圆锯片振动模态的分析

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1993.06.016 第15卷第6期 北京科技大学学报 Vol.15 No.6 1993年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1993 圆锯片振动模态的分析 郭兴旺邹家祥* 摘要：应用小挠度弹性薄板理论和Bs函数理论推导了普通锯片在不考虑离心惯性力效应时 的顿率方程和振型函数，通过对频率方程和振型函数的无量纲化，去除了它们与锯片具体尺寸的 关系，从而使其具有更大的普适性， 关键词：圆锯片，振动/模态，无量钢化 中图分类号：TH113.1 An Analysis on the Vibration Modes of Circular Saw Blades Guo Xingwang Zou Jiaxiang* ABSTRACT:On the basis of the theory of elastic thin plates in small deflections and the the- ory of Bessel functions,the frequency equation and the mode functions of usual circular saw blades are derived with the effects of the centrifugal force neglected.The relations between the frequency equation and the mode functions.and the specific dimensions of the saw blades are removed by nondimensionalizing the frequency equation and the mode functions so as to make them more generalized. KEY WORDS:circular saw web.vibration/mode.nondimensionalizing 圆锯片广泛应用于金属材料、木材和石料等的锯切。为了提高材料利用华和降低能耗， 希望尽量减小锯片的厚度，而锯片愈薄其横问振动问题就愈突出。振动不仅会引起锯片的疲 劳破坏和产生噪声，而且会使锯路拓宽和偏斜。了解锯片的振动模态对于诚小锯片振动具有 重要的指导意义。 普通圆锯片一般可简化为中间固支外边白由的环形弹性薄板。弹性圆薄板的自由振动微 分方程及其通解以及边界条件在板壳理论中均有论述。本文将以此为出发点，推导普通 圆锯片在不考虑离心惯性力效应时的频率方程和振型函数，并对其进行无量纲化。本文旨在 为普通圆锯片振动模态的精确求解提供数学基础。 1993-05-22收稿第一作者：男，28.博上生 *机械【f程系(Department of Mechanical Enginccring)

第巧 卷 第 6 期 1 9 9 3 年 1 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u nr a l o f U n i v e sr ity o f S d ne ec a n d TCe h n o l o g y Be ij i n g V o l . 15 N 0 . 6 众沈 . 1 9 9 3 圆锯 片振动模 态 的分析 郭 兴 旺 份 邹 家 祥 ’ 摘要 : 应用小挠 度弹 性薄板理论和 压溺 c l 函 数理 论推导 了普通锯 片在不 考虑 离 心 惯 性 力效应时 的频 率方程 和 振型 函数 , 通过 对频 率方 程 和振 型 函数 的 无 量纲化 , 去 除了 它们与锯 片具体尺 寸的 关 系 . 从而 使其具有更大 的普适性 关键词 : 圆锯片 , 振动 / 模态 , 无量钢 化 中图分 类号 : T H 1 3 . 1 nA An a l ys i s o n t h e G “ 0 V ib r a t i o n M o d es o f C irc u l a r S a w B l a d es Xi n 少、 , a n g * Z ou J ia x i a n g * A璐T R A C T : 0 1 1 t h e b a s is o f t h e t h co yr o f ela s t i e t h i n Pl a t o i n s nar l d e fl 。 =t i o ns a nd the t h e - o yr o f B 怨eS l fu n ct i o ns , t h e l吻uen cy eq u a t i o n a n d t he mo d e fu n ct i o ns o f us ua l d 比u l a r s a w b l a d es a er d e ir v ed 俪t h t h e e fe CtS o f t h e 卿t ir fo g a l fo 哎 n eg lect ed . hT e elr a t i o ns bet w e e l l rh e 6叫 u en cy 叫u a t i o n a n d t h e mo d e fu n ct i o ns , a n d t h e s P面 if e d i l l l e lls i o ns o f t he s a w b l a d es a er 比叮幻 v ed b y n o n d i IT 妮” s i o na l访n g t h e t响uen yC 叫u a t io n a n d th e mo d e fu n ct i o ns 50 a s t o ma k e ht em mo er g ~ h刹 . K E Y W O R I万 : d 兀u l a r s a w we b , v ib m t io n / om d e , n o n d i mens i o n a li云n g 圆 锯 片广泛 应 用 于 金属 材料 、 木 材和 石料 等的 锯 切 。 为 了提 高材 料 利 用率 和降 低 能 耗 , 希望 尽 量减 小锯 片的 厚 度 , 而锯 片愈 薄其 横向 振动 问题 就 愈突 出 。 振 动不 仅 会引起 锯 片的疲 劳破 坏 和产 生 噪声 , 而 且 会使锯路 拓 宽和偏 斜 。 了解 锯 片 的振 动模态 对于 减小 锯 片振 动具有 重要的指 导意 义 。 普通 圆锯 片一 般可 简化 为 中问固 支外 边 白由的 环形 弹性薄板 。 弹 性 圆薄板 的 自由振 动微 分 方 程及其 通解 以 及 边 界 条件在板 壳理 论 中均 有论述 ! ’ 一 “ } 。 本文将以 此 为出 发点 , 推 导普通 圆锯 片在 不 考虑 离心 惯 性 力 效应 时的 频率 方程 和 振 型 函 数 , 并 对其进 行无 量纲 化 。 本 文 旨在 为 泞通 圆锯 片振 动模 态 的精 确求 解提供 数学基 础 。 l 卯3 一 05 一 2 2 收稿 第 一 作者: 男 , 邓 博上 生 机 械 T 「 程 系 ( eD P a rt ~ t o f M ec ha n 一份 1 E n g n e ir n g ) DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1993. 06. 016

Vol.15 No.6 郭兴旺等：圆锯片振动模态的分析 ,625· 1圆锯片的频率方程及其无量纲化 普通锯片可看作一个中间固支外边自由的等厚薄圆环板，如图1所示。设所研究的锯片 满足克希荷夫和勒符所提出的板的小挠度理论的基本 假定[。在柱坐标系中，锯片的自由横向振动微分方程 为： DVw+m ai =0 (1) 其中D=2Eh3/【3(1-v2)】为抗弯刚度，m=2hp为 单位面积质量。边界条件为：在r=b处，挠度和斜率 为零，即 图1锯片简图 Fig.1 Sketch of saw blade [w],b=0 (2) [3w/2r],=6=0 (3) 在r=·处，弯矩和横向剪力（包括扭矩效应）为零，即 [+(”+2)]-0 (4) [+上晋+片语)+号凉2”吕)}05) 设方程(1)的解为： w=W(r,θ)sino(t-t) (6) 式中W(r,)为振型函数。把(6)式代入方程(1)可得： 7W-B4W=0 (7) 其中： B=m0D (8) 应用分离变量法及有关Bess©l方程的知识解方程(7)，最后得到： W=R(r)⊙(6) (9) 式中 R(r)=CJ(Br)+C2Y (Br)+CI (Br)+CK (Br) (10) ⊙(0)=cosn(0-0。) 常数C、C、C、C,的比值由边界条件确定，实际值尚需进一步由初始条件确定。常数9。 由初始条件确定。将式(9)代人式(6)得： w=[CJ(Br)+C2 Y (Br)+C3I (Br)+CK (Br)]cosn (0-0)sinc(t-to)(11) 此为锯片在某阶单模态下的主振动，它是方程(1)的一个特解。至于方程(1)的通解， 即锯片的一般自由响应，是各阶主振动的叠加。在板问题中，用两个下标m,n来表明某阶

V bl . 15 N 6 6 郭兴旺等 : 圆锯片振动模态的分析 1 圆锯片 的频率方程及其无量纲化 普通 锯 片可看 作一 个中间 固支外 边 自由的等厚 薄 圆环板 , 如 图 l 所示 。 设 所研究 的 锯 片 满 足 克希荷夫 和勒符 所提 出的板的小 挠 度理论 的基本 假 定 〔 ’ l 。 在柱 坐 标系 中 , 锯片的 自由横 向振 动微 分方程 为 : 。 切、 , + 而 典 一 。 J r ( 1 ) 其中 力 二 Z E h , / 【3 ( 1 一 , ’ ) l 为 抗 弯刚 度 , 示 = 2 h p 为 单位 面积质量 。 边 界条 件 为 : 在 r 二 b 处 , 挠度 和斜 率 为零 , r _ b “ O ( 2 ) 图 1 锯片简 图 %-F . 1 5翻功由 of asw b肠山 , w / 。 r ] : _ 。 二 0 ( 3 ) 卜脚即 在 ; 二 a 处 , 弯矩 和横向剪力 (包括 扭矩效应 ) 为零 , 即 l令 〔会( 令 · 告 + , ( 生 刁 林 , . 1 — 十 - 气; 刁 Y 犷 。 谕 , 8 2 ( 4 ) 一 0 r 一 a 飞 . l J se 、 , 少 二 十 粤 票 卜 生共里 沙 r 厂 沙 口一 r 斗 (竺 一 竺 ) 沙 )t 一 沙 r r ] = O ( 5 ) 、了. ` 、户. n12 尹 了 八O 口. `、了`. 设方程 ( l) 的解 为 : w = w ( r , 0 ) s in 。 ( t 一 0t ) 式 中 W ( ; , 口) 为振 型函 数 。 把 ( 6) 式代入方 程 ( l) 可 得 : 切 W 一 刀 4 W = O 其 中: 尸= 示 。 , / D 应 用分 离 变量法 及有 关 B路 s d 方程的 知识解 方 程 ( 7 ) , 最后得到 : W = R ( r ) O ( 8 ) 式 中 R ( r ) = C l 人 (刀 r ) + Q X ( 刀 r ) + q l 。 ( 刀 r ) + q 凡 叨 r ) ( 9 ) ( 10 ) 0 ( 8 ) = co s n ( 口一 0 ) 常数 C , 、 矶 、 q 、 q 的 比值 由边界 条件 确 定 , 实 际 值 尚需进 一 步 由初 始 条件确 定 。 常 数 0 由初始 条件 确定 。 将式 ( 9) 代人式 ( 6) 得 : w = 「C l蒸 伊 r ) + 矶 玖 叨 r ) + 认I 。 伊 r ) + q 凡 ( 刀 r ) 〕co s 。 ( 8 一 口。 ) s in 。 ( r 一 0t ) ( 1 1 ) 此 为锯 片在 某 阶单模态下 的 主 振 动 , 它 是 方 程 ( l) 的一 个特 解 。 至 于方 程 ( l) 的 通 解 , 即锯 片的一 般 自由响应 , 是 各 阶 主振动 的叠加 。 在 板 问题 中 , 用 两 个下 标 从 , 。 来表 明某 阶

.626 北京科技大学学报 1993年No.6 固有频率和振型是比较方便的，因此，方程(1)的通解写成为： 盒套w.0)mu-) 式中的所有待定常数由边界条件和初始条件确定。 将式(11)代人边界条件(2)~(5)，并应用Bee©l函数的递推关系I3刂进行化简 和整理。所得到的4个方程组成一个方程组，用矩阵表示为： a, a C b bi ba C, =0 （12) d 4 d e es Ca 其中 a=J (Bb) (13) a=Yn(βb) (14) a;=1 (Bb) (15) a=K (Bb) (16) b=nJ (Bb)/(Bb)-J(Bb) (17) b:=nY(Bb)/(Bb)-Y(Bb) (18) b3.=nI Bb)/(Bb)+I (Bb) (19) b,nK.(Bb)/(Bb)-K+(Bb) (20) d:=J(Ba)-(1-v)(n(n-I)(Ba)/(Ba)+J(Ba)/(Ba)] (21) d:Y(Ba)-(1-v)In(n-1)Y(Ba)/(Ba)+Y.(Ba)/(Ba)] (22) d3=-{1.(Ba)+(1-v)[n(n-1)l.(Ba)/(Ba)2-In+(Ba)/(Ba川} (23) d =-K(Ba)+(I-v)[n(n-1)K Ba)/(Bay+K(Ba)/(Ba)] (24) e nJ(Ba)-BaJ.(Ba)+n(I-v)/(Bay[(n-1)J (Ba)-BaJ.(Ba)] (25) e:nY(Ba)-Bar.(Ba)+ni(I-v)/(Bay [(n-1)Y(Ba)-Bar,(Ba)] (26) e=-(nI(Ba)+Bal,(Ba)-n(I-v)/(Ba)[(n-1)1(Ba)+fal (Ba)] (27) e4=-{nK(Ba)-faK+(Ba)-n'(1-v)/(BaF[(n-1)K.(Ba)-faK,+(Ba)]}(28) 这一方程关于C、CC、C4有非零解的允要条件为： b, b, b, ba =0 (29) d, d e es

6 2 6 北 京 科 技 大 学 学 报 l卯 3 年 N o 6 固有频 率和 振型 是 比较方 便 的 , 因此 , 方 程 ( l) 的通 解写 成为 : 、 。 = 艺 艺 呱 , ( r , 0 ) s i n 。 , 。 ( 。一 ` 。 ) m = 0 月 二 0 式 中 的所有 待定 常数 由边 界 条件 和初 始条 件确定 。 将 式 ( 1 1) 代 人边界条 件 ( 2) 一 ( 5 ) , 并 应 用 B 巴代1 函 数 的 递 推 关 系 【3 ! 进 行 化 简 和 整理 。 所 得到 的 4 个 方 程组成一 个方 程 组 , 用 矩 阵表 示为 : ( 12 ) C ` 几权 成气忆几 几q ` 吞试ale 姚件 r … esL 其 中 a一 去 ( 刀b ) a Z 二 Y 。 ( 刀b ) a 3 = 毛 (乡b ) a ; = K 。 (刀b ) b : = 。 J , (刀b ) / (刀b ) 一 去 + . (刀b ) b : = 。 玖 (刀b ) / (口b ) 一 乙 + : (刀b ) b 3 = n 式( 刀b ) / (口b ) + 式 + . (刀b ) b ; = n K 。 (刀b ) / (口b ) 一 K 。 十 . (刀b ) d : = 人(刀 a ) 一 ( l 一 v ) 【 n ( n 一 l )去(口a ) / (口 a ) , + J 。 、 、 (声 a ) / ( 刀 a )】 d : = Y 。 (刀a )一 ( l 一 v )【 n ( n 一 1 )矶 ( 刀 a ) / (刀 a ) 2 + 艺 + : (刀 a ) / (夕 a )〕 姚 = 一 { I 。 (刀 a ) + ( l 一 v ) [ 。 ( 。 一 l ) I 。 (口 a ) / (刀a ) , 一 I 。 十 l ( 口 a ) / (刀 a 川 d 。 = 一 { K , (刀a ) + ( l 一 v ) [ n ( 。 一 l ) K 。 ( 刀 a ) / (口 a 丫+ K , 十 , (声 a ) / (刀 a 川 e , = 。 去(吞a ) 一 刀 a 去 * l (口a ) + 。 , ( l 一 v ) / (口a 丫[ ( 。 一 l ) 去(介 a )一 月 a 人 , , (刀 a ) ] 价 = n 兀 (吞a ) 一 刀 a 兀 * , (刀 a ) + 。 , ( l 一 飞, ) / (夕 u ) , ! ( 。 一 l ) K (刀 a )一 刀 a 玖 十 l (刀 a ) ] e , = 一 { n 几(刀 a ) + 口 a ln * . (口 a ) 一 。 ’ ( l 一 v ) / ( 方a ) , I ( n 一 l ) I 。 (口 a ) + 刃a l 。 , , (刀 a ) l } 气 = 一 { n 长 (口 a ) 一 口 a 长 十 . ( 刀a ) 一 。 , ( l 一 v ) / ( 口 u 护[ ( 。 一 1 ) K , ( 口 a ) 一 声 a K , , 】 ( 口 a 川 这一 方程 关 于 C . 、 Q 、 C 、 q 有 非零解 的充 要条件 为: ( 13 ) ( 14 ) ( 1 5 ) ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 29 ) , 氏 马姚瓦 人心气b4 ó 瓦 ù 试a.blel 乙

Vol.I5 No.6 郭兴旺等：圆锯片振动模态的分析 627· 这就是决定锯片各阶固有频率的频率方程（特征方程），从中可解出特征值B。B与锯片的具 体尺寸a、b有关，这是由于频率方程中含有a、b的缘故。为了化简或解除频率方程与a、b 的关系，下面对频率方程进行无量纲化。 设锯片夹径比为Φ=b/a,则b=①a,令 Ba =x (30) 则 Bb=Φx (31) 将式（30)和式（31)代入频率方程等号左边行列式各元素的表达式中，则各元素就转化 为x或Φx的函数。例如： a1=Jn(Φx) d,=Jn(x)-(1-v)[n(n-1)Jn(x)/x2Jm+1(x)/x] 其余各式从略。这样频率方程就转化为关于一个新的特征值x的方程。x只与夹径化Φ和泊 松比v有关，与锯片的其它具体参数无关。经量纲分析易知，x是一无量纲量。 由式(8)和式(30)得： o=x2/3(1-v2)·h√E1p/d 定义另一个无量纲量 1=x1√3(1-v2) (32) 称为无量纲频率。则周有圆频率和固有频率与无量纲频率的换算关系分别为： ω=i·h√Elp/c f=1·hNE/p/(2πa) (33) 2圆锯片的振型及其无量纲化 振型函数(9)的两个因子函数R()和⊙()分别决定了振型沿半径方向和圆周方向的 分布规律。 令 {C}=[CC2C3C4]-1 (34) 则式(10)可写成 R(r)=[J(Br)Y (Br)I(Br)K(Br)]C) (35) 将方程组(12)的第一个方程去掉，整理得： b C: -C b d, Cd e, e es 一

V b l . 15 N 6 . 6 郭 兴旺等 : 圆 锯片振动模 态的分析 这就是 决定 锯 片各阶固有 频 率的 频率方 程 ( 特征 方程 ) , 从中可解 出特征值 声 . 刀与锯 片 的具 体尺 寸 a 、 b 有 关 , 这是 由于频 率方 程 中含有 a 、 b 的缘故 。 为 了化简 或解除频率方程 与 a 、 b 的关系 , 下 面 对频 率方 程进行无量 纲 化 。 设锯 片夹径 比为 中 = b / 。 , 则 b 二 。 a , 令 刀 a = x ( 3 0 ) 则 芦b “ 中 义 ( 3 1 ) 将 式 ( 30 ) 和 式 ( 31 ) 代人频 率方 程等号左 边行列 式各 元 素的表 达式 中 , 则 各元 素 就转化 为 x 或 巾 x 的函 数 。 例如 : a l 二 大 ( 中 x ) d , = 去 ( x ) 一 ( l 一 v ) [ n ( n 一 l )大( x ) / x Z 人 + , ( x ) / x 〕 其余各式 从略 。 这样 频率 方程就转 化 为关于 一 个新的特 征值 x 的方 程 。 x 只与夹径 化 巾 和 泊 松 比 v 有 关 , 与锯 片的 其它 具体参数无关 。 经量纲分 析易知 , x 是 一无量纲 量 。 由式 ( 8 ) 和 式 ( 30 ) 得 : co 一 分 / 寸3 ( 1 一 价 ) · h了万石 / 矿 定 义另一 个 无量 纲量 兄 = 分 / 寸3 ( 卜 v)z 称为无量 纲 频率 。 则 固有 圆频 率和 固有 频率与无 量 纲频 率的换算关系 分别 为 : 。 一 补 h 夕厄石 厂矿 f 一 又 · 入、 厄万 / ( 2 二 矿 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 2 圆锯片的振型及 其无量纲化 r 的两 个 因子 函 数 R ( ; ) 和 O ( 0) 分 别决 定 了振型 沿半 径方 向和 圆周方 向 的 、尸. 了 、产. 4 ù 伟à气」、 àf J .、了r、 振 型 函 数 ( 9) 分 布规律 。 令 则式 ( 10 ) 可 写成 { e } = [ e , C q 4C ] 一 , R ( r ) = [去(口 r ) 玖 (刀 r ) 式(声 r ) 凡 (吞 r 川 C } 将 方程组 ( i2 ) 的第 一个方 程 去掉 , 整理 得 : ) { 二 { { 一 c 】 ”门 …{ 认 } 一 } 一 c l J l { 」 l q ) { 一 c l e l { 石4 ù况勺 , , 瓦 db 、 一 姚吼 厂| | . | | 匕|

.628. 北京科技大学学报 1993年No.6 解出： C b. b, b C, =一C d d. d、 C. e2 e e 代人式（34)得： C. 11 C2 {C}= C d, d, C. e C,是振型的一个公因子，因此可取C,=1,则 [b2 b3 1-1 b (b {C}= (36) d d e e. 下面对函数R(r)进行无量纲化。令 Φ，=rla (b≤r≤a) 称为无量纲半径。则 r=Φ，a(Φ≤，≤1) Br=Φ.·Ba=Φ，x 代人式(35)，并相应地把R(r)改写成R(Φ，)，得： R(Φ，)=[J(Φ，x)Y.(Dx)I.(Φ，x)K.(Φ，x)]{C} (37) 这是一个以无量纲半径为自变量的振型因子函数，称为无量纲振型因子函数。所以，无量纲 振型函数为： W=R(Φ，)⊙() (38) R(中，)还可按其最大绝对值进行归一化，即用 R(D,)=R(D,)/川R(D)川mx 代替R(Φ). 令 R(①)=0 (39) 则此方程在区间0<Φ，≤1上的根为相应振型节圆的无量纲半径位置. 令 ⊙(0)=0 即 c0sn(8-8)=0 则当n≠0时，其解为： 8m=(2m-1)π/(2n)+6。(n=1,2,3,…;m=1,2,…,2n）

6 2 8 北 京 科 技 大 学 学 报 l 卯3 年 N d . 6 解 出: 、 1 1 2 口L del 1 . 1 、 ! | | 、 b 3 b 4 d 3 ’ d . e3 e’ 瓦姚马 、 l 、尸 I J q J ! l `、 || | 、 代人式 ( 3 4 ) 得 : 、 ! . 夕L了lse c 、 ùq几 厂|卜| J 、 | | l C 一 C , 是 振 型的一个公 因子 , 因此可 取 C一 l , 则 ( 36 ) 下 面对函数 R ( r ) 进行 无量 纲化 。 令 叭 = r / a ( b ( r 簇 a ) 称 为 无量纲半 径 . 则 r = 。 , a ( 中 蕊 中 , ( l ) 口 r 二 。 。 · 刀 a = 。 r x 代人式 ( 3 5 ) , 并 相应地把 R ( r ) 改 写成 R ( 。 , ) , 得 : R ( 巾 r ) 二 [去( 。 r x ) 长( 。 : x ) r , ( 。 r x ) 天 。 (。 r x ) ] { C } ( 3 7 ) 这 是 一个 以 无 量纲半 径 为 自变量 的振 型 因子 函数 , 称 为无量 纲振 型 因子 函数 。 所以 , 无 量纲 振 型 函数为: W = R ( 巾 , ) 0 ( 口) ( 3 8 ) R (叭 ) 还 可按其最大 绝 对值进 行 归一 化 即用 R . ( 巾 。 ) = R ( 中 , ) /】R ( 中 ; ) ! m 。 、 代替 R ( 。 r ) 。 令 R (。 r ) = o ( 3 9 ) 则此方程 在 区 间 0 < 叭 蕊 l 上 的根 为相 应振 型 节 圆的无 量纲半 径 位置 。 令 0 ( 8 ) = 0 1 琅p 则 当 陀 笋 0 时 , co s n ( 0 一 0 ) 二 0 其解 为 : 8 。 = ( Zm 一 l ) 二 / ( Z n ) + 0 ( 。 = l , 2 , 3 , … : m = l , 2 , … , 2 。 )

Vol.15 No.6 郭兴旺等：圆锯片振动模态的分析 ·629. 0。即为节半径位置。2n个节半径将圆周等分，从而构成n个节直径，其位置为： 0m=(2m-1)π/(2n)+0。(n=1,2.3,；m=1,2,…,n) 若将原来的柱坐标系绕乙轴正向转动一个角度日。，则在新坐标系中，节径位置为： 6m=(2m-1)π/(2n)(n=1,2,3.…;m=1,2,…,n) (40) 3讨论 通过对频率方程和振型函数的无量纲化，解除了它们与锯片具体尺寸的关系，从而使其 具有更大的普适性。可以看出，具有相同夹径比和相同泊松比的圆锯片具有统一的无量纲频 率方程和无量纲振型函数，从而其特征值x也相同。 由式(32)知，无量纲频率只与夹径比和泊松比有关，与锯片的其它参数无关，它概 括了具有相同夹径比和泊松比的一大簇锯片的振动频率特性，因此在作锯片振动模态分析或 计算时，使用无量纲频率比较简便并具有高度的综合性。 无量纲频率方程和无量纲振型函数将是以后进一步用数值计算方法求取锯片振动模态的 准确解的基础。 本文之所以没有计及锯片的旋转，是由于当考虑离心力时，其自由振动微分方程就变得没 有解析解，此时就只能用近似法求解。 4结论 (1)普通圆锯片的无量纲频率方程形如方程(29)，不过，行列式各元素的表达式 (13)~(28)中的Ba和Bb要分别用x和Dx取代。无量纲振型函数为： W(Φ，θ)=[Jn(Φ，x)Yn(Φ，x)In(Φ，x)K(Φ，x){C}cosn(0-6) 其中{C}如式(36)。 (2)具有同一夹径比和泊松比的一簇普通圆锯片具有统一的无量纲频率方程、无量纲 振型函数及无量纲频率。 (3)普通圆锯片的固有频率与无量纲频率的关系如式(33)。当锯片材料和夹径比一定 时，固有频率与锯片的半厚成正比，与锯片外半径的平方成反比。 (4)普通圆锯片各阶振型的波节线是直径线或同心圆或两者兼有。节径位置由式 (40)确定，节圆的无量纲半径位置由方程(39)决定。 参考文献 】Szilard R,陈太平，戈鹤翔等译.板的理论和分析.北京：中国铁道出版社，1984 2薛大为.板壳理论.北京：北京工业学院出版社，1988 3 Mclachlan N W.Bessel Functions for Engineers.Oxford:the Clarendon Press,1955

V d l . 15 N o . 6 郭 兴旺等 : 圆 锯片振 动模态的分析 0 , 即为节 半径 位置 。 2n 个节半 径将 圆 周等分 , 从而构成 n 个节直径 , 其位置 为 : 8 。 = ( Zm 一 l ) : / ( 2 。 ) + 口。 ( : = I , 2 , 3 , … ; 。 = l , 2 , … , n ) r 若将 原来 的柱 坐标系绕 Z 轴 正 向转动 一个 角度 口 。 , 则 在新 坐标 系 中 , 节径位置 为 : 口 , = ( Zm 一 l ) 二 / (2 n ) ( n 二 l , 2 , 3 , … ; m = l , 2 , … , n ) ( 4 0 ) 3 讨 论 通过对频率 方 程和 振型 函 数 的无量 纲 化 , 解除 了它们 与锯 片具体尺寸 的关 系 , 从而使 其 具有 更大 的普 适性 。 可 以 看 出 , 具有 相 同夹径 比和相 同泊 松 比 的圆 锯片具有 统一 的无量纲 频 率方 程和 无量 纲振 型 函 数 , 从而其 特 征值 x 也相 同 。 由式 ( 3 2) 知 , 无 量纲 频率 只 与夹径 比 和 泊 松 比有 关 , 与 锯 片 的其 它 参数无 关 , 它 概 括 了具有 相 同夹径 比和 泊 松 比 的一大簇 锯 片 的振 动频率特性 , 因此 在作锯 片振 动模 态分 析或 计算时 , 使用 无量 纲频 率 比 较简 便并具有 高度 的综 合性 。 无量 纲频率方 程和 无量 纲振 型 函 数将 是 以 后进一步 用 数值计算方 法求 取锯 片振 动模态 的 准确 解的 基础 。 本 文之所 以 没 有计及锯 片 的旋 转 , 是 由于 当考虑离 心力 时 , 其 自由振 动微 分方程就变得没 有解 析解 , 此 时就 只 能 用近 似法 求解 。 4 结 论 ( l) 普 通 圆锯 片 的 无 量 纲 频 率 方 程 形 如 方 程 ( 2 9) , 不 过 , 行 列 式 各 元 素 的 表 达式 ( 13 ) 一 ( 2 8 ) 中的 刀 a 和 声b 要 分别用 x 和 。 x 取代 。 无量 纲振型 函 数为 : w ( 叭 , 白) = 【大( 中 r x ) 玖 ( 中 , x ) 几 ( 中 r x ) K 。 ( 。 。 x ) { C } co s n (8 一 口。 ) 其 中 { C } 如式 ( 3 6 ) 。 ( 2) 具有 同一夹径 比和泊 松 比的 一簇普 通 圆锯 片具有 统 一 的无 量 纲 频 率方 程 、 无 量 纲 振型 函 数 及无量 纲 频率 。 ( 3) 普 通 圆锯 片的 固有频 率 与无量 纲频 率的关 系如 式 ( 3 ) 。 当锯片材 料 和 夹径 比一 定 时 , 固有频 率 与锯 片的半厚成 正 比 , 与锯片 外半径 的平 方成反 比 。 ( 4 ) 普通 圆 锯 片 各 阶 振 型 的波 节 线 是 直 径 线 或 同 心 圆 或 两 者 兼 有 。 节 径 位 置 由 式 (40 ) 确 定 , 节 圆的 无量 纲半 径 位置 由方 程 ( 3 9) 决 定 。 参 考 文 献 1 5庄a dr 2 薛大 为 . R , 陈太平 , 戈鹤翔等 译 . 板 的理论和分析 . 北 京 : 中国铁道 出 版社 , 1 98 4 板 壳理 论 . 北京 : 北 京工 业学 院 出版社 , 3 M d a e h l a n N W . B es s e 1 F un ct io ns fo r E n g l n e e sr . 1 9 8 8 O x fo dr : ht e C l a er n d o n P 升治 s , 1 9 5 5