解按定义σ的矩估计量是样本协方差，即 m2= 1(X-)Y-Y), (3.10) n台 其中X=员∑”1X,了-员∑=y,而的矩估计量是样本相关系数，即 (X:-)(Y-) 1 (3.11) =1 三、矩估计的无偏性 矩法是由K.Pearson 1894年提出的点估计的古老方法.它的特点是直观性强，用此法获 得估计量简便、易行，且不要求事先知道总体的分布，矩估计量还具有相合性.它的缺点是： 在参数分布族场合，没有充分利用其提供的有关参数的信息，小样本性质不突出.此外，矩估 计量不具唯一性， 下面我们研究矩估计的下列三方面的性质：小样本性质有无偏性，大样本性质有相合性 和渐近正态性.其大样本性质将放在下段考虑. 估计量的无偏性和渐近无偏性的定义在$3.1中已给出，下面讨论矩估计的无偏性和渐近 无偏性 (1)样本的阶原点矩ank是总体k阶原点矩a(k=1,2,)的无偏估计，公式(3.3)已给出 了证明 (②)对k≥2，样本的k阶中心矩不是总体k阶中心矩的无偏估计. ()由例3.2.1可知 E(mn2)=n- n2, 将其修正，得 -()ma=- =1 是2的无偏估计 ()经过计算可知样本的3阶中心矩mn3也不是总体3阶中心矩μ，的无偏估计，事实上 E(mn3)=n-1n-2) n2 (3.12) 将其修正，得 n2 mis=n-10n-习mn3 它是4的无偏估计 ()更进一步，可以证明对v≥4有 E(mnv）=4v+O(1/n), (3.13) 因此对v≥4，mnv也不是总体的v阶中心矩4的无偏估计」 (3)矩估计一般具有渐近无偏性.由(2)可见mnw(v≥2)是总体v阶中心矩4，的渐近无偏 估计.如 iE(m3）-lim(n-1n-2) 机子0d n2 43=μ3 1) U½¬σ12›O˛¥ê, = m12 = 1 n Xn i=1 (Xi − X¯)(Yi − Y¯ ), (3.10) Ÿ•X¯ = 1 n Pn i=1 Xi , Y¯ = 1 n Pn j=1 Yj , ρ›O˛¥É'XÍ, = r = Pn i=1 (Xi − X¯)(Yi − Y¯ ) s Pn i=1 (Xi − X¯) 2 Pn j=1 (Yi − Y¯ ) 2 . (3.11) n!›OÆ5 ›{¥dK. Pearson 1894cJ—:OPê{. ßA:¥Ü*5r, ^d{º O˛{B!¥1, Öÿá¶ØkoN©Ÿ, ›O˛Ñ‰kÉ‹5. ß":¥: 3ÎÍ©Ÿx|‹, vkø©|^ŸJ¯k'ÎÍ&E, 5üÿ‚—. d , › O˛ÿ‰çò5. e°·ÇÔƒ›Oenê°5ü: 5ükÆ5, å5ükÉ‹5 ⁄ÏC5. Ÿå5üÚò3e„ƒ. O˛Æ5⁄ÏCÆ5½¬3§3.1•Æâ—, e°?ÿ›OÆ5⁄ÏC Æ5. (1) k:›ank¥oNk:›αk (k = 1, 2, · · ·)ÆO, ˙™(3.3)Æâ— y². (2) Èk ≥ 2,k•%›ÿ¥oNk•%›ÆO. (i) d~3.2.1å E(mn2) = n − 1 n µ2, ÚŸ?,  S 2 =  n n − 1  mn2 = 1 n − 1 Xn i=1 (Xi − X¯) 2 ¥µ2ÆO. (ii) ²LOéå3•%›mn3èÿ¥oN3•%›µ3ÆO, Ø¢˛ E(mn3) = (n − 1)(n − 2) n2 µ3 . (3.12) ÚŸ?,  m∗ n3 = n 2 (n − 1)(n − 2) mn3, ߥµ3ÆO. (iii) ç?ò⁄, å±y²Èν ≥ 4k E(mnν) = µν + O(1/n), (3.13) œdÈν ≥ 4, mnνèÿ¥oNν•%›µν ÆO. (3) ›OòщkÏCÆ5. d(2)åÑmnν (ν ≥ 2)¥oNν•%›µνÏCÆ O. X limn→∞ E(mn3) = limn→∞ (n − 1)(n − 2) n2 µ3 = µ3 . 7