=--(（月哈 (3.6) 下面给出矩法及矩估计量的定义， 定义1.设有总体分布族{F,0∈日}，日是参数空间，g(0)是定义在日上的参数0的函数，它可 以表为总体分布的某些矩的函数，即 g(0)=G(a1,…,ak;1,…,4s) (3.7) 设X=(X1,·,Xn)是从上述分布族中抽取的简单样本，用an和mn分别代替(3.)式中 的a,和4得 g(X)=Ganl,…,ank;mnl,…,mns): (3.8) 其中ani是a:的矩估计量，mn是4的矩估计量，则g(X)作为g(0)的估计量，称为g(0)的矩估计 量(Moment estimate.这种求矩估计量的方法称为矩法(Moment method of estimation). 二、若干例子 例2.设X1,·,Xn是从具有成功概率0的两点分布总体b(1,)中抽取的简单样本，求9和g(0)= 0(1-)的矩估计 解设X~b(1,),即有P(X=x)=F(1-)1-x.由于E(X)=0,因此8的矩估计就 是(X1,…,Xm)=,而g(0)的矩估计是 gX1,…,Xn)=(1-) 例3.设X1,…,Xni.id.心均匀分布U(01,02),参数0=(01,02)，其中-o<1<2<+oo. 求01和02的矩估计量. 解设X~U(01,2),由均匀分布的性质可知 E(X)=a1=(01+02)/2, D(X)=2=(02-A)2/12. 解此方程组得 91=a1-V3h2,2=a1+V342 将上式中a,和2分别用和mn2代入得 6(X1;...,Xn)=-V3mn2 =X-V3Sn, 02(X1,…,Xn)=x+V3Sn, 其中S2由(3.4)给出（亦可用S代替Sn,此处S2由公式(3.5）给出). 例4.设总体分布有概率密度 fo(x)= 2V票exp{-0x2}当x>0 0 当x≤0， 其中0>0为未知参数.这个分布称为Marwell分布，在气体分子动力学中有应用.设X1,·,Xn为 抽自此总体的简单随机样本，求g(0)=1/0的矩估计量. 6= X k r=0 (−1)k−r  k r  anr a k−r n1 , (3.6) e°â—›{9›O˛½¬. ½¬ 1. koN©Ÿx{Fθ, θ ∈ Θ}, Θ¥ÎÍòm, g(θ)¥½¬3Θ ˛ÎÍθºÍ, ßå ±LèoN©Ÿ, ›ºÍ, = g(θ) = G(α1 , · · · , αk ; µ1, · · · , µS ). (3.7) X = (X1, · · · , Xn)¥l˛„©Ÿx•ƒ{¸, ^ani⁄ mnj©OìO(3.7)™• αi⁄ µj gˆ(X) = G(an1, · · · , ank; mn1, · · · , mns), (3.8) Ÿ•ani¥αi›O˛, mnj¥µj›O˛, Kgˆ(X)äèg(θ)O˛, °èg(θ) ›O ˛(Moment estimate). ˘´¶›O˛ê{°è›{ (Moment method of estimation). !eZ~f ~2. X1, · · · , Xn¥l‰k§ıV«θ¸:©ŸoNb(1, θ)•ƒ{¸, ¶θ⁄g(θ) = θ(1 − θ)›O. ) X ∼ b(1, θ),=kP(X = x) = θ x (1 − θ) 1−x . duE(X) = θ,œdθ›O“ ¥ˆθ(X1, · · · , Xn) = X, ¯ g(θ)›O¥ gˆ(X1, · · · , Xn) = X¯(1 − X¯). ~3. X1, · · · , Xn i.i.d. ∼ ˛!©ŸU(θ1, θ2), ÎÍθ = (θ1, θ2),Ÿ•−∞ < θ1 < θ2 < +∞. ¶θ1⁄θ2›O˛. ) X ∼ U(θ1, θ2), d˛!©Ÿ5üå E(X) = α1 = (θ1 + θ2)  2, D(X) = µ2 = (θ2 − θ1) 2  12. )dêß| θ1 = α1 − p 3µ2, θ2 = α1 + p 3µ2. Ú˛™•α1⁄ µ2 ©O^X¯ ⁄ mn2ì\ ˆθ1(X1, · · · , Xn) = X¯ − √ 3mn2 = X¯ − √ 3Sn, ˆθ2(X1, · · · , Xn) = X¯ + √ 3Sn, Ÿ•S 2 nd(3.4)â—(½å^SìOSn,d?S 2d˙™(3.5)â—). ~4. oN©ŸkV«ó› fθ(x) = ( 2 √ θ π exp {−θx2}  x > 0 0  x ≤ 0, Ÿ•θ > 0èôÎÍ. ˘á©Ÿ°èMaxwell ©Ÿ, 3ÌN©fƒÂÆ•kA^. X1, · · · , Xnè ƒgdoN{¸ëÅ, ¶g(θ) = 1/θ›O˛. 5