Vol.15 No.6 郭兴旺等：圆锯片振动模态的分析 ·629. 0。即为节半径位置。2n个节半径将圆周等分，从而构成n个节直径，其位置为： 0m=(2m-1)π/(2n)+0。(n=1,2.3,；m=1,2,…,n) 若将原来的柱坐标系绕乙轴正向转动一个角度日。，则在新坐标系中，节径位置为： 6m=(2m-1)π/(2n)(n=1,2,3.…;m=1,2,…,n) (40) 3讨论 通过对频率方程和振型函数的无量纲化，解除了它们与锯片具体尺寸的关系，从而使其 具有更大的普适性。可以看出，具有相同夹径比和相同泊松比的圆锯片具有统一的无量纲频 率方程和无量纲振型函数，从而其特征值x也相同。 由式(32)知，无量纲频率只与夹径比和泊松比有关，与锯片的其它参数无关，它概 括了具有相同夹径比和泊松比的一大簇锯片的振动频率特性，因此在作锯片振动模态分析或 计算时，使用无量纲频率比较简便并具有高度的综合性。 无量纲频率方程和无量纲振型函数将是以后进一步用数值计算方法求取锯片振动模态的 准确解的基础。 本文之所以没有计及锯片的旋转，是由于当考虑离心力时，其自由振动微分方程就变得没 有解析解，此时就只能用近似法求解。 4结论 (1)普通圆锯片的无量纲频率方程形如方程(29)，不过，行列式各元素的表达式 (13)~(28)中的Ba和Bb要分别用x和Dx取代。无量纲振型函数为： W(Φ，θ)=[Jn(Φ，x)Yn(Φ，x)In(Φ，x)K(Φ，x){C}cosn(0-6) 其中{C}如式(36)。 (2)具有同一夹径比和泊松比的一簇普通圆锯片具有统一的无量纲频率方程、无量纲 振型函数及无量纲频率。 (3)普通圆锯片的固有频率与无量纲频率的关系如式(33)。当锯片材料和夹径比一定 时，固有频率与锯片的半厚成正比，与锯片外半径的平方成反比。 (4)普通圆锯片各阶振型的波节线是直径线或同心圆或两者兼有。节径位置由式 (40)确定，节圆的无量纲半径位置由方程(39)决定。 参考文献 】Szilard R,陈太平，戈鹤翔等译.板的理论和分析.北京：中国铁道出版社，1984 2薛大为.板壳理论.北京：北京工业学院出版社，1988 3 Mclachlan N W.Bessel Functions for Engineers.Oxford:the Clarendon Press,1955V d l . 15 N o . 6 郭 兴旺等 : 圆 锯片振 动模态的分析 0 , 即为节 半径 位置 。 2n 个节半 径将 圆 周等分 , 从而构成 n 个节直径 , 其位置 为 : 8 。 = ( Zm 一 l ) : / ( 2 。 ) + 口。 ( : = I , 2 , 3 , … ; 。 = l , 2 , … , n ) r 若将 原来 的柱 坐标系绕 Z 轴 正 向转动 一个 角度 口 。 , 则 在新 坐标 系 中 , 节径位置 为 : 口 , = ( Zm 一 l ) 二 / (2 n ) ( n 二 l , 2 , 3 , … ; m = l , 2 , … , n ) ( 4 0 ) 3 讨 论 通过对频率 方 程和 振型 函 数 的无量 纲 化 , 解除 了它们 与锯 片具体尺寸 的关 系 , 从而使 其 具有 更大 的普 适性 。 可 以 看 出 , 具有 相 同夹径 比和相 同泊 松 比 的圆 锯片具有 统一 的无量纲 频 率方 程和 无量 纲振 型 函 数 , 从而其 特 征值 x 也相 同 。 由式 ( 3 2) 知 , 无 量纲 频率 只 与夹径 比 和 泊 松 比有 关 , 与 锯 片 的其 它 参数无 关 , 它 概 括 了具有 相 同夹径 比和 泊 松 比 的一大簇 锯 片 的振 动频率特性 , 因此 在作锯 片振 动模 态分 析或 计算时 , 使用 无量 纲频 率 比 较简 便并具有 高度 的综 合性 。 无量 纲频率方 程和 无量 纲振 型 函 数将 是 以 后进一步 用 数值计算方 法求 取锯 片振 动模态 的 准确 解的 基础 。 本 文之所 以 没 有计及锯 片 的旋 转 , 是 由于 当考虑离 心力 时 , 其 自由振 动微 分方程就变得没 有解 析解 , 此 时就 只 能 用近 似法 求解 。 4 结 论 ( l) 普 通 圆锯 片 的 无 量 纲 频 率 方 程 形 如 方 程 ( 2 9) , 不 过 , 行 列 式 各 元 素 的 表 达式 ( 13 ) 一 ( 2 8 ) 中的 刀 a 和 声b 要 分别用 x 和 。 x 取代 。 无量 纲振型 函 数为 : w ( 叭 , 白) = 【大( 中 r x ) 玖 ( 中 , x ) 几 ( 中 r x ) K 。 ( 。 。 x ) { C } co s n (8 一 口。 ) 其 中 { C } 如式 ( 3 6 ) 。 ( 2) 具有 同一夹径 比和泊 松 比的 一簇普 通 圆锯 片具有 统 一 的无 量 纲 频 率方 程 、 无 量 纲 振型 函 数 及无量 纲 频率 。 ( 3) 普 通 圆锯 片的 固有频 率 与无量 纲频 率的关 系如 式 ( 3 ) 。 当锯片材 料 和 夹径 比一 定 时 , 固有频 率 与锯 片的半厚成 正 比 , 与锯片 外半径 的平 方成反 比 。 ( 4 ) 普通 圆 锯 片 各 阶 振 型 的波 节 线 是 直 径 线 或 同 心 圆 或 两 者 兼 有 。 节 径 位 置 由 式 (40 ) 确 定 , 节 圆的 无量 纲半 径 位置 由方 程 ( 3 9) 决 定 。 参 考 文 献 1 5庄a dr 2 薛大 为 . R , 陈太平 , 戈鹤翔等 译 . 板 的理论和分析 . 北 京 : 中国铁道 出 版社 , 1 98 4 板 壳理 论 . 北京 : 北 京工 业学 院 出版社 , 3 M d a e h l a n N W . B es s e 1 F un ct io ns fo r E n g l n e e sr . 1 9 8 8 O x fo dr : ht e C l a er n d o n P 升治 s , 1 9 5 5