Green函数在设备故障诊断中的应用

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1992.02.027 北京科技大学学报 第14卷第2期 Vol.14 No.2 1332年3月 Journal of University of Scieace and Technology Beijing March 1992 二 -二 Green函数在设备故障诊断中的应用 程春芳· 凌正炎· 摘要：本文河述了Grceng函数的原理。以轴丞为例阐期了Green函数对设备故障的 敏感性，并在以Green函数诊断轴承故障的定量标灌方面进行了初步探索。 关键词：Greeng函数，放障诊断，时序模型 Application of Green's Function to Fault 2 Diagnosis of Equipment Cheng Chunfen'Ling Zhengyan' ABSTRACT:The elemeatary properties and sensitivity of Green's function in application to fault diagnosis of equipment are described.Taking a ball bea- ring as an example,the quantitative standard for fault diagnosis with Green's function was explored. KEY WORDS;fault diagnosis,Green's function,time series model 1ARMA模型与Green函数 当机械设备系统振动信号{x,}是平稳的，满足正态分布，具有零均值的序列时，按时序 方法可对{x,}拟合一个差分方程模型。 1991-11-02收稿 ·数力系(Dept,of Mathcmatics and Mechanics) ·采矿系(Dept.of Mining and Minera】Engineering) 287

第 卷第 期 北 京 科 技 大 。 年 月 学 李 报 仑 函数在设 备故障诊断 中的应用 释 丰 羊 辛 ’ 二 才日、 刀 凌 正 炎 ‘ 摘 要 本文 闽述了 函数的 原理 。 以轴 承 为 例阐明 了 函数对 设备故 障 的 故 感性 ， 并在以 “ 函 数诊断轴承故障的 定量标谁 方 面进 行 了初步 探 索 。 关键 词 。 。 。 函数 ， 故障诊 断 ， 时序 摸型 ‘ 己一 “ ， ‘ ‘ 夕 夕夕 ” 红 丁 ， ， 上 ‘ ， ， ， 护 模型 与 函数 当机械设备系统振 动信号 ， 是平稳的 ， 满 足正态分 布 ， 具 有零均值 的序列时 ， 按 时序 方法可 对 谧 ， 拟合一个差分 方程模型 。 一 一 收稿 ， 数力 系 七 ， 采 矿系 。 、 工 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1992．02．027

出，-p1,-1-p2￥，-2-t-p.*,-=a,-010g-1-…0.0,-m 即x,-p.X,-1=0,-∑0，a-1 (1) i-1 1=1 其中，为白噪声序列，P:为自回归参数，0，为滑动平均参数。当8，=0时 ■ X,-∑p,Xx-4=a, 1=1 或 X:=p1X4-1+p2X-2+…+a, (2) (1)式称为X,的ARMA(nm)模型。(2)称为X,的AR(n)模型。AR(n)模型是 ARMN(nm)模型的特例。ARMA(nm)模型对应于一个输入为白噪声、输出为{X:}的系 统。 在式(1)中引入后移算子B,则有 (1-p1B-p2B2-…-p.B)X,=(1-01B-02B2-…0.Bma, 简写为 (1-∑p,B)X,=(1-∑0，B)a, (3) 或 p(B)X,=0(B)a: X,C8(B)Ip(B)〕a: (4) 可以证明，对于ARMA(nm)模型，将X,表示成a,及a,-的线性组合，即 X,=∑G01-1 (5) j=0 其中G;称为Green函数，且G。=I,因此Green函数的定义为：当一个相关的平稳时间序列 {X,}可以用一个无关的平稳时间序列Ka,}的现在值和过去值的线性组合表示时，其“权”为 Greenp函数。 在建立ARMA(nm)模型时，输入{a,}必为白噪声，但模型建立后，P:,日，已确定， 则{a,}可为任意形式的输入。 若(5)式中a,-为单位脉冲0，-i则 X,=∑G,d-1 (6) 其中0，-只有在j=时，6-1=1而≠j时，6，-；=0因此X,=G: 上式表明，G,就是系统的单位脉冲响应函数。 若对(5)式引入单位脉冲0，-，有 X,=∑Gd-4 =0 288

， ， 一 ， 公 ，一 一 甲 髯 ，一 一 “ “ 一 甲 ， 一 “ 一 口 。 一 …… 。 ‘一 即 二 ， 一 乙 甲 ‘ 一 ， 一 乙 ， ， 一 ， 了 二 其 中。 ，为 白噪声序列 ， ， 为 自回 归参数 ， ，为滑 动平均参数 。 当 ， 时 ， 一 乙 甲 ‘ 一 ‘ 二 仇 或 ， 卯 ‘ 一 ， 十 甲 ， 一 “ 一 十 ， 式称为 ， 的 。 模型 。 称为 ， 的 模 型 。 。 模型的特例 。 。 。 模型 对应于 一个输人为白噪声 、 统 。 在式 中引人后移算子 ， 则有 一 ， ， 一 甲 一 … 一 甲 。 ’ ， 一 一 “ 一 ” 一 “ ， 模 型是 输出为 ， 的系 简写 为 一 甲 ， ‘ ， 一 二 乙 ， ， 或 伊 ， ， 〔 甲 〕 ， 可 以证 明 ， 对于 模型 ， 将 表示 成 及口 ，一 ，的线性组合 ， 即 ， 乙 ， 一 ， 二 其 中 ，称为 函数 ， 且 。 二 ， 因此 函数 的定义 为 当一个相 关的平 稳 时 间序列 谧 ， 可 以用 一个无 关的平稳时 间序列 ， 的现 在值和过去值的 线性组合表示时 ， 其 “ 权 ” 为 函数 。 在建立 模型时 ， 输入 ， 必 为 白噪声 ， 但模型建 立 后 ， 甲 ‘ ， ， 已确定 ， 则 ， 可 为任意 形式的输人 。 若 式 中 。 ，一 ，为单位脉冲 ，一 ， 则 ， ， 一 ， 其 中 卜， 只有 在 时 ， ， 一 ， 而 笋 时 ， ， 一 ， 因此 ， ， 上式表 明 ， ，就是 系统的单位脉冲响应函数 。 若对 式引入单位脉冲占 ，一 ， 有 ， 二 ， ， 一

只有j=时有X,=G:-K 可见：(1)当t固定，变动时，G:-表示过去k时刻作用于系统的单位脉冲6，-对现在时刻 系统行为X,的线性响影的权值大小。 (2)当变动，k固定时，G:-表示系统对于过去时刻所受到的单位脉冲的衰减情况。若 比较(5)式和(4)式，可得 0(B)1p(B)=∑G,B1 (7) j-0 (7)式表示了G,与传递函数的关系。从某种意义上看，G,也能反映系统的传递性能。 2 Green函数的递推计算 对ARMA(nm)模型，可将(5)式代人(3)式得 (1-0B）（G,B）a,=(1-0,B）a, 由于a,的任意性，由上式可得 (1-p1B-p2B2-…-p.B")(G0+G1B+G2B2+…) =1-01B-02B2-…0nB", 比较上式等号两边B算子的同次的系数，可得G。=1 G1=p1G。-01 G2=p1G1+pzG。-02 G3=p1G2+p2G1+p3G0-03 华华中有专 Gn=iGm-1+P2Gn-2+..+mGo-0m G+1=PIG+.+Gi+n+1Go G。=p1G。-1+p2G.-2+…+p。-1G1+p.G0 G.+1=p,G。+p2G。-1+…+p。-1G2+p.G1 e G=p1G1-1+p2G1-2+…+pG1- （j≥n) 对于AR(n)模型，只需令8，=0就行。 3应用Green函数诊断机械故障的实例 ARMA(nm)模型是系统信息的凝聚器，系统的特性，工作状态的重要信息都凝聚在其 中。同时它有外延性，还可对系统状态发展趋势进行预测。因此用ARMA(nm)模型的个别参 数进行诊断是简便易行的。 289

只 有 存时 有 ， ， 二 可见 当 固定 ， 变动时 ， ‘ 一 表示 过去 掩时刻作用于 系统 的单位脉冲 ‘ 一 ，对现 在 时刻 系统行为 的线性响影的权值大小 。 当 变动 ， 固定时 ， ，一 。 表示系统对于过去 时刻所受到的单位脉冲的衰减情况 。 若 比较 式和 式 ， 可 得 甲 口， 矛 了二 式表 示 了 ，与 传递 函数 的关系 。 从某种意 义上 看 ， ，也能 反映 系统的 传递性能 。 函数的递推计算 对 。 二 模 型 ， 可 将 式代 人 式得 ，一 氛 ， 愈 ， ， 一 ‘ 一 乡 “ ， 了 一 由于 的任意性 ， 由上式可 得 一 尹 一 伊 “ 一 · ” … 一 沪 。 。 十 ， ‘ “ 一 一 一 一 … … 。 “ 比 较上式 等号 两边 算子的 同 次的系数 ， 可得 ‘ 。 甲 口 。 一 氏 甲 ， 。 一 口 甲 甲 势 一 …… 。 甲 。 一 ， 甲 ， 一 ” · … 甲 口。 一 火 二 甲 口 “ 一 ， 。 甲 、 ‘ 。 …… … 。 甲 ， 一 甲 一 十 。 十 甲 。 中 一 势 一 甲 ， 甲 。 一 中 … … 口 ， 伞 ，一 十 甲 ‘ ，一 对于 模型 ， 只需令 ， 就行 。 … … 二 口 … … … 甲 。 ，一 。 》 的 应用 函数诊断机械故障的 实例 。 模型是系统信息的凝聚器 ， 系统 的特性 ， 工作状态的重要信息都凝 聚 在其 中 。 同时它有外延性 ， 还可 对 系统状态发展趋势进行预测 。 因此用 ， 模型 的个别参 数进行诊断是简便易行的 。 多 争

Gre3n函数是系统的单位脉冲响应函数。可将(5)式表示为： X,=∑G,a,-1=G。a. j-0 等式两边进行FFT变换，即为 FCX ]=FG.a FCX,)=FCG),F〔a, .a,~NID(O,02) 又F〔Ca,)=4Ta/2m为常数 ∴F〔X,)=(4To12π)F〔G) a,~NID(O,a)中，N表示在时刻，a,为满足正态分布的随机变量，其均值为0，方差为 o,ID表示当t变动时，各a,之间彼此无关，是白噪声。4T为采样时间间隔。 系统状态的变化势必导致G;的变化。G;的衰减速度与系统稳定性程度密切相关，因此 可根据G,判别系统的稳定性。 对204型向心球轴承在轴承厂解体，人为模拟内圈、外圈及球点蚀故障。在50910型轴承 振动测量仪上测取加速度信号，对测取信号进行采样、信号预处理、滤波，建立AR(10)模 型，而后计算Green函数。Green函数如图l。 从图1可看出系统是稳定的，正常轴承比故障轴承Greenp函数收敛快。Green函数衰减速 度减慢是轴承发生故障的特征。据此可对G进行定量计算。若G:按下式进行计算。 Gi=IGIN j-1 N为正整数。计算所得G1的数值如下： 1.0f 1.0 1.0 1.0 7111K444444144w 图1轴承振动信号的格林函数图 Fig.1 Green function for a ball bearing with vibration signal 290

函数是系统的单位脉冲响应 函数 。 可 将 式表示为 ， 乙 ， ， 一 ，二 ， 了二 等式两边进行 变换 ， 即为 〔 ， 〕 ， 〔 ， 〕 二 〔 〕 。 〔 ， 〕 ， ，口 子 又 〔 〔 ， 〕 二 登 万 为常数 ’ 〔 ， 〕 刁 芝 汀 〔 〕 ， ，， 幻 中 ， 表示在 时刻 ， 。 ， 为满足 正态分布的随机变量 ， 其均值为 。 ， 方 差为 此 ， 表示 当 变动时 ， 各 ，之 间彼此 无关 ， 是 白噪声 。 为采样时 间间隔 。 系统状态的 变化势必导致 ，的变化 。 ，的衰减速度与 系统 稳定性程度密切相 关 ， 因此 可根据 ，判别系统的稳定性 。 对 型 向心球轴承在轴承厂解体 ， 人 为模拟 内圈 、 外圈 及球点蚀故障 。 在 型轴承 振动测量仪上测取加速度信号 ， 对测取信号进行采样 、 信号预处理 、 滤波 ， 建 立 。 模 型 ， 而后计算 函数 。 函数如图 。 从图 可看出 系统是稳定 的 ， 正常轴承比故障 轴承 “ 函数收敛快 。 函数衰减速 度减慢是轴承发生故障的特征 。 据此可 对‘ ，进行定量计算 。 若 ，按下式进行计算 。 ， 艺 ， 了二 为正整数 。 计算所得 。 的数值如下 图 轴承振 动信号的 格林函数图 丈 策

正常轴承5.24×10-，9.68×10-7内图点蚀6.19×10-3,4.86×10-3 外圈点蚀1.36×10-2,1.89×10-2 从定量计算可看出：(1)故障轴承G1。值比正常轴承G10值大102~10*倍。从而可看出 G,对轴承故障敏感。G,越小，Green函数衰减越快。(2)正常轴承G1o值在1×10-7~100× 10-7范围内；内圈点蚀轴承G1值在1×10-8~10×10~3范围内；外圈点蚀轴承G1,值在1× 10-2~10×10~2范围内 由此可根据G1。值分析判断轴承故障的部位。 另外，对齿轮疲劳点蚀故障信号在建立AR(40)模型后计算出Green函数，发现函数峰值 间隔反映了齿轮啮合频率及其谐波的周期，Green函数的周期规律对齿轮状态很敏感。还有 资料证明，G,可以作为一个有效的特征量诊断板壳结构有无裂纹，G,对裂纹的存在相当敏 感。G,的衰减速度与磨削系统的稳定性程度密切相关。 4结 论 Green函数反映了系统的动态特性，用G;对轴承和齿轮点蚀及板壳结构有无裂纹的诊断 都比较敏感，可结合不同设备的不同故障探讨其定量诊断标谁。 参考文献 1杨位钦，顾岚。时间序列分析与动态数据建模。北京：北京工亚学院出版社，1986 年 2喻金平。滚动轴承状态监测及故障诊断，北京钢铁学院采矿系硕土论文，1988 3应怀樵。波形和频谱分析与随机数据处理。北京：中国铁道出版社，1985年 e 291

正常轴承 外圈点蚀 。 一 ， 。 一 ， 一 一 艺 内圈点蚀 。 一 ， 理 。 又 一 ’ 从定量计算可 看出 故障轴承‘ 。 值比 正常轴承 。 值大 ‘ 倍 。 从而 可 看出 ‘ ，对轴承故障敏 感 。 ，越小 ， 函数衰减越快 。 正常轴承‘ ， 。 值 在 一 。 一 一 。 范围内 内圈点蚀轴承 ， 。 值 在 一 一 “ 范 围内 外圈点蚀 轴承 ， 。 值 在 一 一 “ 范围内 由此可 根据 。 值分析判断轴承故障的部位 。 另外 ， 对齿轮疲劳点蚀故障信号在建 立人 模型后 计算出 函数 ， 发现 函数峰值 间隔反映 了齿轮啮合频率及其谐波 的 周期 ， 函数的 周期规律对齿轮状态很 敏 感 。 还有 资料证 明 ， 河以作为一个有效的 特征量诊断板壳结 构有无裂纹 ， ，对裂纹的存 在 相 当敏 感 。 ，的衰减速度与磨 削 系统的 稳定性程度密切相 关 。 结 论 函数 反 映了 系统 的动态特性 ， 用 ，对轴承和齿轮点蚀 及板壳结 构有无裂纹的诊断 都比 较敏 感 ， 可结 合不 同设备的不 同故障探讨其定量诊断 标准 。 杨位钦 ， 年 喻金 平 。 应怀樵 。 参 考 文 献 顾岚 时 间序列分析与动态数 据建 模 北京 北京工业学 院出版社 ， 滚动轴承状态监测 及故障诊断 ， 北京 钢 铁 学院采矿 系硕士 论文 ， 波形和频谱分析与 随机数据 处理 。 北京 中国铁道出版社 ， 尽 年 落