证由定理3.2.1可知gn(X)为g()=G(a,…,a)的强相合估计.其渐近正态性的证明 见参考文献[2Ps2定理2.6. (2)在一些情况下，g()可表为一、两个中心矩的函数，还可能包含总体均值α，g()的 表达式较简单.若将中心矩用原点矩表出，9()的表达式则显得复杂，因此有必要给出这种 情形下渐近正态性的结果.一般，将g()表达成如下形式 g(8)=H(a1,4t2,·,tn) (3.14) 其矩估计量为H(了，mnt2,…,mnt,),使用与定理3.2.2类似证明方法，可得如下结果： 定理3.设(3.14)式中的函数H在点(1，山2，…，4，)的邻域内有一阶偏导数，且此偏导数在 点(a1,t2,…,t,）处连续，则有 V元(H(,mmt2,…,mnt,)-H(a1,t2,…,t,)）N(0,b2) (3.15) 此处 63 (3.16) =1j=1 其中 H1=0a ,H:=u OH OH ，i=2,3,…,r 011=42,01i=0i1=4t4+1-t4t4-1l2,i=2,…,T; 0=4+t与-t4-14t+1-tt+1山t与-1-山t +tt42t-14ty-1,i,j=2,3,…,r. 如果g(0)有H(a,…,4,)的形状，即与a,无关，则3.15)仍成立，只需把(3.16)式所确定的2 改为∑∑HH即可. 22 例8.继续考虑例3.2.5.被估计量g(Θ)为偏度B,峰度B2和变异系数V,其矩估计量由例3.2.6可 知为 8二37：历-m3 立=Vmn2/X. mn2 讨论它们的渐近正态性 解按(3.15)和(3.16)式，对这三个矩估计量分别算得62之值为 b2(B)=6,b2(32)=24,b2(V)=V2/2+V4 于是根据定理3.2.3有 √元(6，-3，)N0,6), Vm(a2-B2)三N(0,24, m(-V)N(0,V2/2+V4) 值得注意的是，B2的极限分布的方差与被估计的参数值无关，这点对B,2的大样本推断 有用. 10y d½n3.2.1ågˆn(X) èg(θ) = G(α1 , · · · , αk ) rÉ‹O. ŸÏC5y² ÑΩz[2] P82 ½n2.6. (2) 3ò ú¹e, g(θ) åLèò!¸á•%›ºÍ, ÑåUù¹oN˛äα1 , g(θ)  Là™{¸. eÚ•%›^:›L—, g(θ) Là™KwE,, œdk7áâ—˘´ ú/eÏC5(J. òÑ, Úg(θ) Là§Xe/™ g(θ) = H(α1 , µt2 , · · · , µtr ), (3.14) Ÿ›O˛èH(X, m ¯ nt2 , · · · , mntr ),¶^ܽn3.2.2aqy²ê{, åXe(J: ½n 3. (3.14)™•ºÍH 3:(α1, µt2 , · · · , µtr ) çSkò†Í, Öd†Í3 :(α1, µt2 , · · · , µtr ) ?ÎY, Kk √ n ￾ H(X, m ¯ nt2 , · · · , mntr ) − H(α1 , µt2 , · · · , µtr )
L −→ N(0, b2 ). (3.15) d? b 2 = Xr i=1 Xr j=1 σijHiHj , (3.16) Ÿ• H1 = ∂H ∂α1 , Hi = ∂H ∂µti , i = 2, 3, · · · , r; σ11 = µ2, σ1i = σi1 = µti+1 − tiµti−1µ2, i = 2, · · · , r; σij = µti+tj − tiµti−1µtj+1 − tjµti+1µtj−1 − µtiµtj +titjµ2µti−1µtj−1, i, j = 2, 3, · · · , r. XJg(θ) kH(µt2 , · · · , µtr ) /G, =Üα1 Ã', K(3.15)E§·, êIr(3.16)™§(½b 2 Uè Pr i=2 Pr j=2 σijHiHj =å. ~8. UYƒ~3.2.5.O˛g(θ) 膛β1 ,¸›β2 ⁄C…XÍV,Ÿ›O˛d~3.2.6å è βˆ 1 = mn3 m 3/2 n2 , βˆ 2 = mn4 m2 n2 , Vˆ = √ mn2  X. ¯ ?ÿßÇÏC5. ) U(3.15) ⁄(3.16)™, È˘ná›O˛©Oéb 2 Éäè b 2 (β1 ) = 6, b2 (β2) = 24, b2 (V ) = V 2  2 + V 4 . u¥ä‚½n3.2.3k √ n(βˆ 1 − β1 ) L −→ N(0, 6), √ n(βˆ 2 − β2) L −→ N(0, 24), √ n(Vˆ − V ) L −→ N ￾ 0, V 2  2 + V 4
. ä5ø¥βˆ 1 , βˆ 2 4Å©ŸêÜOÎÍäÃ', ˘:Èβ1 , β2 å̉ k^. 10