$3 矩估计 一、矩法和矩估计量 设X1,·,X。是从总体F中抽取的简单随机样本，这时，样本矩可用来估计F的相应的 总体矩.即总体k阶原点矩α=E(X)的矩估计量是相应的样本k阶原，点矩 ak=∑x, k=1,2,… (3.1) n 特别总体均值a1=E(X)的矩估计量是样本均值an1=X. 总体阶中心矩μ，=E(X-E(X)的矩估计量是相应的样本k阶中心矩 mnk = ∑(X-),k=1,2,…, (3.2) n 特别总体方差=EX-EX)P的矩估计量量是m2=S号=公（化-）2，它与样本方 差S2-点2(K-列2只差一个常数因子 用ank,mnk分别估计a,和4.是一种基于直观的方法，它的依据是：ank是a,的无偏估计， 即 (3.3) 但用mk估计4.，一般不是无偏的，当样本大小n较大时，偏差不显著，且必要时可作一些修正， 使之成为无偏估计.请看下例： 例1.设2=σ2是总体方差，则S2=m2不是σ2的无偏估计. 证由例可知 E(S2) (2-)(品x-) =n-E(s2=n-1o2 (3.4) 因而m2不是σ的无偏估计，且是系统地偏低.将其修正，只须用 -立x-2=s9 (3.5) 代替mn2,就得到E(m2)=E(S2)=σ2，即S2为总体方差的无偏估计.这就是我们用S2作为样 本方差的定义，而不用m2的理由所在.但当k≥4，就不能通过这样简单的修正得出4，的无 偏估计 一般，样本的k阶中心矩可以用样本的原点矩表出（令ano=1): mk=∑x-a=∑(--rX点 (空x--(（)点§3 ›O ò!›{⁄›O˛ X1, · · · , Xn ¥loNF•ƒ{¸ëÅ. ˘û, ›å^5OFÉA oN›. =oNk:›αk = E(Xk ) ›O˛¥ÉA k:› ank = 1 n Xn i=1 Xk i , k = 1, 2, · · · , (3.1) AOoN˛äα1 = E(X)›O˛¥˛äan1 = X. ¯ oNk•%›µk = E(X − E(X))k›O˛¥ÉA k•%› mnk = 1 n Xn i=1 ￾ Xi − X¯
k , k = 1, 2, · · · , (3.2) AOoNêµ2 = E(X − EX) 2›O˛˛¥mn2 = S 2 n = 1 n Pn i=1 ￾ Xi − X¯
2 , ßÜê S 2 = 1 n−1 Pn i=1 ￾ Xi − X¯
2 êòá~Íœf. ^ank, mnk©OOαk⁄ µk¥ò´ƒuÜ*ê{, ßù‚¥: ank¥αkÆO, = Eank = 1 n Xn i=1 E(Xk i ) = 1 n Xn i=1 αk = αk . (3.3) ^mnkOµk ,òÑÿ¥Ã†, ånåû, †ÿwÕ, Ö7áûåäò ?, ¶É§èÆO. ûwe~: ~1. µ2 = σ 2¥oNê, KS 2 n = mn2ÿ¥σ 2ÆO. y d~å E(S 2 n ) = E 1 n Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ! = n − 1 n E 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ! = n − 1 n E(S 2 ) = n − 1 n σ 2 . (3.4) œ mn2ÿ¥σ 2ÆO, Ö¥X⁄/†$. ÚŸ?, êL^ m∗ n2 = n n − 1 mn2 = 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X¯) 2 = S 2 (3.5) ìOmn2,“E(m∗ n2 ) = E(S 2 ) = σ 2 ,=S 2èoNêÆO. ˘“¥·Ç^S 2äè 꽬, ÿ^mn2nd§3. k ≥ 4,“ÿUœL˘{¸?—µkà †O. òÑ, k•%›å±^:›L—(- an0 = 1): mnk = 1 n Xn i=1 (Xi − an1) k = 1 n Xn i=1 X k r=0  k r  (−1)k−rXr i a k−r n1 = X k r=0  1 n Xn i=1 Xr i  (−1)k−r  k r  a k−r n1 4