第八章风险资产的定价 风险资产的定价是投资学的核心内容之一。本章将在上一章的基础上详细讨论风险资产 的定价方法,特别是资本资产定价模型 第一节有效集和最优投资组合 根据上一章介绍过的马科维茨证券组合理论,投资者必须根据自己的风险-收益偏好和 各种证券和证券组合的风险、收益特性来选择最优的投资组合。然而,现实生活中证券种类 繁多,这些证券更可组成无数种证券组合,如果投资者必须对所有这些组合进行评估的话 那将是难以想象的。 幸运的是,根据马科维茨的有效集定理,投资者无须对所有组合进行一一评估。本节将 按马科维茨的方法,由浅入深地介绍确定最优投资组合的方法。 、可行集 为了说明有效集定理,我们有必要引入可行集( Feasible set)的概念。可行集指的是由 N种证券所形成的所有组合的集合,它包括了现实生活中所有可能的组合。也就是说,所有 可能的组合将位于可行集的边界上或内部 一般来说,可行集的形状象伞形,如图8-1中由A、N、B、H所围的区域所示。在现 实生活中,由于各种证券的特性千差万别。因此可行集的位置也许比图8-1中的更左或更左, 更高或更低,更胖或更瘦,但它们的基本形状大多如此。 B H 可行集 N 图8-1可行集与有效集 二、有效集 (一)有效集的定义 对于一个理性投资者而言,他们都是厌恶风险而偏好收益的。对于同样的风险水平,他 们将会选择能提供最大预期收益率的组合;对于同样的预期收益率,他们将会选择风险最小
136 第八章 风险资产的定价 风险资产的定价是投资学的核心内容之一。本章将在上一章的基础上详细讨论风险资产 的定价方法，特别是资本资产定价模型。 第一节 有效集和最优投资组合 根据上一章介绍过的马科维茨证券组合理论，投资者必须根据自己的风险-收益偏好和 各种证券和证券组合的风险、收益特性来选择最优的投资组合。然而，现实生活中证券种类 繁多，这些证券更可组成无数种证券组合，如果投资者必须对所有这些组合进行评估的话， 那将是难以想象的。 幸运的是，根据马科维茨的有效集定理，投资者无须对所有组合进行一一评估。本节将 按马科维茨的方法，由浅入深地介绍确定最优投资组合的方法。 一、可行集 为了说明有效集定理，我们有必要引入可行集（Feasible Set）的概念。可行集指的是由 N 种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。也就是说，所有 可能的组合将位于可行集的边界上或内部。 一般来说，可行集的形状象伞形，如图 8-1 中由 A、N、B、H 所围的区域所示。在现 实生活中，由于各种证券的特性千差万别。因此可行集的位置也许比图 8-1 中的更左或更左， 更高或更低，更胖或更瘦，但它们的基本形状大多如此。 RP B H 可行集 N A P 图 8-1 可行集与有效集 二、有效集 （一）有效集的定义 对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。对于同样的风险水平，他 们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小
的组合。能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集( Efficient Set,又称有效边界 Efficient Frontier)。处于有效边界上的组合称为有效组合( Efficient Portfolio) (二)有效集的位置 可见,有效集是可行集的一个子集,它包含于可行集中。那么如何确定有效集的位置呢? 我们先考虑第一个条件。在图8-1中,没有哪一个组合的风险小于组合N,这是因为如 果过N点画一条垂直线,则可行集都在这条线的右边。N点所代表的组合称为最小方差组 合( Minimum variance portfolio)。同样,没有哪个组合的风险大于H。由此可以看出,对于 各种风险水平而言,能提供最大预期收益率的组合集是可行集中介于N和H之间的上方边 界上的组合集。 我们再考虑第二个条件,在图8-1中,各种组合的预期收益率都介于组合A和组合B 之间。由此可见,对于各种预期收益率水平而言,能提供最小风险水平的组合集是可行集中 介于A、B之间的左边边界上的组合集我们把这个集合称为最小方差边界( Minimum Variance Frontier 由于有效集必须同时满足上述两个条件,因此N、B两点之间上方边界上的可行集就是 有效集。所有其他可行组合都是无效的组合,投资者可以忽略它们。这样,投资者的评估范 围就大大缩小了 (三)有效集的形状 从图8-1可以看出,有效集曲线具有如下特点:①有效集是一条向右上方倾斜的曲线, 它反映了“高收益、高风险“的原则:②有效集是一条向上凸的曲线,这一特性可从图8-2 推导得来:③有效集曲线上不可能有凹陷的地方,这一特性也可以图8-2推导出来。 三、最优投资组合的选择 确定了有效集的形状之后,投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己投资效用 最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点O,所图8-2所示 13/12 图8-2最优投资组合 从图8-2可以看出,虽然投资者更偏好I3上的组合,然而可行集中找不到这样的组合
137 的组合。能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（Efficient Set，又称有效边界 Efficient Frontier）。处于有效边界上的组合称为有效组合（Efficient Portfolio）。 （二）有效集的位置 可见，有效集是可行集的一个子集，它包含于可行集中。那么如何确定有效集的位置呢？ 我们先考虑第一个条件。在图 8-1 中，没有哪一个组合的风险小于组合 N，这是因为如 果过 N 点画一条垂直线，则可行集都在这条线的右边。N 点所代表的组合称为最小方差组 合（Minimum Variance Portfolio）。同样，没有哪个组合的风险大于 H。由此可以看出，对于 各种风险水平而言，能提供最大预期收益率的组合集是可行集中介于 N 和 H 之间的上方边 界上的组合集。 我们再考虑第二个条件，在图 8-1 中，各种组合的预期收益率都介于组合 A 和组合 B 之间。由此可见，对于各种预期收益率水平而言，能提供最小风险水平的组合集是可行集中 介于 A、B 之间的左边边界上的组合集,我们把这个集合称为最小方差边界（Minimum Variance Frontier）。 由于有效集必须同时满足上述两个条件，因此 N、B 两点之间上方边界上的可行集就是 有效集。所有其他可行组合都是无效的组合，投资者可以忽略它们。这样，投资者的评估范 围就大大缩小了。 （三）有效集的形状 从图 8-1 可以看出，有效集曲线具有如下特点：有效集是一条向右上方倾斜的曲线， 它反映了“高收益、高风险“的原则；有效集是一条向上凸的曲线，这一特性可从图 8-2 推导得来；有效集曲线上不可能有凹陷的地方，这一特性也可以图 8-2 推导出来。 三、最优投资组合的选择 确定了有效集的形状之后，投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己投资效用 最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点 O，所图 8-2 所示。 RP I3 I2 I1 B O H O N A P 图 8-2 最优投资组合 从图 8-2 可以看出，虽然投资者更偏好 I3 上的组合，然而可行集中找不到这样的组合
因而是不可实现的。至于I1上的组合,虽然可以找得到,但由于I1的位置位于I2的东南方 即I1所代表的效用低于I2,因此I1上的组合都不是最优组合。而I2代表了可以实现的最高 投资效用,因此O点所代表的组合就是最优投资组合。 有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点 只有一个,也就是说最优投资组合是唯一的。 对于投资者而言,有效集是客观存在的,它是由证券市场决定的。而无差异曲线则是主 观的,它是由自己的风险一一收益偏好决定的。从上一章的分析可知,厌恶风险程度越高的 投资者,其无差异曲线的斜率越陡,因此其最优投资组合越接近N点。厌恶风险程度越低 的投资者,其无差异曲线的斜率越小,因此其最优投资组合越接近B点。 第二节无风险借贷对有效集的影响 在前一节中,我们假定所有证券及证券组合都是有风险的,而没有考虑到无风险资产的 情况。我们也没有考虑到投资者按无风险利率借入资金投资于风险资产的情况。而在现实生 活中,这两种情况都是存在的。为此,我们要分析在允许投资者进行无风险借贷的情况下, 有效集将有何变化 无风险贷款对有效集的影响 (一)无风险贷款或无风险资产的定义 无风险贷款相当于投资于无风险资产,其收益率是确定的。在单一投资期的情况下,这 意味着如果投资者在期初购买了一种无风险资产,那他将准确地知道这笔资产在期末的准确 价值。由于无风险资产的期末价值没有任何不确定性,因此,其标准差应为零。同样,无风 险资产收益率与风险资产收益率之间的协方差也等于零。 在现实生活中,什么样的资产称为无风险资产呢?首先,无风险资产应没有任何违约可 能。由于所有的公司证券从原则上讲都存在着违约的可能性,因此公司证券均不是无风险资 其次,无风险资产应没有市场风险。虽然政府债券基本上没有违约风险,但对于特定的 投资者而言,并不是任何政府债券都是无风险资产。例如,对于一个投资期限为1年的投资 者来说,期限还有10年的国债就存在着风险。因为他不能确切地知道这种证券在一年后将 值多少钱。事实上,任何一种到期日超过投资期限的证券都不是无风险资产。同样,任何 种到期日早于投资期限的证券也不是无风险资产,因为在这种证券到期时,投资者面临着再 投资的问题,而投资者现在并不知道将来再投资时能获得多少再投资收益率 综合以上两点可以看出,严格地说,只有到期日与投资期相等的国债才是无风险资产。 但在现实中,为方便起见,人们常将1年期的国库券或者货币市场基金当作无风险资产 (二)允许无风险贷款下的投资组合 1.投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形 为了考察无风险贷款对有效集的影响,我们首先要分析由一种无风险资产和一种风险资 产组成的投资组合的预期收益率和风险。 假设风险资产和无风险资产在投资组合中的比例分别为X1和X2,它们的预期收益率分 别为R1和r;,它们的标准差分别等于a1和a2,它们之间的协方差为σ12。根据X1和X2的 定义,我们有X计+X2=1,且X1、X2>0。根据无风险资产的定义,我们有G2和O12都等于0
138 因而是不可实现的。至于 I1 上的组合，虽然可以找得到，但由于 I1 的位置位于 I2 的东南方， 即 I1 所代表的效用低于 I2，因此 I1 上的组合都不是最优组合。而 I2 代表了可以实现的最高 投资效用，因此 O 点所代表的组合就是最优投资组合。 有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点 只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。 对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的。而无差异曲线则是主 观的，它是由自己的风险——收益偏好决定的。从上一章的分析可知，厌恶风险程度越高的 投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近 N 点。厌恶风险程度越低 的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近 B 点。 第二节 无风险借贷对有效集的影响 在前一节中，我们假定所有证券及证券组合都是有风险的，而没有考虑到无风险资产的 情况。我们也没有考虑到投资者按无风险利率借入资金投资于风险资产的情况。而在现实生 活中，这两种情况都是存在的。为此，我们要分析在允许投资者进行无风险借贷的情况下， 有效集将有何变化。 一、无风险贷款对有效集的影响 （一）无风险贷款或无风险资产的定义 无风险贷款相当于投资于无风险资产，其收益率是确定的。在单一投资期的情况下，这 意味着如果投资者在期初购买了一种无风险资产，那他将准确地知道这笔资产在期末的准确 价值。由于无风险资产的期末价值没有任何不确定性，因此，其标准差应为零。同样，无风 险资产收益率与风险资产收益率之间的协方差也等于零。 在现实生活中，什么样的资产称为无风险资产呢？首先，无风险资产应没有任何违约可 能。由于所有的公司证券从原则上讲都存在着违约的可能性，因此公司证券均不是无风险资 产。 其次，无风险资产应没有市场风险。虽然政府债券基本上没有违约风险，但对于特定的 投资者而言，并不是任何政府债券都是无风险资产。例如，对于一个投资期限为 1 年的投资 者来说，期限还有 10 年的国债就存在着风险。因为他不能确切地知道这种证券在一年后将 值多少钱。事实上，任何一种到期日超过投资期限的证券都不是无风险资产。同样，任何一 种到期日早于投资期限的证券也不是无风险资产，因为在这种证券到期时，投资者面临着再 投资的问题，而投资者现在并不知道将来再投资时能获得多少再投资收益率。 综合以上两点可以看出，严格地说，只有到期日与投资期相等的国债才是无风险资产。 但在现实中，为方便起见，人们常将 1 年期的国库券或者货币市场基金当作无风险资产。 （二）允许无风险贷款下的投资组合 1．投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形 为了考察无风险贷款对有效集的影响，我们首先要分析由一种无风险资产和一种风险资 产组成的投资组合的预期收益率和风险。 假设风险资产和无风险资产在投资组合中的比例分别为 X1 和 X2，它们的预期收益率分 别为 1 − R 和 rf，它们的标准差分别等于 1 和 2 ，它们之间的协方差为 12 。根据 X1 和 X2 的 定义，我们有 X1+X2=1，且 X1、X2>0。根据无风险资产的定义，我们有 2 和 12 都等于 0
这样,根据式(8.12),我们可以算出该组合的预期收益率(R)为: Rp=∑XR=x1R+X2r (8.1) 根据式(8.13),我们可以算出该组合的标准差(G,)为: a=1∑∑x,x=Xa (8.2) 由上式可得 X,=1 (83) 将(8.3)代入(8.1)得: Ri-r 由于R1、r和G1已知,式(84)是线性函数,其中R-为单位风险报酬 ( Reward-to- variability),又称夏普比率( Sharpe' s Ratio)。由于X1、x2>0,因此式(84) 所表示的只是一个线段,如图8-3所示。在图8-3中,A点表示无风险资产,B点表示风险 资产,由这两种资产构成的投资组合的预期收益率和风险一定落在A、B这个线段上,因此 AB连线可以称为资产配置线。由于A、B线段上的组合均是可行的,因此允许风险贷款将 大大扩大大可行集的范围。 B 图8-3无风险资产和风险资产的组合 2.投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形 如果投资者投资于由一种无风险资产和一个风险资产组合组成的投资组合,情况又如何
139 这样，根据式（8.12），我们可以算出该组合的预期收益率 (R p ) − 为： = − − − = = + n i f i i Rp X R X R X r 1 2 1 1 （8.1） 根据式（8.13），我们可以算出该组合的标准差（ p ）为： 1 1 1 1 X X X n i n j p = i j ij = = = （8.2） 由上式可得： 1 1 p X = ， 1 2 1 P X = − （8.3） 将（8.3）代入（8.1）得： p f f p R r R r − = + − − 1 1 （8.4） 由于 1 − R 、rf 和 1 已知，式（8.4）是线性函 数，其中 1 1 f R − r − 为单位风险 报酬 （Reward-to-Variability）,又称夏普比率（Sharpe’s Ratio）。由于 X1、X2>0，因此式（8.4） 所表示的只是一个线段，如图 8-3 所示。在图 8-3 中，A 点表示无风险资产，B 点表示风险 资产，由这两种资产构成的投资组合的预期收益率和风险一定落在 A、B 这个线段上，因此 AB 连线可以称为资产配置线。由于 A、B 线段上的组合均是可行的，因此允许风险贷款将 大大扩大大可行集的范围。 RP B A P 图 8-3 无风险资产和风险资产的组合 2．投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形 如果投资者投资于由一种无风险资产和一个风险资产组合组成的投资组合，情况又如何
呢?假设风险资产组合B是由风险证券C和D组成的。根据第8章的分析可得,B一定位 于经过C、D两点的向上凸出的弧线上,如图8-4所示。如果我们仍用R1和O代表风险资 产组合的预期收益率和标准差,用X1代表该组合在整个投资组合中所占的比重,则式(8.1) 到(84)的结论同样适用于由无风险资产和风险资产组合构成的投资组合的情形。在图8-4 中,这种投资组合的预期收益率和标准差一定落在A、B线段上。 图8-4无风险资产和风险资产组合的组合 (三)无风险贷款对有效集的影响 引入无风险贷款后,有效集将发生重大变化。在图8-5中,弧线CD代表马科维茨有效 集,A点表示无风险资产。我们可以在马科维茨有效集中找到一点T,使AT直线与弧线CD 相切于T点。T点所代表的组合称为切点处投资组合。 RP 图8-5允许无风险贷款时的有效集 T点代表马科维茨有效集中众多的有效组合中的一个,但它却是一个很特殊的组合。因 为没有任何一种风险资产或风险资产组合与无风险资产构成的投资组合可以位于AT线段的 左上方。换句话说,AT线段的斜率最大,因此T点代表的组合被称为最优风险组合( Optimal Risky Portfolio) 从图8-5可以明显看出,引入AT线段后,CT弧线将不再是有效集。因为对于T点左
140 呢？假设风险资产组合 B 是由风险证券 C 和 D 组成的。根据第 8 章的分析可得，B 一定位 于经过 C、D 两点的向上凸出的弧线上，如图 8-4 所示。如果我们仍用 1 − R 和 1 代表风险资 产组合的预期收益率和标准差，用 X1 代表该组合在整个投资组合中所占的比重，则式（8.1） 到（8.4）的结论同样适用于由无风险资产和风险资产组合构成的投资组合的情形。在图 8-4 中，这种投资组合的预期收益率和标准差一定落在 A、B 线段上。 RP D B A C P 图 8-4 无风险资产和风险资产组合的组合 （三）无风险贷款对有效集的影响 引入无风险贷款后，有效集将发生重大变化。在图 8-5 中，弧线 CD 代表马科维茨有效 集，A 点表示无风险资产。我们可以在马科维茨有效集中找到一点 T，使 AT 直线与弧线 CD 相切于 T 点。T 点所代表的组合称为切点处投资组合。 RP T D C A P 图 8-5 允许无风险贷款时的有效集 T 点代表马科维茨有效集中众多的有效组合中的一个，但它却是一个很特殊的组合。因 为没有任何一种风险资产或风险资产组合与无风险资产构成的投资组合可以位于AT线段的 左上方。换句话说，AT 线段的斜率最大，因此 T 点代表的组合被称为最优风险组合（Optimal Risky Portfolio）。 从图 8-5 可以明显看出，引入 AT 线段后，CT 弧线将不再是有效集。因为对于 T 点左
边的有效集而言,在预期收益率相等的情况下,AT线段上风险均小于马科维茨有效集上组 合的风险,而在风险相同的情况下,AT线段上的预期收益率均大于马科维茨有效集上组合 的预期收益率。按照有效集的定义,T点左边的有效集将不再是有效集。由于AT线段上的 组合是可行的,因此引入无风险贷款后,新的有效集由AT线段和TD弧线构成。 我们举个例子来说明如何确定最优风险组合和有效边界。假设市场上有A、B两种证券 其预期收益率分别为8%和13%,标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3 市场无风险利率为5%。某投资者决定用这两只证券组成最优风险组合。 从图8-5可以看出,最优风险组合实际上是使无风险资产(A点)与风险资产组合的连 线斜率(即A-n)最大的风险资产组合,其中R和分别代表风险资产组合的预期收益 率和标准差,r表示无风险利率。我们的目标是求Max R一。其中 R=XA RA+XBR B 01=X04+XBoB+2XXBPo OB 约東条件是:ⅩA+XB=1。这是标准的求极值问题。通过将目标函数对XA求偏导并另偏导等 于0,我们就可以求出最优风险组合的权重解如下 (-r如2-(R rr poao B -+(一-(R-r+R- (8.5) XB=1-XA 将数据代进去,就可得到最优风险组合的权重为: (008-005)×022-(0.13-005)×03×0.12×02 (008-005)×022+(0.13-005)×012-(008-005+0.13-005)×03×0.12×0 XB=1-04=0.6 该最优组合的预期收益率和标准差分别为: R1=0.4×0.08+0.6×0.13=11% 1=042×0.12+062×02+2×04×06×03×012×02)=142% 该最优风险组合的单位风险报酬=(11%-5%)/42%=042 有效边界的表达式为 p=5%+042o 本书所附的光盘中的Exce模板(标题为第8章两证券模型)则用另一种办法根据两 个风险资产的预期收益率、标准差和相关系数以及无风险利率的数据找出有效边界。 (四)无风险贷款对投资组合选择的影响 对于不同的投资者而言,无风险贷款的引入对他们的投资组合选择有不同的影响 对于厌恶风险程度较轻,从而其选择的投资组合位于DT弧线上的投资者而言,其投资 组合的选择将不受影响。因为只有DT弧线上的组合才能获得最大的满足程度。如图8-6(a) 所示。对于该投资者而言,他仍将把所有资金投资于风险资产,而不会把部分资金投资于无 风险资产
141 边的有效集而言，在预期收益率相等的情况下，AT 线段上风险均小于马科维茨有效集上组 合的风险，而在风险相同的情况下，AT 线段上的预期收益率均大于马科维茨有效集上组合 的预期收益率。按照有效集的定义，T 点左边的有效集将不再是有效集。由于 AT 线段上的 组合是可行的，因此引入无风险贷款后，新的有效集由 AT 线段和 TD 弧线构成。 我们举个例子来说明如何确定最优风险组合和有效边界。假设市场上有 A、B 两种证券， 其预期收益率分别为 8%和 13%，标准差分别为 12%和 20%。A、B 两种证券的相关系数为 0.3。 市场无风险利率为 5%。某投资者决定用这两只证券组成最优风险组合。 从图 8-5 可以看出，最优风险组合实际上是使无风险资产（A 点）与风险资产组合的连 线斜率（即 1 1 f R − r − ）最大的风险资产组合，其中 R1和1 分别代表风险资产组合的预期收益 率和标准差，rf表示无风险利率。我们的目标是求 1 1 f X ，X R r Max A B − 。其中： R 1=XA R A+XB R B XA A XB B 2XA XB A B 2 2 2 2 2 1 = + + 约束条件是：XA+XB=1。这是标准的求极值问题。通过将目标函数对 XA 求偏导并另偏导等 于 0，我们就可以求出最优风险组合的权重解如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A f B B f A A f B f A B A f B B f A B A R r R r R r R r R r R r X − + − − − + − − − − = 2 2 2 （8.5） XB=1-XA (8.6) 将数据代进去，就可得到最优风险组合的权重为： ( ) ( ) (0.08 0.05) 0.2 (0.13 0.05) 0.12 (0.08 0.05 0.13 0.05) 0.3 0.12 0.2 0.08 0.05 0.2 0.13 0.05 0.3 0.12 0.2 2 2 2 − + − − − + − − − − X A = =0.4 XB=1-0.4=0.6 该最优组合的预期收益率和标准差分别为： (0.4 0.12 0.6 0.2 2 0.4 0.6 0.3 0.12 0.2) 14.2% 0.4 0.08 0.6 0.13 11% 2 2 2 2 1 1 = + + = = + = R 该最优风险组合的单位风险报酬=（11%-5%）/14.2%=0.42 有效边界的表达式为： p Rp = 5% + 0.42 − 本书所附的光盘中的 Excel 模板（标题为第 8 章 两证券模型）则用另一种办法根据两 个风险资产的预期收益率、标准差和相关系数以及无风险利率的数据找出有效边界。 （四）无风险贷款对投资组合选择的影响 对于不同的投资者而言，无风险贷款的引入对他们的投资组合选择有不同的影响。 对于厌恶风险程度较轻，从而其选择的投资组合位于 DT 弧线上的投资者而言，其投资 组合的选择将不受影响。因为只有 DT 弧线上的组合才能获得最大的满足程度。如图 8-6（a） 所示。对于该投资者而言，他仍将把所有资金投资于风险资产，而不会把部分资金投资于无 风险资产
R A C 图8-6无风险贷款下的投资组合选择 对于较厌恶风险的投资者而言,由于代表其原来最大满足程度的无差异曲线I与A线 段相交,因此不再符合效用最大化的条件。因此该投资者将选择其无差异曲线与AT线段相 切O所代表的投资组合,如图8-6(b)所示。对于该投资者而言,他将把部分资金投资于 风险资产,而把另一部分资金投资于无风险资产 我们再举个例子说明投资者如何根据自己的投资效用函数来进行最优的资产配置。继续 前面的例子。投资者面临的最优风险组合的预期收益率(R)和标准差(a1)分别为11% 和142%。市场无风险利率(r)为5%某投资者的投资效用函数(U)为 Rp-=Ac 其中A表示风险厌恶系数,R和σ分别表示整个投资组合(包括无风险资产和最优风险 组合)的预期收益率和标准差,它们分别等于:
142 RP I3 I2 I1 D O T C A P （a） RP I3 I2 I1 D T O O C P （b） 图 8-6 无风险贷款下的投资组合选择 对于较厌恶风险的投资者而言，由于代表其原来最大满足程度的无差异曲线 I1 与 AT 线 段相交，因此不再符合效用最大化的条件。因此该投资者将选择其无差异曲线与 AT 线段相 切 O 所代表的投资组合，如图 8-6（b）所示。对于该投资者而言，他将把部分资金投资于 风险资产，而把另一部分资金投资于无风险资产。 我们再举个例子说明投资者如何根据自己的投资效用函数来进行最优的资产配置。继续 前面的例子。投资者面临的最优风险组合的预期收益率（ R1 ）和标准差（ 1 ）分别为 11% 和 14.2%。市场无风险利率（rf）为 5%。某投资者的投资效用函数（U）为： 2 2 1 U = RP − A P 其中 A 表示风险厌恶系数， 2 RP和 P 分别表示整个投资组合（包括无风险资产和最优风险 组合）的预期收益率和标准差，它们分别等于：
R=(-y+ 其中y表示投资者分配给最优风险组合的投资比例。投资者的目标是通过选择最优的资产配 置比例y来使他的投资效用最大化。将R和G代入投资效用函数中,我们可以把这个问题 写成如下的数学表达式 MaxU=(1-y+地R-0.54y 将上式对y求偏导并令其等于0,我们就可以得到最优的资产配置比例y’ R (87) A 如果该投资者的风险厌恶系数A=4,则其y=(115%)(4×142%)=07439。也就是说, 该投资者应将7439%的资金投入最优风险组合,2561%投入无风险资产。这样他的整个投 资组合的预期收益率为946%(=02561×5%+0.7439×11%),标准差为10.56%(=0.7439 14.2%)。显然,这种资产配置的效果是不错的。 无风险借款对有效集的影响 (一)允许无风险借款下的投资组合 在推导马科维茨有效集的过程中,我们假定投资者可以购买风险资产的金额仅限于他期 初的财富。然而,在现实生活中,投资者可以借入资金并用于购买风险资产。由于借款必须 支付利息,而利率是已知的。在该借款本息偿还上不存在不确定性。因此我们把这种借款称 为无风险借款 为了分析方便起见,我们假定投资者可按相同的利率进行无风险借贷 1.无风险借款并投资于一种风险资产的情形 为了考察无风险借款对有效集的影响,我们首先分析投资者进行无风险借款并投资于一 种风险资产的情形。为此,我们只要对上一节的推导过程进行适当的扩展即可。 我们可以把无风险借款看成负的投资,则投资组合中风险资产和无风险借款的比例也可 用X1和X2表示,且X1+X2=1,X1>1,X21,X2<0,因此式(84)在图上表现为AB线段向右边的延长线上, 如图8-7所示。这个延长线再次大大扩展了可行集的范围 R
143 ( ) 2 1 2 2 1 1 y R y r yR P P f = = − + 其中 y 表示投资者分配给最优风险组合的投资比例。投资者的目标是通过选择最优的资产配 置比例 y 来使他的投资效用最大化。将 2 RP和 P 代入投资效用函数中，我们可以把这个问题 写成如下的数学表达式： ( ) 2 1 2 MaxU 1 y rf yR1 0.5Ay y = − + − 将上式对 y 求偏导并令其等于 0，我们就可以得到最优的资产配置比例 y *： 2 1 * 1 A R r y − f = （8.7） 如果该投资者的风险厌恶系数 A=4，则其 y *=(11%-5%)/(4×14.2%2 )=0.7439。也就是说， 该投资者应将 74.39%的资金投入最优风险组合，25.61%投入无风险资产。这样他的整个投 资组合的预期收益率为 9.46%（=0.2561×5%+0.7439×11%），标准差为 10.56%（=0.7439× 14.2%）。显然，这种资产配置的效果是不错的。 二、无风险借款对有效集的影响 （一） 允许无风险借款下的投资组合 在推导马科维茨有效集的过程中，我们假定投资者可以购买风险资产的金额仅限于他期 初的财富。然而，在现实生活中，投资者可以借入资金并用于购买风险资产。由于借款必须 支付利息，而利率是已知的。在该借款本息偿还上不存在不确定性。因此我们把这种借款称 为无风险借款。 为了分析方便起见，我们假定投资者可按相同的利率进行无风险借贷。 1．无风险借款并投资于一种风险资产的情形 为了考察无风险借款对有效集的影响，我们首先分析投资者进行无风险借款并投资于一 种风险资产的情形。为此，我们只要对上一节的推导过程进行适当的扩展即可。 我们可以把无风险借款看成负的投资，则投资组合中风险资产和无风险借款的比例也可 用 X1 和 X2 表示，且 X1+X2=1，X1>1，X21，X2<0，因此式（8.4）在图上表现为 AB 线段向右边的延长线上， 如图 8-7 所示。这个延长线再次大大扩展了可行集的范围。 RP B A P
图8-7无风险借款和风险资产的组合 2.无风险借款并投资于风险资产组合的情形 同样,由无风险借款和风险资产组合构成的投资组合,其预期收益率和风险的关系与由 无风险借款和一种风险资产构成的投资组合相似 我们仍假设风险资产组合B是由风险证券和C和D组成的,则由风险资产组合B和无 风险借款A构成的投资组合的预期收益率和标准差一定落在AB线段向右边的延长线上, 如图8-8所示。 R 图8-8无风险借款和风险组合的组合 (二)无风险借款对有效集的影响 引入无风险借款后,有效集也将发生重大变化。在图8-9中,弧线CD仍代表马科维茨 有效集,T点仍表示CD弧线与过A点直线的相切点。在允许无风险借款的情形下,投资者 可以通过无风险借款并投资于最优风险资产组合T使有效集由TD弧线变成AT线段向右边 的延长线 A C 图8-9允许无风险借款时的有效集 这样,在允许无风险借贷的情况下,马科维茨有效集由CID弧线变成过A、T点的直 线在A点右边的部分。 (三)无风险借款对投资组合选择的影响 对于不同的投资者而言允许无风险借款对他们的投资组合选择的影响也不同 对于厌恶风险程度较轻,从而其选择的投资组合位于DT弧线上的投资者而言,由于代
144 图 8-7 无风险借款和风险资产的组合 2．无风险借款并投资于风险资产组合的情形 同样，由无风险借款和风险资产组合构成的投资组合，其预期收益率和风险的关系与由 无风险借款和一种风险资产构成的投资组合相似。 我们仍假设风险资产组合 B 是由风险证券和 C 和 D 组成的，则由风险资产组合 B 和无 风险借款 A 构成的投资组合的预期收益率和标准差一定落在 AB 线段向右边的延长线上， 如图 8-8 所示。 RP D B A C P 图 8-8 无风险借款和风险组合的组合 （二）无风险借款对有效集的影响 引入无风险借款后，有效集也将发生重大变化。在图 8-9 中，弧线 CD 仍代表马科维茨 有效集，T 点仍表示 CD 弧线与过 A 点直线的相切点。在允许无风险借款的情形下，投资者 可以通过无风险借款并投资于最优风险资产组合 T 使有效集由 TD 弧线变成 AT 线段向右边 的延长线。 RP D T A C P 图 8-9 允许无风险借款时的有效集 这样，在允许无风险借贷的情况下，马科维茨有效集由 CTD 弧线变成过 A、T 点的直 线在 A 点右边的部分。 （三）无风险借款对投资组合选择的影响 对于不同的投资者而言允许无风险借款对他们的投资组合选择的影响也不同。 对于厌恶风险程度较轻，从而其选择的投资组合位于 DT 弧线上的投资者而言，由于代
表其原来最大满足程度的无差异曲线I1与AT直线相交,因此不再符合效用最大化的条件 因此该投资者将选择其无差异曲线与AT直线切点所代表的投资组合。如图8-10(a)所示。 对于该投资者而言,他将进行无风险借款并投资于风险资产。 继续前面的例子。如果投资者的风险厌恶系数A等于2,则他的最优资产配置比例 y=(11%-5%)/(2×142%2)=14878。也就是说,该投资者应借入4878%的无风险资金,加上 自有资金全部投资于最优风险组合。这样他的整个投资组合的预期收益率为13.93% (=0.4878×5%+1.4878×11%),标准差为21.13%(=1.4878×14.2%)。 R 12I1 A C 图8-10无风险借款下的投资组合选择 对于较厌恶风险从而其选择的投资组合位于CT弧线上的投资者而言,其投资组合的选 择将不受影响。因为只有CT弧线上的组合才能获得最大的满足程度,如图8-10(b)所示。 对于该投资者而言,他只会用自有资产投资于风险资产,而不会进行无风险借款 综上所述,在允许无风险借贷的情况下,有效集变成一条直线,该直线经过无风险资产 A点并与马科维茨有效集相切 第三节资本资产定价模型 在第8章和本章第一、二节中,我们给出确定最优投资组合的方法,投资者首先必须估 计所有证券的预期收益率和方差、所有这些证券之间的协方差以及无风险利率水平,然后, 找出切点处投资组合(最优风险组合),并根据自己无差异曲线与无风险利率和切点处投资 组合构成的直线的切点来决定自己的最优投资组合。这种方法属于规范经济学的范畴。在本 节中,我们将在假定所有投资者均按上述方法投资的情况下,研究风险资产的定价问题,它 属于实证经济学范畴。在这里,我们要着重介绍资本定价模型( Capital Asset Pricing Model CAPM)。该模型是由夏普( William Sharpe)林特纳( John Lintner)、特里诺( Jack Treynor 和莫森( Jan mossin)等人在现代证券组合理论的基础上提出的,在投资学中占有很重要的 o Sharpe W, 1964, "Capital Asset Prices, "Journal of Finance, September, 425-42. Lintner, J, 1965, "The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolio and Capital Budgets, " Review 145
145 表其原来最大满足程度的无差异曲线 I1 与 AT 直线相交，因此不再符合效用最大化的条件。 因此该投资者将选择其无差异曲线与 AT 直线切点所代表的投资组合。如图 8-10（a）所示。 对于该投资者而言，他将进行无风险借款并投资于风险资产。 继续前面的例子。如果投资者的风险厌恶系数 A 等于 2，则他的最优资产配置比例 y *=(11%-5%)/(2×14.2%2 )=1.4878。也就是说，该投资者应借入 48.78%的无风险资金，加上 自有资金全部投资于最优风险组合。这样他的整个投资组合的预期收益率为 13.93% （=-0.4878×5%+1.4878×11%），标准差为 21.13%（=1.4878×14.2%）。 RP I3 RP I3 I2 I1 I2 D O I1 T D O O O T A A C C P P (a) (b) 图 8-10 无风险借款下的投资组合选择 对于较厌恶风险从而其选择的投资组合位于 CT 弧线上的投资者而言，其投资组合的选 择将不受影响。因为只有 CT 弧线上的组合才能获得最大的满足程度，如图 8-10（b）所示。 对于该投资者而言，他只会用自有资产投资于风险资产，而不会进行无风险借款。 综上所述，在允许无风险借贷的情况下，有效集变成一条直线，该直线经过无风险资产 A 点并与马科维茨有效集相切。 第三节 资本资产定价模型 在第 8 章和本章第一、二节中，我们给出确定最优投资组合的方法，投资者首先必须估 计所有证券的预期收益率和方差、所有这些证券之间的协方差以及无风险利率水平，然后， 找出切点处投资组合（最优风险组合），并根据自己无差异曲线与无风险利率和切点处投资 组合构成的直线的切点来决定自己的最优投资组合。这种方法属于规范经济学的范畴。在本 节中，我们将在假定所有投资者均按上述方法投资的情况下，研究风险资产的定价问题，它 属于实证经济学范畴。在这里，我们要着重介绍资本定价模型（Capital Asset Pricing Model ， CAPM）。该模型是由夏普（William Sharpe） 林特纳（John Lintner）、特里诺（Jack Treynor） 和莫森（Jan Mossin）等人在现代证券组合理论的基础上提出的①，在投资学中占有很重要的 ① Sharpe, W.,1964, “Capital Asset Prices,” Journal of Finance,September,425-42. Lintner, J., 1965, “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolio and Capital Budgets,” Review
