的一种大样本性质」 由概率论中关于这几种收敛性的关系，可知上述三种相合性有如下关系：强相合→弱相合，反 之不必对；对任何r>0有：阶矩相合→弱相合，反之不必对.又强相合与阶矩相合之间没 有包含关系. 估计量的大样本性质，还有渐近正态性，我们将在本章后面有关的小节中给出定义， 2= n n − 1 h￾ σ 2 + µ 2
− ￾ σ 2  n + µ 2
i = σ 2 , êS 2¥σ 2ÆO. 2. k5 3A^•, ”òáÎÍÆO~~ÿéòá, @o¿^=òáÆOç–Q? è )˚–˘òØK, “á?ÿO˛k5(efficiency). θb1⁄θb2èθ¸áÆO, dà †5åßÇò›É, ·Ç'ßÇ•%›—ê, ê–. ½¬ 3. gˆ1(X) = ˆg1 (X1, · · · , Xn)⁄gˆ2(X) = ˆg2(X1, · · · , Xn)èg(θ) ¸áÿ”ÆO˛, e Dθ(ˆg1(X)) ≤ Dθ(ˆg2(X)), ÈòÉ θ ∈ Θ, Öñ3òáθ ∈ Θ,¶ÓÇÿ“§·, K°O˛gˆ1(X)'gˆ2(X)k. l˘á½¬—uå±w—, 3˛äÉ^áe, êO˛k. ~X, X1, · · · , Xn¥ goNFòá{¸, oN˛äµ⁄oNêσ 2—3, Kˆθ1 = X1 ⁄ˆθ2 = X¯—¥o N˛äµÆO˛, ßÇê©O¥ D( ˆθ1) = σ 2 , D( ˆθ2) = 1 n σ 2 . ￾ˆç, åÑX¯'X1çk, Önå, X¯ÈµO“k. ˘“¥3‘N°­ØK •, èüo·ÇáÚ‘N°ng, ^Ÿ²˛ääè‘­nd. 3. É‹5 å˛¢ÇL², ëXN˛nO\, O˛gˆ(X) = ˆg(X1, · · · , Xn) ÜOÎÍg(θ) †5, ˘¥òá˚–O˛A‰k5ü. £é, eÿ,, Ãÿäıg£, èÿ Urg(θ)O?øç½°(ß›,˘O˛w,¥ÿå. ½¬ 4. Èzág,Ín, gˆn(X) = ˆgn(X1, · · · , Xn)¥g(θ)òáO˛, egˆn(X)ùV«¬Ò g(θ),=È?¤θ ∈ Θ9ε > 0k limn→∞ Pθ(|gˆn(X) − g(θ)| ≥ ε) = 0, K°gˆn(X)èg(θ)fÉ‹O (Weakly consistent estimation).eÈ?¤θ ∈ Θk Pθ  limn→∞ gˆn(X) = g(θ)  = 1, K°gˆn(X)èg(θ)rÉ‹O (Strongly consistent estimation).er > 0 ⁄È?¤θ ∈ Θ,k limn→∞ Eθ|gˆn(X) − g(θ)| r = 0, °gˆn(X)èg(θ)r›É‹O (Consistent estimation in r’th mean).r = 2û°è˛êÉ ‹O (Consistent estimation in quadratic mean). O˛É‹5¥ÈåØKJ—á¶, ¥O˛ò´å5ü. dV«ÿ•'u˘A´¬Ò5'X, å˛„n´É‹5kXe'X: rÉ‹=⇒ fÉ‹,á Éÿ7È; È?¤r > 0k:r›É‹ =⇒ fÉ‹, áÉÿ7È. qrÉ‹Ür›É‹Émv kù¹'X. O˛å5ü,ÑkÏC5,·ÇÚ3Ÿ￾°k'!•â—½¬. 3