例7.设X,,Xnii.d.~指数分布EP(),其密度为f(a)=Ae->0求入的矩估计量入， 并讨论它的无偏性 解由于a1=0f(r)dx=1/A,解得入=1/a,将a,用其矩估计量灭=an1代入，得 到入的矩估计量为 (X1,…,Xn)=1/X. 由于y-含X心Gamma分布Ga, E=nE四=n广y-。=nMa- 可见(X1,·,Xn)=1/不是λ的无偏估计.因此矩估计量不一定都具有无偏性.但imE()= im[n/(n-1)·=入，故(X1,·,Xn)是A的渐近无偏估计.对略作修正，可得入的一个无 偏蓓计 *(X1,…,Xn)=(n-1)i(X1,…,Xn)/n=(n-1)/(nX) 四、矩估计的相合性和渐近正态性 1.矩估计的相合性 估计量的几种相合性的定义已在$3.1中给出.一般说来矩估计在较一般的条件下具有相 合性.此处我们给出矩估计的强相合性，显然相应的矩估计的弱相合性也成立， (1)样本阶原点矩是总体阶原点矩的强相合估计.设X1,·,X是从总体F中抽取的 简单随机样本，ak为样本的k阶原点矩，a为总体的k阶原点矩.由独立同分布场合的柯尔莫 哥洛夫强大数律可知anka.sa,k=1,2,….即 P(lim ank =ax)=1,k 1,2,... (2)样本阶中心矩是总体k阶中心矩的强相合估计.这一结论的证明用到下列事实(A): (A)设函数f(,…,)在(C,C2…,C)处连续，若n1 a8C1,…, InkaC,则f(n1,…,nk)af(c,c2,…,c) 这一事实的证明留作练习.我们在事实(A)成立的前提下，证明上述结论：由于 4=-i-r(）aar=faae,a r=0 显见f)是其变元的连续函数.由(1)可知aiaa,i=1,…,k,故由上述事实(A)及公 式(3.6)立得 mnk=f(an1,…,ank)af(a1,…,a)=hk,k=1,2,…, 这就证明了结论 (3)设g()有(？)形式，其矩估计为(？)，关于此类矩估计的强相合性有下述定理， 定理1.设X=(X1,…,Xn)为从总体F中抽取的简单随机样本，待估函数g()=G(a1,…,a,2,…,4s), 其矩估计量为gn(X)=G(an1,…,ank,mn2,·,mns),且G为其变元的连续函数，则gn(X)为g(0) 之强相合估计 8~7. X1, · · · , Xn i.i.d. ∼ çÍ©Ÿ EP(λ),Ÿó›èfλ(x) = λe−λxI[x>0]. ¶λ›O˛λ, ˆ ø?ÿßÆ5. ) duα1 = R ∞ 0 xfλ(x)dx = 1/λ,)λ = 1/α1 , Úα1^Ÿ›O˛X¯ = an1ì\,  λ›O˛è λˆ(X1, · · · , Xn) = 1  X. ¯ duY = Pn i=1 Xi ∼ Gamma©Ÿ G(n, λ), E(λˆ) = nE￾ 1/Y
= n Z ∞ 0 1 y · λ n Γ(n) y n−1 e −λydy = nλ/(n − 1), åÑλˆ(X1, · · · , Xn) = 1/X¯ÿ¥λÆO. œd›O˛ÿò½—‰kÆ5. limn→∞ E(λˆ) = limn→∞ [n/(n − 1) · λ] = λ, λˆ(X1, · · · , Xn)¥λÏCÆO. Èλˆ—ä?, åλòáà †O λˆ∗ (X1, · · · , Xn) = (n − 1)λˆ(X1, · · · , Xn)/n = (n − 1)/(nX¯). o!›OÉ‹5⁄ÏC5 1. ›OÉ‹5 O˛A´É‹5½¬Æ3§3.1•â—. òÑ`5›O3òÑ^áe‰kÉ ‹5. d?·Çâ—›OrÉ‹5, w,ÉA›OfÉ‹5觷. (1) k:›¥oNk:›rÉ‹O. X1, · · · , Xn¥loNF•ƒ {¸ëÅ, ankèk:›, αkèoNk:›. d’·”©Ÿ|‹Ö# x‚ÅråÍÆåank a.s. −−→ αk , k = 1, 2, · · · .= P ￾ limn→∞ ank = αk
= 1, k = 1, 2, · · · (2) k•%›¥oNk•%›rÉ‹O. ˘ò(ÿy²^eØ¢(A): (A)  º Íf(y1 , · · · , yk )3(c1 , c2, · · · , ck )? Î Y, eyn1 a.s. −−→ c1 , · · · , ynk a.s. −−→ ck ,Kf(yn1, · · · , ynk) a.s. −−→ f(c1 , c2, · · · , ck ). ˘òØ¢y²3äˆS. ·Ç3Ø¢(A)§·cJe, y²˛„(ÿ: du µk = X k r=0 (−1)k−r  k r  αk α k−r 1 = f(α1 , α2, · · · , αk ), wÑf(·)¥ŸCÎYºÍ. d(1)åani a.s. −−→ αi , i = 1, · · · , k, d˛„Ø¢(A)9˙ ™(3.6)· mnk = f(an1, · · · , ank) a.s. −−→ f(α1 , · · · , αk ) = µk , k = 1, 2, · · · , ˘“y² (ÿ. (3) g(θ)k(??)/™, Ÿ›Oè(??), 'uda›OrÉ‹5ke„½n. ½n 1. X = (X1, · · · , Xn)èloNF•ƒ{¸ëÅ, ñºÍg(θ) = G(α1 , · · · , αk , µ2, · · · , µS ), Ÿ›O˛ègˆn(X) = G(an1, · · · , ank, mn2, · · · , mns),ÖGèŸCÎYºÍ, Kgˆn(X)èg(θ) ÉrÉ‹O. 8