证由(1)可知ani4a4,i=1,2,….由(2)可知mnia4,i=2,3,….再由G是其变 元的连续函数，利用事实(A),立即可得n(X)as,g(0). 由这一定理可得出一些常见估计的相合性.例如正态总体N(α，σ2)中，样本均值和样本 方差S2分别是a和σ2的强相合估计.也不难证明S2是σ2的均方相合估计.其实对任何r>0, S2是σ的r阶矩相合估计.例3.2.5中定义的偏度、峰度和变异系数的矩估计都是强相合的. 2.矩估计的渐近正态性 本段我们将在很一般的条件下，给出矩估计是相合渐近正态估计.下面首先给出定义 定义2.设X=(X1,…,Xn)是从总体{F,0∈日中抽取的简单样本，gn(X)是g(0)的矩估计 量.若存在与样本大小n有关的，定义于参数空间日上的函数An(0)和Bn(0),其中Bn(0)在日上 处处大于0，使当n→∞时 (gn(X)-An(0)/Bn()N(0,1) 且g(X)为g(0)的弱相合估计，则称g(X)为g(0)的相合渐近正态估计(Consistent Asymptotic Normal Estimation,简记为CAN估计). 就是说CAN估计是既相合，其分布又渐近服从正态分布的那种估计.本段我们提出两个 重要结果，即在很一般的条件下，矩估计为CAN估计 Delta方法假设b:DCRk-→Rm为一定义在R的子集D上的映射，且在0(B∈ )处可微.假设Tn为一列取值于D上的随机向量，且存在正的趋于无穷的常数数 列rn使得rn(Tn-)-T,则 rnlo(Tn)-(e)](0)T. 其中()为函数在9处的m×k的导数矩阵。 特别，若T~N0,A),则可以得出()TN(0,(0)A[(0)]T).使用此方法可以证明 如下结论 (1)设样本X1,·,Xn为从总体{Fa,0∈日}中抽取的简单样本，g(0)是定义在参数空 间日上的实函数，它可以表为形式：g(0)=G(a,…,a.)(若G是a,…,ak,1,…,4的 函数，不妨令s≤k,可将4，用a,a2,·,a,表出，则G仍可表为a,…,a,的函数)，而(X)= X1,·,Xn)=G(an1,·,ank)为g()的矩估计.再设总体的2k阶原点矩存在，且G对其各 变元的一阶偏导数存在、连续，令 b=a+y-a,a,i,j=1,2,…,k:B=(bg）为k×k的方阵， d=0Gaa,i=1,2,…,kd=a,…,dy 0a. b2=d'Bd. 定理2.在上述记号和条件下，gn(X)为g(0)=G(a,…,a.)的CAN估计.即gn(X)为g(0)的 弱相合估计，且有 V元(gn(X)-G(a1,…,a)）N(0,b2),当n→o时 9y d(1)åani a.s. −−→ αi , i = 1, 2, · · · .d(2)åmni a.s. −−→ µi , i = 2, 3, · · · .2dG¥ŸC ÎYºÍ, |^Ø¢(A), ·=ågˆn(X) a.s. −−→ g(θ). d˘ò½nå—ò ~ÑOÉ‹5. ~XoNN(a, σ2 )•,˛äX¯⁄ êS 2©O¥a⁄σ 2rÉ‹O. èÿJy²S 2¥σ 2˛êÉ‹O. Ÿ¢È?¤r > 0, S 2¥σ 2r›É‹O. ~3.2.5•½¬†›!¸›⁄C…XÍ›O—¥rÉ‹. 2. ›OÏC5 „·ÇÚ3ÈòÑ^áe, â—›O¥É‹ÏCO. e°ƒkâ—½¬ ½¬ 2. X = (X1, · · · , Xn)¥loN{Fθ, θ ∈ Θ}•ƒ{¸, gˆn(X)¥g(θ)›O ˛. e3Üånk', ½¬uÎÍòmΘ˛ºÍAn(θ)⁄Bn(θ), Ÿ•Bn(θ)3Θ˛ ??åu0,¶n → ∞û (ˆgn(X)) − An(θ))  Bn(θ) L −→ N(0, 1) Ögˆ(X)èg(θ)fÉ‹O, K°gˆ(X)èg(θ)É‹ÏCO (Consistent Asymptotic Normal Estimation, {PèCANO). “¥`CANO¥QÉ‹, Ÿ©ŸqÏC—l©Ÿ@´O. „·ÇJ—¸á ­á(J,=3ÈòÑ^áe,›OèCANO. Delta ê{ bφ : D ⊂ Rk 7−→ Rm èò½¬3Rkf8D˛N, Ö3θ(θ ∈ Rk )?åá. bTnèòäuD˛ëÅï˛, Ö3™uð~ÍÍ rn¶rn(Tn − θ) d 7−→ T, K rn[φ(Tn) − φ(θ)] d 7−→ φ 0 (θ)T. Ÿ•φ 0 (θ)èºÍφ3θ?m × kÍ› . AO, eT ∼ N(0, A), Kå±—φ 0 (θ)T ∼ N(0, φ0 (θ)A[φ 0 (θ)]T ). ¶^dê{å±y² Xe(ÿ. (1) X1, · · · , XnèloN{Fθ, θ ∈ Θ} •ƒ{¸, g(θ)¥½¬3ÎÍò mΘ˛¢ºÍ, ßå±Lè/™: g(θ) = G(α1 , · · · , αk ) (eG ¥α1 , · · · , αk, µ1, · · · , µs ºÍ, ÿî-s ≤ k,åÚµj^α1 , α2, · · · , αsL—, KGEåLèα1 , · · · , αkºÍ), gˆ(X) = gˆ(X1, · · · , Xn) = G(an1, · · · , ank)èg(θ)›O. 2oN2k:›3, ÖG ÈŸà Cò†Í3!ÎY, - bij = αi+j − αiαj , i, j = 1, 2, · · · , k; B = ￾ bij
è k × k ê , di = ∂G(α1 , · · · , αk ) ∂αi , i = 1, 2, · · · , k; d = (d1 , · · · , dk ) 0 b 2 = d 0Bd. ½n 2. 3˛„P“⁄^áe,gˆn(X)èg(θ) = G(α1 , · · · , αk )CAN O. =gˆn(X)èg(θ) fÉ‹O,Ök √ n ￾ gˆn(X) − G(α1 , · · · , αk )
L −→ N(0, b2 ), n → ∞ û 9