解由方程 ,==2yr= 解得g(0)=1/9=πa2,将a,用代替得 g(X1,…,Xn)=π2 另一方面，由另一方程 解得g0)=1/0=2a,将a用a2=去公x代入，得g0的矩估计 三1 g2(X1,·,Xn)=2an2= n i=1 由此可见矩估计量不唯一，但它们同样合理.这两个矩估计量g:(X)和g2(X)中哪一个 更好？以后我们将证明基于αn2的估计量g(X),在g()一切无偏估计类中为方差最小者.基 于an1的估计g:(X)不是g(0)的无偏估计. 例5.设总体分布有概率密度 f(x)= )70a)exp} 0 x≤0， 参数0=(01,02)的变化范围-1<01<o,02>0.设X1,·,Xn为抽自此总体的简单随机样 本，求01和02的矩估计量 解由简单计算得到总体分布的前两阶矩为： a=r/r() a2= r(/() (3.9) 按矩估计方法，用an1和an2分别代替(3.9)中的a,和a2,用A1和82分别代替01和92，得到如下的方 程组： -r(2/() 其解就是01和2的矩估计.但此处得不出©1和2的解析表达式，而只能用数值方法.此例说明 不是所有的矩估计都有解析表达式的， 矩估计方法也可以用于多维样本，请看下例. 例6.设(X,Y),i=1,2,·,n为从一个二维总体中抽取的简单随机样本，求总体分布的协 方差o2和相关系数和p的矩估计. 6) dêß α1 = E(X) = 2r θ π Z ∞ 0 xe−θx2 dx = 1 √ πθ )g(θ) = 1/θ = πα2 1 ,Úα1^X¯ìO gb1 (X1, · · · , Xn) = πX¯ 2 . ,òê°, d,òêß α2 = Eθ(X2 ) = 2r θ π Z ∞ 0 x 2 e −θx2 dx = 1 2θ )g(θ) = 1/θ = 2α2, Úα2^an2 = 1 n Pn i=1 X2 i ì\,g(θ)›O gˆ2(X1, · · · , Xn) = 2 an2 = 2 n Xn i=1 X2 i . ddåÑ›O˛ÿçò, ßÇ”‹n. ˘¸á›O˛gˆ1(X) ⁄gˆ2(X)•=òá ç–? ±￾·ÇÚy²ƒuan2O˛gˆ2(X),3g(θ)òÉÆOa•èêň. ƒ uan1Ogˆ1(X)ÿ¥g(θ)ÆO. ~5. oN©ŸkV«ó› fθ(x) = ( θ2 Γ((1+θ1)/θ2) x θ1 exp{−x θ2 } x > 0 0 x ≤ 0, ÎÍθ = (θ1, θ2)Czâå−1 < θ1 < ∞, θ2 > 0.X1, · · · , XnèƒgdoN{¸ëÅ , ¶θ1⁄θ2›O˛. ) d{¸OéoN©Ÿc¸›è: α1 = Γ2 + θ1 θ2 . Γ 1 + θ1 θ2  , α2 = Γ3 + θ1 θ2 . Γ 1 + θ1 θ2  . (3.9) U›Oê{, ^an1⁄an2©OìO(3.9)•α1⁄α2,^ˆθ1⁄ˆθ2©OìOθ1⁄θ2, Xeê ß|: an1 = Γ2 + ˆθ1 ˆθ2 . Γ 1 + ˆθ1 ˆθ2  , an2 = Γ3 + ˆθ1 ˆθ2 . Γ 1 + ˆθ1 ˆθ2  . Ÿ)“¥θ1⁄θ2›O. d?ÿ—ˆθ1⁄ˆθ2)¤Là™, êU^Íäê{. d~`² ÿ¥§k›O—k)¤Là™. ›Oê{èå±^uıë, ûwe~. ~6. (Xi , Yi), i = 1, 2, · · · , nèlòáëoN•ƒ{¸ëÅ, ¶oN©Ÿ êσ12⁄É'XÍ⁄ρ›O. 6