第十三章期权的定价 期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的,它涉及到随机过程等较为复杂的概念。我们将 由浅入深,尽量深入浅出地导出期权定价公式,并找出衍生证券定价的一般方法。 第一节期权价格的特性 内在价值和时间价值 期权价格(或者说价值)等于期权的内在价值加上时间价值 (一)期权的内在价值 期权的内在价值(I Value)是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。对于欧式看涨 期权来说,因多方只能在期权到期时行使,因此其内在价值为(SrX)的现值。由于对于无收益资产 而言,Sr的现值就是当前的市价(S),而对于支付现金收益的资产来说,Sr的现值为S-D,其中 D表示在期权有效期内标的资产现金收益的现值。因此,无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于 S-Xen,而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-D-Xe14 对于无收益资产美式看涨期权而言,虽然多方可以随时行使期权,但我们在本节即将证明在 期权到期前提前行使无收益美式期权是不明智的,因此无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨 期权价格,其内在价值也就等于S-Xe1)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于S-D-Xen( 同样道理,无收益资产欧式看跌期权的内在价值都为ⅩeI-S,有收益资产欧式看跌期权的 内在价值都为Xe+D-S。美式看跌期权由于提前执行有可能是合理的,因此其内在价值与欧式 看跌期权不同。其中,无收益资产美式期权的内在价值等于XS,有收益资产美式期权的内在价值 等于X+DS 当然,当标的资产市价低于协议价格时,期权多方是不会行使期权的,因此期权的内在价值应 大于等于0。 (二)期权的时间价值 期权的时间价值( Time value)是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益 的可能性所隐含的价值。显然,标的资产价格的波动率越高,期权的时间价值就越大。 此外,期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例,当S=Xenn 时,期权的时间价值最大。当S-Xe)的绝对值增大时,期权的时间价值是递减的,如图13.1所 时间价值 图131无收益资产看涨期权时间价值与(S-Xen1)的关系 我们举个例子来说明期权内在价值与时间价值之间的关系。假设A股票(无红利)的市价为 9.05元,A股票有两种看涨期权,其协议价格分别为X1=10元,X2=8元,它们的有效期都是 年,1年期无风险利率为10%(连续复利)。这两种期权的内在价值分别为0和1.81元。那么这两 种期权的时间价值谁高呢? 假设这两种期权的时间价值相等,都等于2元,则第一种期权的价格为2元,第二种期权的价 格为3.81元。那么让读者从中挑一种期权,你们愿意挑哪一种呢?为了比较这两种期权,我们假 定1年后出现如下三种情况:
1 第十三章 期权的定价 期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它涉及到随机过程等较为复杂的概念。我们将 由浅入深，尽量深入浅出地导出期权定价公式，并找出衍生证券定价的一般方法。 第一节 期权价格的特性 一、 内在价值和时间价值 期权价格(或者说价值)等于期权的内在价值加上时间价值。 （一）期权的内在价值 期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。对于欧式看涨 期权来说，因多方只能在期权到期时行使，因此其内在价值为(ST-X)的现值。由于对于无收益资产 而言，ST的现值就是当前的市价（S），而对于支付现金收益的资产来说，ST的现值为 S-D，其中 D 表示在期权有效期内标的资产现金收益的现值。因此，无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于 S-Xe-r(T-t) , 而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于 S-D- Xe-r(T-t)。 对于无收益资产美式看涨期权而言，虽然多方可以随时行使期权，但我们在本节即将证明,在 期权到期前提前行使无收益美式期权是不明智的, 因此无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨 期权价格,其内在价值也就等于 S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于 S-D- Xe-r(Tt)。 同样道理，无收益资产欧式看跌期权的内在价值都为 X e-r(T-t) -S，有收益资产欧式看跌期权的 内在价值都为 X e-r(T-t)+D-S。美式看跌期权由于提前执行有可能是合理的，因此其内在价值与欧式 看跌期权不同。其中，无收益资产美式期权的内在价值等于 X-S，有收益资产美式期权的内在价值 等于 X+D-S。 当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应 大于等于 0。 （二）期权的时间价值 期权的时间价值（Time Value）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益 的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。 此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当 S=X e-r(T-t) 时，期权的时间价值最大。当 S-X e-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图 13.1 所 示。 时间价值 X e-r(T-t) S 图 13.1 无收益资产看涨期权时间价值与(S-X e-r(T-t))的关系 我们举个例子来说明期权内在价值与时间价值之间的关系。假设 A 股票（无红利）的市价为 9.05 元，A 股票有两种看涨期权，其协议价格分别为 X1=10 元，X2=8 元，它们的有效期都是 1 年，1 年期无风险利率为 10%（连续复利）。这两种期权的内在价值分别为 0 和 1.81 元。那么这两 种期权的时间价值谁高呢？ 假设这两种期权的时间价值相等，都等于 2 元，则第一种期权的价格为 2 元，第二种期权的价 格为 3.81 元。那么让读者从中挑一种期权，你们愿意挑哪一种呢？为了比较这两种期权，我们假 定 1 年后出现如下三种情况：
情况一:Sr=14元。则期权持有者可从期权1中获利(14-10-2e01)=1.79元,可从期杈2中获 利(14-8-381e01)=1.79元。期权1获利金额等于期权2。 情况二:Sr=10元。则期权1亏2e01=221元,期权2也亏3.81e01-2=2.21元。期权1亏损等于 期权2。 情况三:Sr=8元。则期权1亏2e0l=221元,而期权2亏3.8e0=421元。期权1亏损少于期 权2 由此可见,无论未来A股票价格是涨是跌还是平,期权1均优于或等于期权2。显然,期权1 的时间价值不应等于而应高于期权2 我们再来比较如下两种期权。X1=10元,X3=12元。其它条件与上例相同。显然,期权1的内 在价值为0,期权3的内在价值虽然也等于0,但S-Xe却等于-1.81元。通过同样的分析,我们 也可以得出期权1的时间价值应高于期权3的结论。综合这三种期权,我们就可以得出无收益资产 看涨期权的时间价值在S=Xe点最大的结论 通过同样的分析,我们还可以得出如下结论:有收益资产看涨期权的时间价值在S=D+Xe 点最大,而无收益资产欧式看跌期权的时间价值在S=Xe点最大,有收益资产欧式看跌期权的 时间价值在S=Xe-D点最大,无收益资产美式看跌期权的时间价值在S=X点最大,有收益资产 美式看跌期权的时间价值在S=X-D点最大 弄清时间价值与内在价值的上述关系对于组建和分析期权的差期组合和对角组合是很重要的 期权价格的影响因素 期权价格的影响因素主要有六个,他们通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价 (一)标的资产的市场价格与期权的协议价格 由于看涨期权在执行时,其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。因此,标的资产的 价格越高、协议价格越低,看涨期权的价格就越高ε 对于看跌期权而言,由于执行时其收益等于协议价格与标的资产市价的差额,因此,标的资产 的价格越低、协议价格越高,看跌期权的价格就越高 (二)期权的有效期 对于美式期权而言,由于它可以在有效期内任何时间执行,有效期越长,多头获利机会就越 大,而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会,因此有效期越长,期权价格越 晑 对于欧式期权而言,由于它只能在期末执行,有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的 所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。例如,同一股票的 两份欧式看涨期权,一个有效期1个月,另一个2个月,假定在6周后标的股票将有大量红利支 付,由于支付红利会使股价下降,在这种情况下,有效期短的期权价格甚至会大于有效期长的期 权。 但在一般情况下(即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况),由于有效期越长,标的资产 的风险就越大,空头亏损的风险也越大,因此即使是欧式期权,有效期越长,其期权价格也越高, 即期权的边际时间价值( Marginal Time value)为正值 我们应注意到,随着时间的延长,期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值 递减规律。换句话说,对于到期日确定的期权来说,在其它条件不变时,随着时间的流逝,其时间 价值的减小是递增的。这意味着,当时间流逝同样长度,期限长的期权的时间价值减小幅度将小于 期限短的期权时间价值的减小幅度。这一点对组建和分析第五章中的期权差期组合和对角组合是很 重要的。 (三)标的资产价格的波动率 简单地说,标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标,其确切 定义将在本章第二节给出。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格,而最大盈利额则取决于执 行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额,因此波动率越大,对期权多头越有利,期权价格也 应越高 (四)无风险利率 无风险利率对期权价格的影响我们可从两个角度来考察
2 情况一：ST=14 元。则期权持有者可从期权 1 中获利（14-10-2e0.1）=1.79 元，可从期权 2 中获 利（14-8-3.81e0.1）=1.79 元。期权 1 获利金额等于期权 2。 情况二：ST=10 元。则期权 1 亏 2e0.1=2.21 元，期权 2 也亏 3.81e0.1 -2=2.21元。期权 1 亏损等于 期权 2。 情况三：ST=8 元。则期权 1 亏 2e0.1=2.21 元，而期权 2 亏 3.81 e0.1=4.21 元。期权 1 亏损少于期 权 2。 由此可见，无论未来 A 股票价格是涨是跌还是平，期权 1 均优于或等于期权 2。显然，期权 1 的时间价值不应等于而应高于期权 2。 我们再来比较如下两种期权。X1=10 元，X3=12 元。其它条件与上例相同。显然，期权 1 的内 在价值为 0，期权 3 的内在价值虽然也等于 0，但 S-X e-r(T-t)却等于-1.81 元。通过同样的分析，我们 也可以得出期权 1 的时间价值应高于期权 3 的结论。综合这三种期权，我们就可以得出无收益资产 看涨期权的时间价值在 S=X e-r(T-t)点最大的结论。 通过同样的分析，我们还可以得出如下结论：有收益资产看涨期权的时间价值在 S=D+ Xe-r(T-t) 点最大，而无收益资产欧式看跌期权的时间价值在 S= Xe-r(T-t) 点最大，有收益资产欧式看跌期权的 时间价值在 S= Xe-r(T-t) -D 点最大, 无收益资产美式看跌期权的时间价值在 S= X 点最大，有收益资产 美式看跌期权的时间价值在 S= X-D 点最大。 弄清时间价值与内在价值的上述关系对于组建和分析期权的差期组合和对角组合是很重要的。 二、 期权价格的影响因素 期权价格的影响因素主要有六个，他们通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价 格。 （一）标的资产的市场价格与期权的协议价格 由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。因此，标的资产的 价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。 对于看跌期权而言，由于执行时其收益等于协议价格与标的资产市价的差额，因此，标的资产 的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。 （二）期权的有效期 对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越 大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越 高。 对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的 所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。例如，同一股票的 两份欧式看涨期权，一个有效期 1 个月，另一个 2 个月，假定在 6 周后标的股票将有大量红利支 付，由于支付红利会使股价下降，在这种情况下，有效期短的期权价格甚至会大于有效期长的期 权。 但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产 的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高， 即期权的边际时间价值（Marginal Time Value）为正值。 我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值 递减规律。换句话说，对于到期日确定的期权来说，在其它条件不变时，随着时间的流逝，其时间 价值的减小是递增的。这意味着，当时间流逝同样长度，期限长的期权的时间价值减小幅度将小于 期限短的期权时间价值的减小幅度。这一点对组建和分析第五章中的期权差期组合和对角组合是很 重要的。 （三）标的资产价格的波动率 简单地说，标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标，其确切 定义将在本章第二节给出。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执 行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也 应越高。 （四）无风险利率 无风险利率对期权价格的影响我们可从两个角度来考察
首先我们可以从比较静态的角度考察,即比较不同利率水平下的两种均衡状态。如果状态1的 无风险利率较高,则标的资产的预期收益率也应较高,这意味着对应于标的资产现在特定的市价 (Sa),未来预期价格[E(S门较高。同时由于贴现率较高,未来同样预期盈利的现值就较低。这两 种效应都将减少看跌期权的价值。但对于看涨期权来说,前者将使期权价格上升,而后者将使期 权价格下降。由于前者的效应大于后者,因此对应于较高的无风险利率,看涨期权的价格也较高。 其次我们可从动态的角度考察,即考察一个均衡被打破到另一个均衡的过程。在标的资产价格 与利率呈负相关时(如股票、债券等),当无风险利率提高时,原有均衡被打破,为了使标的资产 预期收益率提高,均衡过程通常是通过同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格,只是前者的 降幅更大来实现的。同是贴现率也随之上升。对于看涨期权来说,两种效应都将使期权价格下降 而对于看跌期权来说,前者效应为正,后者为负,由于前者效应通常大于后者,因此其净效应是看 跌期权价格上升, 大家应注意到,从两个角度得到的结论刚好相反。因此我们在具体运用时要注意区别分析的角 度 (五)标的资产的收益 由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格,而协议价格并未进行相应调整,因此在期权 有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降,而使看跌期权价格上升 二、期权价格的上、下限 为了推导出期权定价的精确公式,我们先得找出期权价格的上、下限。 (一)期权价格的上限 1.看涨期权价格的上限。 在任何情况下,期权的价值都不会超过标的资产的价格。否则的话,套利者就可以通过买入标 的资产并卖出期权来获取无风险利润。因此,对于美式和欧式看跌期权来说,标的资产价格都是看 涨期权价格的上限 ≤S和C≤S (13.1) 其中,c代表欧式看涨期权价格,C代表美式看涨期权价格,S代表标的资产价格 2.看跌期权价格的上限 由于美式看跌期权的多头执行期权的最高价值为协议价格(X),因此,美式看跌期权价格 (P)的上限为X: P≤X (13.2) 由于欧式看跌期权只能在到期日(T时刻)执行,在T时刻,其最高价值为X,因此,欧式看 跌期权价格(p)不能超过X的现值: P X,则执行看涨期
3 首先我们可以从比较静态的角度考察，即比较不同利率水平下的两种均衡状态。如果状态 1 的 无风险利率较高，则标的资产的预期收益率也应较高，这意味着对应于标的资产现在特定的市价 （So），未来预期价格[E(ST)]较高。同时由于贴现率较高，未来同样预期盈利的现值就较低。这两 种效应都将减少看跌期权的价值。但对于看涨期权来说，前者将使期权价格上升，而后者将使 期 权价格下降。由于前者的效应大于后者，因此对应于较高的无风险利率，看涨期权的价格也较高。 其次我们可从动态的角度考察，即考察一个均衡被打破到另一个均衡的过程。在标的资产价格 与利率呈负相关时（如股票、债券等），当无风险利率提高时，原有均衡被打破，为了使标的资产 预期收益率提高，均衡过程通常是通过同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格，只是前者的 降幅更大来实现的。同是贴现率也随之上升。对于看涨期权来说，两种效应都将使期权价格下降， 而对于看跌期权来说，前者效应为正，后者为负，由于前者效应通常大于后者，因此其净效应是看 跌期权价格上升。 大家应注意到，从两个角度得到的结论刚好相反。因此我们在具体运用时要注意区别分析的角 度。 （五）标的资产的收益 由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权 有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。 二、期权价格的上、下限 为了推导出期权定价的精确公式，我们先得找出期权价格的上、下限。 （一）期权价格 的上限 1．看涨期权价格的上限。 在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。否则的话，套利者就可以通过买入标 的资产并卖出期权来获取无风险利润。因此，对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看 涨期权价格的上限： c S和C S （13.1） 其中，c 代表欧式看涨期权价格，C 代表美式看涨期权价格，S 代表标的资产价格。 2．看跌期权价格的上限 由于美式看跌期权的多头执行期权的最高价值为协议价格（X），因此，美式看跌期权价格 （P）的上限为 X： P X （13.2） 由于欧式看跌期权只能在到期日（T 时刻）执行，在 T 时刻，其最高价值为 X，因此，欧式看 跌期权价格（p）不能超过 X 的现值： r(T t) p Xe− − （13.3） 其中，r 代表 T 时刻到期的无风险利率，t 代表现在时刻。 （二）期权价格的下限 由于确定期权价格的下限较为复杂，我们这里先给出欧式期权价格的下限，并区分无收益与有 收益标的资产两种情况。 1．欧式看涨期权价格的下限。 （1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限 为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合： 组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为 r(T t) Xe − − 的现金 组合 B：一单位标的资产 在组合 A 中，如果现金按无风险利率投资则在 T 时刻将变为 X，即等于协议价格。此时多头 要不要执行看涨期权，取决于 T 时刻标的资产价格（ST）是否大于 X。若 ST>X，则执行看涨期
权,组合A的价值为Sr:若Sκ≤X,则不执行看涨期权,组合A的价值为X。因此,在T时刻,组 合A的价值为 maxS, X) 而在T时刻,组合B的价值为Sr。由于 max( s,X)≥S,因此,在t时刻组合A的价值也 应大于等于组合B,即 c+Xe)≥S c≥S-Xe 由于期权的价值一定为正,因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为: S-e--),0 (13.4) (2)有收益资产欧式看涨期权价格的下限 我们只要将上述组合A的现金改为D+Xe-(-),其中D为期权有效期内资产收益的现值 并经过类似的推导,就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为 c>[ S-D-Ye-(-n,01 (13.5) 2.欧式看跌期权价格的下限。 (1)无收益资产欧式看跌期权价格的下限 考虑以下两种组合 组合C:一份欧式看跌期权加上一单位标的资产 组合D:金额为e-)的现金 在T时刻,如果SrX,期权将被执行,组合C价值为X:如果SPX,期权将不被执行,组合 C价值为Sr,即在组合C的价值为 max (ST, X) 假定组合D的现金以无风险利率投资,则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在 T时刻大于等于组合D,因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D,即 P+S≥-(T- P≥e-(- S 由于期权价值一定为正,因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为: p≥maN[Xe-)-S0 (13.6) (2)有收益资产欧式看跌期权价格的下限 我们只要将上述组合D的现金改为D+He(-就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下 限为 p≥mxD+e-)-S,0] (13.7) 从以上分析可以看出,欧式期权的下限实际上就是其内在价值 三、提前执行美式期权的合理性 美式期权与欧式期权的区别在于能否提前执行,因此如果我们可以证明提前执行美式期权是不 合理的,那么在定价时,美式期权就等同于欧式期权,从而大大降低定价的难度
4 权，组合 A 的价值为 ST；若 STX，则不执行看涨期权，组合 A 的价值为 X。因此，在 T 时刻，组 合 A 的价值为： max( S , X) T 而在 T 时刻，组合 B 的价值为 ST。由于 ST X ST max( , ) ，因此，在 t 时刻组合 A 的价值也 应大于等于组合 B，即: c+Xe-r(T-t)≥S c≥S-Xe-r(T-t) 由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为： max[ ,0] r(T t) c S Xe− − − （13.4） （2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限 我们只要将上述组合 A 的现金改为 r(T t) D Xe− − + ，其中 D 为期权有效期内资产收益的现值， 并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为： max[ ,0] r(T t) c S D Xe− − − − （13.5） 2．欧式看跌期权价格的下限。 （1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限 考虑以下两种组合： 组合 C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产 组合 D：金额为 r(T t) Xe − − 的现金 在 T 时刻，如果 STX，期权将不被执行，组合 C 价值为 ST，即在组合 C 的价值为： max（ST，X） 假定组合 D 的现金以无风险利率投资，则在 T 时刻组合 D 的价值为 X。由于组合 C 的价值在 T 时刻大于等于组合 D，因此组合 C 的价值在 t 时刻也应大于等于组合 D，即： p Xe S p S Xe r T t r T t − + − − − − ( ) ( ) 由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为： max[ ,0] ( ) p Xe S r T t − − − （13.6） （2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限 我们只要将上述组合 D 的现金改为 r(T t) D Xe− − + 就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下 限为： max[ ,0] ( ) p D Xe S r T t + − − − （13.7） 从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。 三、提前执行美式期权的合理性 美式期权与欧式期权的区别在于能否提前执行，因此如果我们可以证明提前执行美式期权是不 合理的，那么在定价时，美式期权就等同于欧式期权，从而大大降低定价的难度
)提前执行无收益资产美式期权的合理性 1.看涨期权 由于现金会产生收益,而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益,再加上美式期权的时间价 值总是为正的,因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。为了精 确地推导这个结论,我们考虑如下两个组合: 组合A:一份美式看涨期权加上金额为Xe-)的现金 组合B:一单位标的资产 在T时刻,组合A的现金变为X,组合A的价值为max(Sr,X)。而组合B的价值为Sr, 可见,组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。这意味着,如果不提前执行,组合A的价值 定大于等于组合B 我们再来看一下提前执行美式期权的情况。若在τ时刻提前执行,则提前执行看涨期权所得盈 利等于Sxx,其中S表示r时刻标的资产的市价,而此时现金金额变为xx-),其中表 I-了时段的远期利率。因此,若提前执行的话,在τ时刻组合A的价值为 S-X+en),而组合B的价值为S。由于T>r,r>0因此Xe-)<X。这就是说若 提前执行美式期权的话,组合A的价值将小于组合B 比较两种情况我们可以得出结论:提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此,同 种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的,即: C=c 根据(134),我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限: C≥max[S-ke 2.看跌期权 为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理,我们考察如下两种组合: 组合A:一份美式看跌期权加上一单位标的资产 组合B:金额为Xe-)的现金 若不提前执行,则到T时刻,组合A的价值为max(X,Sr),组合B的价值为X,因此组合 A的价值大于等于组合B 若在时刻提前执行,则组合A的价值为X,组合B的价值为Xer(),因此组合A的价值 也高于组合B。 比较这两种结果我们可以得出结论:是否提前执行无收益资产的美式看跌期权,主要取决于期 权的实值额(X-S)、无风险利率水平等因素。一般来说,只有当S相对于Ⅹ来说较低,或者r较 高时,提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。 由于美式期权可提前执行,因此其下限比(13.6)更严格 P≥X-S (13.10) (二)提前执行有收益资产美式期权的合理性 1.看涨期权 由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产,从而获得现金收益,而现金收益可 以派生利息,因此在一定条件下,提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。 我们假设在期权到期前,标的资产有n个除权日,t1,t2…,tn为除权前的瞬时时刻,在这些 时刻之后的收益分别为D1,D2,……,Dn,在这些时刻的标的资产价格分别为S1,S2,……S 由于在无收益的情况下,不应提前执行美式看涨期权,我们可以据此得到一个推论:在有收益 情况下,只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在 每个除权日前提前执行的可能性
5 （一）提前执行无收益资产美式期权的合理性 1．看涨期权. 由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价 值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。为了精 确地推导这个结论，我们考虑如下两个组合： 组合 A：一份美式看涨期权加上金额为 r(T t) Xe − − 的现金 组合 B：一单位标的资产 在 T 时刻，组合 A 的现金变为 X，组合 A 的价值为 max（ST，X）。而组合 B 的价值为 ST， 可见，组合 A 在 T 时刻的价值一定大于等于组合 B。这意味着，如果不提前执行，组合 A 的价值 一定大于等于组合 B。 我们再来看一下提前执行美式期权的情况。若在 时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈 利等于 S -X，其中 S 表示 时刻标的资产的市价，而此时现金金额变为 − ( − ) r T Xe ，其中 r 表示 T- 时 段 的 远 期 利 率 。 因 此 ， 若 提 前 执 行 的 话 ， 在 时 刻 组 合 A 的 价 值 为 ： ( ) − − − + r T S X Xe ，而组合 B 的价值为 S 。由于 , 0 T r 因此 Xe X r T t − ( − ) 。这就是说,若 提前执行美式期权的话，组合 A 的价值将小于组合 B。 比较两种情况我们可以得出结论：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一 种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即： C=c （13.8） 根据（13.4），我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限： max[ ,0] r(T t) C S Xe− − − （13.9） 2．看跌期权 为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理，我们考察如下两种组合： 组合 A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产 组合 B：金额为 r(T t) Xe − − 的现金 若不提前执行，则到 T 时刻，组合 A 的价值为 max（X，ST），组合 B 的价值为 X，因此组合 A 的价值大于等于组合 B。 若在 时刻提前执行，则组合 A 的价值为 X，组合 B 的价值为 Xe- r (T-τ)，因此组合 A 的价值 也高于组合 B。 比较这两种结果我们可以得出结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期 权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当 S 相对于 X 来说较低，或者 r 较 高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。 由于美式期权可提前执行，因此其下限比（13.6）更严格： P X −S （13.10） （二 ）提前执行有收益资产美式期权的合理性 1．看涨期权. 由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可 以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。 我们假设在期权到期前，标的资产有 n 个除权日，t1，t2……，tn 为除权前的瞬时时刻，在这些 时刻之后的收益分别为 D1，D2，……，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为 S1，S2，……Sn。 由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益 情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在 每个除权日前提前执行的可能性
我们先来考察在最后一个除权日(t)提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权,则期权 多方获得Sn-X的收益。若不提前执行,则标的资产价格将由于除权降到Sn-D 根据式(135),在tn时刻期权的价值(Cn) Cn≥Cn2 max s-Dn 因此,如果: Sn-Dn-e)≥Sn-X Dn≤X[l-e--] (13.11) 则在tn提前执行是不明智的 相反,如果 (13.12) 则在tn提前执行有可能是合理的。实际上,只有当tn时刻标的资产价格足够大时,提前执行美 式看涨期权才是合理的。 同样,对于任意i<n在t时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是: D,≤X[-e--) (13.13) 由于存在提前执行更有利的可能性,有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权, 其下限为: C≥c2maxS-D-e--),0 (13.14) 2.看跌期权 由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权,因此收益使美式看跌期权提前执 行的可能性变小,但还不能排除提前执行的可能性。 通过同样的分析,我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是: D≥X[1 D.≥X1 由于美式看跌期权有提前执行的可能性,因此其下限为 P≥max(D+X-,0) (13.15) 四、期权价格曲线的形状 弄清了期权价格的影响因素和期权价格上下限后,我们就可以初步推出期权价格曲线的形状 )看涨期权价格曲线 从构成要素讲,期权价格等于内在价值加上时间价值。内在价值主要取决于S和X,而时间价 值则取决于内在价值、r、波动率等因素
6 我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在 tn 时刻提前执行期权，则期权 多方获得 Sn-X 的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到 Sn-Dn。 根据式（13.5），在 tn 时刻期权的价值（Cn） max[ ,0] ( ) n r T t Cn cn Sn Dn Xe − − − − 因此，如果： S D Xe Sn X r T t n n n − − − − ( − ) 即： [1 ] ( ) n r T t n D X e − − − （13.11） 则在 tn 提前执行是不明智的。 相反，如果 [1 ] ( ) n r T t n D X e − − − （13.12） 则在 tn 提前执行有可能是合理的。实际上，只有当 tn 时刻标的资产价格足够大时，提前执行美 式看涨期权才是合理的。 同样，对于任意 i n, 在 ti 时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是： [1 ] ( ) i 1 i r t t i D X e − + − − （13.13） 由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权， 其下限为： max[ ,0] r(T t) C c S D Xe− − − − （13.14） 2．看跌期权。 由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执 行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。 通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是： [1 ] [1 ] ( ) ( ) 1 n i i r T t n r t t i D X e D X e − − − − − − + 由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为： P max( D + X − S,0) （13.15） 四、期权价格曲线的形状 弄清了期权价格的影响因素和期权价格上下限后，我们就可以初步推出期权价格曲线的形状。 （一）看涨期权价格曲线 从构成要素讲，期权价格等于内在价值加上时间价值。内在价值主要取决于 S 和 X，而时间价 值则取决于内在价值、r、波动率等因素
我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为S,下限为max[S-Xe(-),0]。期权 价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时,期权价格就等于时间价值。时间价值在 S=Xeπ)时最大:当S趋于0和∞时,时间价值也趋于0,此时看涨期权价值分别趋于0和S-Xe 。特别地,当S=0时,C=c=0 此外,r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大,则期权价格曲线以0点为中心,越 往右上方旋转,但基本形状不变,而且不会超过上限,如图132所示。 看涨期权价格 期权价格上限 (C=C=S) 看涨期权价格曲线 期权价格下限 =c=max(s-Xe-rI-t)o)) 内在价值 虚值期权平价期权 实值期权 (SX 图132无收益资产看涨期权价格曲线 有收益资产看涨期权价格曲线与图13.2类似,只是把Xe换成Xe++D (二)看跌期权价格曲线 1.欧式看跌期权价格曲线。 我们先看无收益资产看跌期权的情形。欧式看跌期权的上限为Xe-),下限为 mae-”-S0]。当Xe-S>0时,它就是欧式看跌期权的内在价值,也是其价格下 限,当e--S<0时,欧式看跌期权内在价值为0,其期权价格等于时间价值。当 S=Xe(-时,时间价值最大。当S趋于0和∞时,期权价格分别趋于Xe-(-和0。特别时,当 S=0时,p=Xe(-。 欧式看跌期权价格 上限 式看跌期权价格 下限 内在价值 时间价值
7 我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为 S，下限为 max [ ,0] r(T t) S Xe− − − 。期权 价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在 S=Xe-r(T-t)时最大；当 S 趋于 0 和时，时间价值也趋于 0，此时看涨期权价值分别趋于 0 和 S－X er(T-t)。特别地，当 S=0 时，C=c=0。 此外，r 越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以 0 点为中心，越 往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如图 13.2 所示。 看涨期权价格 期权价格上限 (C=c=S) 看涨期权价格曲线 期权价格下限 (C=c=max(S-X e-r(T-t), 0)) =内在价值 时间价值 0 虚值期权 平价期权 实值期权 S (SX e-r(T-t)) 图 13.2 无收益资产看涨期权价格曲线 有收益资产看涨期权价格曲线与图 13.2 类似，只是把 X e-r(T-t)换成 X e-r(T-t)+D。 （二）看跌期权价格曲线 1．欧式看跌期权价格曲线。 我 们 先 看 无收 益 资产 看 跌期 权 的 情形 。 欧式 看 跌 期权 的 上限 为 r(T t) Xe − − ，下限为 max[ ,0] ( ) Xe S r T t − − − 。当 0 ( ) − − − Xe S r T t 时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下 限，当 0 ( ) − − − Xe S r T t 时，欧式看跌期权内在价值为 0，其期权价格等于时间价值。当 S= r(T t) Xe − − 时，时间价值最大。当 S 趋于 0 和时，期权价格分别趋于 r(T t) Xe − − 和 0。特别时，当 S=0 时， r(T t) p Xe− − = 。 欧式看跌期权价格 上限 X e-r(T-t) 欧式看跌期权价格 下限、 内在价值 时间价值 X e-r(T-t) S
图13.3无收益资产欧式看跌期权价格曲线 r越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高,看跌期权价值以0为中心越往右上方旋 转,但不能超过上限,如图13.3所示 有收益资产期权价格曲线与图133相似,只是把Xe(-)换为D+Xe(- 2.美式看跌期权价格曲线。 对于无收益标的资产来说,美式看跌期权上限为X,下限为X一S。但当标的资产价格足够低 时,提前执行是明智的,此时期权的价值为ⅹ一S。因此当S较小时,看跌期权的曲线与其下限或 者说内在价值ⅹ一S是重合的。当S=X时,期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似,如 图134所示 美式看跌期权价格曲线 美式看跌期权价格 下限 内在价值 时间价值 图134无收益资产美式看跌期权价格曲线 有收益美式看跌期权价格曲线与图13.4相似,只是把X换成D+X。 五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系 )欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 1.无收益资产的欧式期权 在标的资产没有收益的情况下,为了推导c和p之间的关系,我们考虑如下两个组合: 组合A:一份欧式看涨期权加上金额为Xe(-)的现金 组合B:一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产 在期权到期时,两个组合的价值均为max(Sr,X)。由于欧式期权不能提前执行,因此两组合在 时刻t必须具有相等的价值,即 C+Xe-(r-t) +s (13.16) 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系( Parity)。它表明欧式看涨期权 的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来,反之亦然。 如果式(13.16)不成立,则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式(13.16)成立 2.有收益资产欧式期权。 在标的资产有收益的情况下,我们只要把前面的组合A中的现金改为D+Xe-0,我们就 可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系 c+d+Xe P (13.17) (二)美式看涨期权和看跌期权之间的关系
8 图 13.3 无收益资产欧式看跌期权价格曲线 r 越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以 0 为中心越往右上方旋 转，但不能超过上限，如图 13.3 所示。 有收益资产期权价格曲线与图 13.3 相似，只是把 r(T t) Xe − − 换为 r(T t) D Xe− − + 2．美式看跌期权价格曲线。 对于无收益标的资产来说，美式看跌期权上限为 X，下限为 X－S。但当标的资产价格足够低 时，提前执行是明智的，此时期权的价值为 X－S。因此当 S 较小时，看跌期权的曲线与其下限或 者说内在价值 X－S 是重合的。当 S=X 时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似，如 图 13.4 所示。 美式看跌期权价格曲线 X 上限 美式看跌期权价格 下限、 内在价值 时间价值 0 X S 图 13.4 无收益资产美式看跌期权价格曲线 有收益美式看跌期权价格曲线与图 13.4 相似，只是把 X 换成 D+X。 五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系 （一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 1．无收益资产的欧式期权。 在标的资产没有收益的情况下，为了推导 c 和 p 之间的关系，我们考虑如下两个组合： 组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为 r(T t) Xe − − 的现金 组合 B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产 在期权到期时，两个组合的价值均为 max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在 时刻 t 必须具有相等的价值，即： c Xe p S r T t + = + − ( − ) （13.16） 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。它表明欧式看涨期权 的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。 如果式（13.16）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（13.16）成立。 2．有收益资产欧式期权。 在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合 A 中的现金改为 r(T t) D Xe− − + ，我们就 可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系： c D Xe p S r T t + + = + − ( − ) （13.17） （二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系
无收益资产美式期权。 由于P>p,从式(1316)中我们可得: P>c+Xe 对于无收益资产看涨期权来说,由于c=C,因此: P>C+Xe C-PP+s 结合式(13.18),我们可得 S-X<C-P<S-Xe (13.19) 由于美式期权可能提前执行,因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系,但我 们可以得出结论:无收益美式期权必须符合式(13.19)的不等式 2.有收益资产美式期权 同样,我们只要把组合A的现金改为D+X,就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等 S-D-X<C-P<S-D-Xe-T(T-t) (13.20) 第二节期权组合的盈亏分布 期权交易的精妙之处在于可以通过不同的期权品种构成众多具有不同盈亏分布特征的组合。投资者 可以根据各自对未来标的资产现货价格概率分布的预期,以及各自的风险-收益偏好,选择最适合自己 的期权组合。在以下的分析中同组合中的期权标的资产均相同。本书所附光盘中题为“期权交易策略” 的 EXCEL软件有本节中所提到的所有期权组合的盈亏分布计算软件。读者只要输入有关数据,该软件 就可以自动给出盈亏分布图 、标的资产与期权组合
9 1．无收益资产美式期权。 由于 P>p,从式（13.16）中我们可得： P c Xe S r T t + − − ( − ) 对于无收益资产看涨期权来说，由于 c=C，因此： P C Xe S r T t + − − ( − ) r(T t) C P S Xe − − − − （13.18） 为了推导出 C 和 P 的更严密的关系，我们考虑以下两个组合： 组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为 X 的现金 组合 B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产 如果美式期权没有提前执行，则在 T 时刻组合 B 的价值为 max(ST,X)，而此时组合 A 的价值为 S X Xe X r T t T + − ( − ) max( , ) 。因此组合 A 的价值大于组合 B。 如果美式期权在 时刻提前执行，则在 时刻，组合 B 的价值为 X，而此时组合 A 的价值大 于等于 r t ( ) Xe − 。因此组合 A 的价值也大于组合 B。 这就是说，无论美式组合是否提前执行，组合 A 的价值都高于组合 B，因此在 t 时刻，组合 A 的价值也应高于组合 B，即： c + X P+ S 由于 c=C，因此， C+ X P+ S C−P S − X 结合式（13.18），我们可得： r(T t) S X C P S Xe − − − − − （13.19） 由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我 们可以得出结论：无收益美式期权必须符合式（13.19）的不等式。 2．有收益资产美式期权 同样，我们只要把组合 A 的现金改为 D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等 式： S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t） （13.20） 第二节 期权组合的盈亏分布 期权交易的精妙之处在于可以通过不同的期权品种构成众多具有不同盈亏分布特征的组合。投资者 可以根据各自对未来标的资产现货价格概率分布的预期，以及各自的风险--收益偏好，选择最适合自己 的期权组合。在以下的分析中同组合中的期权标的资产均相同。本书所附光盘中题为“期权交易策略” 的 EXCEL 软件有本节中所提到的所有期权组合的盈亏分布计算软件。读者只要输入有关数据，该软件 就可以自动给出盈亏分布图。 一 、 标的资产与期权组合
通过组建标的资产与各种期权头寸的组合,我们可以得到与各种期权头寸本身的盈亏图形状相似但 位置不同的盈亏图,如图13.5表示①。 图13.5(a)反映了标的资产多头与看涨期权空头组合的盈亏图,该组合称为有担保的看涨期权 ( Covered cal)空头。标的资产空头与看涨期权多头组合的盈亏图,与有担保的看涨期权空头刚好相 反 图13.5(b)反映了标的资产多头与看跌期权多头组合的盈亏图,标的资产空头与看跌期权空头组合 的盈亏图刚好相反。从图13.5可以看出,组合的盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲 线叠加而来 盈 c+X-St -StpI c-St 亏损 亏损 (a)标的资产多头与看涨期权空头的组合 (b)标的资产多头与看跌期权多头的组合 图135标的资产与期权组合的盈亏分布图 、差价组合 差价( Spreads)组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合(即同是看 涨期权,或者同是看跌期权),其主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。 1.牛市差价( Bull Spreads)组合 牛市差价组合是由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成。由于协议 价格越高,期权价格越低,因此构建这个组合需要初始投资。 如果我们用X1和X2分别表示组合中的两个协议价格,且X1C2,那么牛市差价组合在不同情况下的盈亏可用表132表示 表132牛市差价期权的盈亏状况 标的资产价格范围看涨期权多头的盈亏看涨期权空头的盈亏总盈亏 ST-XI-C1 X2-ST+C X2-X1+c2-c1 XI<STX2 ST-X1-c SISX 表132的结果可用图136表示,从图中可以看出,到期日现货价格升高对组合持有者较有利,故 称牛市差价组合。 ①在图13.5——图13.22中,为了便于对比,我们也画出组合中各构成期权或标的资产本身的盈亏分布图,用虚线表 示。组合的盈亏分布图则用实线表示。在这些图中,c表示看涨期权的价格,p表示看跌期权的价格,X表示协议价 格,ST表示标的资产到期现货价格,S1表示标的资产买进或卖出价格
10 通过组建标的资产与各种期权头寸的组合，我们可以得到与各种期权头寸本身的盈亏图形状相似但 位置不同的盈亏图，如图 13.5 表示①。 图 13.5（a）反映了标的资产多头与看涨期权空头组合的盈亏图，该组合称为有担保的看涨期权 （Covered Call）空头。标的资产空头与看涨期权多头组合的盈亏图，与有担保的看涨期权空头刚好相 反。 图 13.5（b）反映了标的资产多头与看跌期权多头组合的盈亏图，标的资产空头与看跌期权空头组合 的盈亏图刚好相反。从图 13.5 可以看出, 组合的盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲 线叠加而来。 盈利 盈利 X-p c+X-St c 0 ST 0 ST St X X-St-p -p c-St -St -St 亏损 亏损 (a)标的资产多头与看涨期权空头的组合 (b)标的资产多头与看跌期权多头的组合 图 13-5 标的资产与期权组合的盈亏分布图 二、差价组合 差价（Spreads）组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合（即同是看 涨期权，或者同是看跌期权），其主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。 1．牛市差价（Bull Spreads）组合。 牛市差价组合是由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成。由于协议 价格越高，期权价格越低，因此构建这个组合需要初始投资。 如果我们用 X1 和 X 2 分别表示组合中的两个协议价格，且 X1 c2，那么牛市差价组合在不同情况下的盈亏可用表 13.2 表示。 表 13.2 牛市差价期权的盈亏状况 标的资产价格范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏 STX2 ST―X1―c1 X2―ST+c2 X2―X1+c2―c1 X1<ST<X2 ST―X1―c1 c2 ST―X1+c2―c1 STX1 -c1 c2 c2―c1 表 13.2 的结果可用图 13.6 表示，从图中可以看出，到期日现货价格升高对组合持有者较有利，故 称牛市差价组合。 ①在图 13.5——图 13.22中，为了便于对比，我们也画出组合中各构成期权或标的资产本身的盈亏分布图，用虚线表 示。组合的盈亏分布图则用实线表示。在这些图中，c表示看涨期权的价格，p 表示看跌期权的价格，X 表示协议价 格，ST 表示标的资产到期现货价格，St表示标的资产买进或卖出价格
