)提前执行无收益资产美式期权的合理性 1.看涨期权 由于现金会产生收益,而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益,再加上美式期权的时间价 值总是为正的,因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。为了精 确地推导这个结论,我们考虑如下两个组合: 组合A:一份美式看涨期权加上金额为Xe-)的现金 组合B:一单位标的资产 在T时刻,组合A的现金变为X,组合A的价值为max(Sr,X)。而组合B的价值为Sr, 可见,组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。这意味着,如果不提前执行,组合A的价值 定大于等于组合B 我们再来看一下提前执行美式期权的情况。若在τ时刻提前执行,则提前执行看涨期权所得盈 利等于Sxx,其中S表示r时刻标的资产的市价,而此时现金金额变为xx-),其中表 I-了时段的远期利率。因此,若提前执行的话,在τ时刻组合A的价值为 S-X+en),而组合B的价值为S。由于T>r,r>0因此Xe-)<X。这就是说若 提前执行美式期权的话,组合A的价值将小于组合B 比较两种情况我们可以得出结论:提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此,同 种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的,即: C=c 根据(134),我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限: C≥max[S-ke 2.看跌期权 为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理,我们考察如下两种组合: 组合A:一份美式看跌期权加上一单位标的资产 组合B:金额为Xe-)的现金 若不提前执行,则到T时刻,组合A的价值为max(X,Sr),组合B的价值为X,因此组合 A的价值大于等于组合B 若在时刻提前执行,则组合A的价值为X,组合B的价值为Xer(),因此组合A的价值 也高于组合B。 比较这两种结果我们可以得出结论:是否提前执行无收益资产的美式看跌期权,主要取决于期 权的实值额(X-S)、无风险利率水平等因素。一般来说,只有当S相对于Ⅹ来说较低,或者r较 高时,提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。 由于美式期权可提前执行,因此其下限比(13.6)更严格 P≥X-S (13.10) (二)提前执行有收益资产美式期权的合理性 1.看涨期权 由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产,从而获得现金收益,而现金收益可 以派生利息,因此在一定条件下,提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。 我们假设在期权到期前,标的资产有n个除权日,t1,t2…,tn为除权前的瞬时时刻,在这些 时刻之后的收益分别为D1,D2,……,Dn,在这些时刻的标的资产价格分别为S1,S2,……S 由于在无收益的情况下,不应提前执行美式看涨期权,我们可以据此得到一个推论:在有收益 情况下,只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在 每个除权日前提前执行的可能性5 （一）提前执行无收益资产美式期权的合理性 1．看涨期权. 由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价 值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。为了精 确地推导这个结论，我们考虑如下两个组合： 组合 A：一份美式看涨期权加上金额为 r(T t) Xe − − 的现金 组合 B：一单位标的资产 在 T 时刻，组合 A 的现金变为 X，组合 A 的价值为 max（ST，X）。而组合 B 的价值为 ST， 可见，组合 A 在 T 时刻的价值一定大于等于组合 B。这意味着，如果不提前执行，组合 A 的价值 一定大于等于组合 B。 我们再来看一下提前执行美式期权的情况。若在  时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈 利等于 S  -X，其中 S  表示  时刻标的资产的市价，而此时现金金额变为 − ( − )  r T Xe ，其中  r 表示 T-  时 段 的 远 期 利 率 。 因 此 ， 若 提 前 执 行 的 话 ， 在  时 刻 组 合 A 的 价 值 为 ： (  )  − −  − + r T S X Xe ，而组合 B 的价值为  S 。由于  ,  0  T  r 因此 Xe X r T t  − ( − ) 。这就是说,若 提前执行美式期权的话，组合 A 的价值将小于组合 B。 比较两种情况我们可以得出结论：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一 种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即： C=c （13.8） 根据（13.4），我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限： max[ ,0] r(T t) C S Xe− −  − （13.9） 2．看跌期权 为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理，我们考察如下两种组合： 组合 A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产 组合 B：金额为 r(T t) Xe − − 的现金 若不提前执行，则到 T 时刻，组合 A 的价值为 max（X，ST），组合 B 的价值为 X，因此组合 A 的价值大于等于组合 B。 若在  时刻提前执行，则组合 A 的价值为 X，组合 B 的价值为 Xe-  r (T-τ)，因此组合 A 的价值 也高于组合 B。 比较这两种结果我们可以得出结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期 权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当 S 相对于 X 来说较低，或者 r 较 高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。 由于美式期权可提前执行，因此其下限比（13.6）更严格： P  X −S （13.10） （二 ）提前执行有收益资产美式期权的合理性 1．看涨期权. 由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可 以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。 我们假设在期权到期前，标的资产有 n 个除权日，t1，t2……，tn 为除权前的瞬时时刻，在这些 时刻之后的收益分别为 D1，D2，……，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为 S1，S2，……Sn。 由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益 情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在 每个除权日前提前执行的可能性