用扩张变换法测量金属断裂表面的分形维数

D0I:10.13374/i.issm1001-053x.1991.06.024 北京科技大学学报 第13卷第6期 Vol.13 No.6 1991年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nov 1991 用扩张变换法测量金属断裂表面的分形维数 许洋·刘幕怡· 章守华· 摘要：采用数学形态学中扩张变换的方法，对金属断口剖面迹线的分形维数进行了 测量，并将结果与裁岛法进行了比较。 关键词：数字形老学，扩变换，结构元，分形维数 Measurement of Fractal Dimensions on Fracture Surface by Dilation Xu Yang Liu.Muyi Zhang Shouhua ABSTRACT:Dilating operation of mathematical morphology was taken to measure the fractal dimensions of metallic fracture profile,Comparison between the results got from dilation and slit island analysis was made, KEYWORDS:mathematical morphology,dilation,structure element,fractal dimension 近年来，有关金属断裂表面分形维数与性能之间关系的探索已有不少报导〔1~4)，在这些 文章中，作者们大都采用Mandelbrot推荐的“截岛法”(Slit Island Analysis)测量金属断 口的分形维数。由于这种方法所测的分形维数值与磨层深度有关，因此，对于非宏观平断 口，特别是具有混合型（即纤维状+结晶状）断口的试样，截岛法显然存在着较大的局限 性。 本文采用数学形态学的分析方法测量了冲击断口剖面迹线的分形维数，将所得结果与截 岛法进行了比较并作了初步分析。 1991-03-08收稿 ·材料科学与工程系(Department of Materials Science and Engineering) 544

第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 。 。 丫 用扩张变换法测量金属断裂表面的分形维数 许 洋 ‘ 刘慕恰 ’ 章守华 摘 要 采用数学形态学 中扩张变换的 方法 ， 对金属断 口部面迹 线的分形维数进行 了 侧量 ， 并将结果与截岛法进行 了比 较 。 关键词 数 字形态学 ， 扩变换 ， 结构元 ， 分形维数 夕 ’ ’ “ 夕 ” 夕 五 。 ， ， ， 近年来 ， 有关金属断裂表面分形 维数 与性能之 间关 系的探索已有不 少报导 〔 ‘ 一 ‘ ’ ， 在这些 文 章中 ， 作者们大都采用 推荐的 “ 截 岛法 ” 测量金属断 口 的分形维数 。 由于这种方法所测的分形 维数值 与磨 层深度有关 ， 因此 ， 对于 非 宏 观 平断 口 ， 特别是具有混合型 即纤维状 结 晶状 断 口的试样 ， 截 岛法显然存在 着 较 大 的局限 性 。 本文采用数学形态学的分析方法测量 了 冲击断 口剖面迹线的分形维数 ， 将所得结果与截 岛法进行了 比较井作了初步分 析 。 ， 一 一 收稿 材料科学与工程系 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1991．06．024

1实验原理 数学形态学分析是一种新兴的图象分析方法5,8)，通常在自动图象分析仪器上进行。 与经典图象分析方法不同，数学形态学采用结构元将被测物体进行图形变换操作，从而获得 新的参量和新的图象描述方法。扩张变换是图形变换操作中的一种。 设被测物体在图象分析仪屏幕测量框内所覆盖的象点组成集合V,结构元是一个已知形 状及尺寸的象点集合B。当结构元B不断移动使其陆续占据屏幕上所有位置，所有满足据 BnY≠中的象点x将组成一个新的集合D: D={xBnr≠φ》 也可记作： D=Y(+)B 式中符号中表示空集，(+)表示扩张。 若被测物体是一条断口剖面迹线，即集合Y,用不同尺寸的结构元B,(=1,2,3…)对 其进行重复扩张变换（如图1），并分别测量 结构元B:及断口剖面迹线扩张后的面积，则 Y(+)B1 测量步距与曲线长度可分别由式(1)和(2) 计算s): n=VA(B)/π (1) B20 Y(+)B1(+)B2 L(n)=A(n)/2n (2) 式中：一测量步距： L()一步距为”时的曲线长度： A(B)一扩张变换用的结构元面积， Y+B,+)2(+)B5 A()一扩张变换后的曲线面积。 则断口剖面迹线的分形维数D:可由下式 求得r8,7) 图1扩张变换的重复操作 L()=L。71-) (8) Fig.I Repeated operations of the dilations 2 实验过程 本文使用的材料为40 MnVTi非调质钢，其化学成分(wt%)为：0.39C,1.52Mn, 表1试样的冲击韧性值 0.26Si,0.10V,<0.01Ti,0.07S,0.016P Table 1 The CVN values of 40 MnV Ti经1000℃锻造后空冷至室温直 specimen 接使用，钢的冲击韧性a,值如表1所示(8)。 在真空喷镀仪上将所有断口喷镀上一层 试样号 试验温度（℃） ak (J/cm2) 2~3μm的纯钛。对同一块试样，其中一侧断 128◆ -120 13 口分形维数用截岛法测量(4)，另一侧用扩张 13* -30 54 变换法测量。全部测量在OPTON公司的 545

实验原理 数学形态学分析是一种新兴的图象分析方法 “ ， 已 ’ ， 通常在 自动图象分析 仪 器上 进行 。 与经典图象分析方法不 同 ， 数学形态学采用结构元将被测物体 进行图形变换操作 ， 从而获得 新的参量和新的图象描述 方法 。 扩张变换是图形变换操作 中的一种 。 设被侧物体在图象分析仪 屏幕测量框 内所覆盖的象点组成集合 犷 ， 结构元是一个已 知形 状及尺寸的象点集合 。 当结构元 不 断移 动使其陆续 占据屏幕上所有位置 ， 所有 满 足 州据 笋功的象点二 将组 成一个新的 集合刀 二 二 笋劝 也可记作 式中符号功表示空集 ， 表示扩张 。 若被测物体是一 条断 口 剖面迹线 ， 即 集合 ， 用 不 同尺寸的 结构元 ‘ ‘ ， ， · · … 对 其进行重复扩张变换 如图 ， 并分别测量 结构元 及断 口剖 面迹线扩张 后 的 面积 ， 则 侧量步距 与曲线长度可分别由式 和 计算 〔 “ 飞 刀 了 二 奋 犷 刀 粉 刀 刀 式中 刀－ 侧量步距 功 － 步距为粉时的 曲线 长度 － 扩张变换用的 结构元面积 功 － 扩张变换后的 曲线 面积 。 则断 口 剖面迹线的分 形维数 刀 可 由下 式 求得 ‘ ’ ’ 勺 。 勺 一 ， ，’ 今 〔 又二 ，、日， 图 扩张 变换 的 重 复操作 厂 实验过程 本文使用的材料为 非 调 质钢 ， 表 试样的冲击韧性值 试样号 试验温度 ℃ ， 。 一 一 习 其 化 学 成 分 为 ， 。 ， ， 。 ， ， 。 ， 。 经 ℃ 锻造后空冷至室温直 接 使用 ， 钢的 冲击 韧性 值如表 所示 〔 ’ 。 在真空喷镀仪上将所有断 口喷 镀 上 一 层 一 林 的 纯钦 。 对 同一块 试样 ， 其 中一侧 断 口分形 维数用 截 岛法 测量 〔 〕 ， 另一侧用 扩 张 变换 法 侧量 。 全 部 侧 量 在 公司 的

IBAS1000全自动图象分析仪上进行。 2,1断口剖面迹线的获得 将垂直于断口剖开的试样剖面进行机械抛光，在图象分析仪屏幕上可获得由试样与镀层 组成的黑白二值图象。若将其分别定义为集合S与P,则在图象分析仪上对它们进行布尔操 作，取二者的交集S∩P即可获得断口剖面迹线。 2,2测量位置的确定 128试样断口的宏观形貌为结晶状平断口，而13*试样断口则由中心的结晶断口与边缘 的剪切唇组成，剪切唇宽度约为1.5m血左右。为便于比较，两块试样均将距缺口根部3mm 及7mm处确定为测量位置。两种测量方法的放大倍数均为500倍。 了实验结果及分析 3,1测试方法对分形维数的影响 用两种方法测量的分形维数如表2所示。 结果表明，对于具有宏观平断口的128#试样，采用截岛法和扩张法所得分形维数值相近 （二者差异小于10%)，而对于具有混合型断口的13*试样，试样中心与边缘处断口剖面迹 线的分形维数值相差较大。在扫描电镜下观察，13*试样的断口微观形貌由中心的准解理河 流花样逐步过渡为边缘的韧窝状，与分形维数变化趋势一致。由此可见，对于宏观非平面断 口，由于分形维数分布的不均匀性，采用截岛法测量分形维数有其局限性，所得结果的准确 性易受样品磨层深度的限制，对于这类断口，扩张法值得推荐。而对于宏观平断口，两种方 法所得数据基本吻合。 利用已建立的分形维数与冲击性能之间的经验关系，采用分段测量断口剖面迹线分形维 数的方法，还可以将整个断口所消耗的冲击功（主要是裂纹扩展功）进行分离，即定量计算断 口上某一部位或某种形貌（如韧窝、撕裂棱、准解理河流等)在断裂过程中所消耗的能量。 表2用两种不同方法测得的分形维数D 1.2 Table 2 The fractal dimensions D measured by two different methods 扩张法 试样号 裁岛法 3mm处 7m位处 OL 200 500 800 Magnification 128◆ 1,186 1,102 1.093 图2 128*试样在不同放大倍数(M)下用扩张法 13 1.309 1,097 1,305 所测的分形维数 Fig.2 Fractal dimensions by dilation under varied magnification 当然这种计算应建立在足够数据统计的基础上。 546

全 自动图象分析仪上 进行 。 。 断 口 剖 面 迹线的获得 将垂直于断 口 剖开的试样剖面进行机械抛光 ， 在 图象分析仪屏幕上可获得由试样与镀层 组成的 黑 白二值图象 。 若将其分 别定义为集合 与尸， 则在图象分析仪上对 它 们进行布尔操 作 ， 取二者的 交集 自尸 即可获得断 口剖面迹线 。 。 浦 位里的确定 ’ 试样断 口 的宏观形貌为 结 晶状平断 口 ， 而 ， 试样断 口 则 由中 ，乙的结 晶 断 口与边缘 的剪切唇组成 ， 剪切唇宽度约为 左右 。 为便于比较 ， 两块 试样均将 距 缺 口根部 二 及 处确定为测量位置 。 两种测量方法的放 大倍数均为 倍 。 实验结果及分析 。 洲试方法对分形维数 的 影晌 用两种方法 测量的分形维数如表 所示 。 结果表 明 ， 对于具有宏观平断 口 的 年试样 ， 采用 截 岛法和扩张法所得分形维数值相近 二者差异小于 ， 而对 于具有混合型断 口 的 试样 ， 试样 中心与边缘处 断 口剖面迹 线 的分形维数值相差较 大 。 在扫描 电镜下观察 ， 希 试样的断 口 微观形貌由中心的堆解 理 河 流花样逐步过渡为边缘的韧窝状 ， 与分形 维数变化趋势一致 。 由此可见 ， 对于宏观非平面断 口 ， 由于分形维数分布的 不均 匀性 ， 采用截 岛法侧量分形 维数有其局限性 ， 所得结果的淮确 性易受样品磨层深度的限 制 ， 对于这类断 口 ， 扩张法值得推荐 。 而对于宏观平断 口 ， 两种方 法 所得数据基本吻合 。 利用已建立的分形 维数与冲击性能之 间的经验关 系 ， 采用分段侧量断 口剖面迹线分形 维 数的 方法 ，还可以将整个断 口 所消耗的 冲击功 主要是裂纹扩展功 进行分 离 ， 即定量计算断 口 上某一部位或某种形貌 如韧窝 、 撕裂棱 、 准解理河流等 在断裂过 程 中所消耗的能量 。 表 用两种 不 同方 法洲得 的分形维数刀 二 ， 占 试样号 扩张法 截 岛法 扭处 了 处 、 司 、 场勺、 口口 口 尸一 。 。 。 。 。 。 图 确 试样在不 同放大倍数 下用扩张法 所侧的分形维数 当然这种计算应建立在足够数据统计的基础上

3.2放大倍数对扩张法所测分形维数的影响 采用截岛法测量分形维数对选用测量码尺(yardstick)长度提出了较严格要求。改变码 尺长度会对测量结果产生较大影响，通常认为码尺长度应小于裂纹扩展的最小步长(23)， 而后者往往受控于金属的显微组织参数。另一方面，码尺长度也是由仪器屏幕上象点距离决 定。因此，用截岛法测量分形维数对放大倍数有较大依赖性。 实验结果还表明，采用扩张法测量的分形维数值可在较大的放大倍数范围内保持稳定。图 2示出不同放大倍数下，在断口上同一点所测的分形维数。结果表明，D:值在放大倍数200~ 800范围内波动不大。进一步分析发现，扩张变换法中的码尺长度，即由结构元面积换算成 的测量步距，对测量结果并不重要。而断口剖面迹线上各处的斜率或切线斜率，以及它们出 现的频率，换句话说，曲线本身的粗糙程度，才对测量结果产生决定性影响。有关这方面的 详细讨论将另文发表。 4结 论 (1)宏观非平面断口的分形维数适宜用扩张变换法分段测量获得。而结晶状断口的分形 维数用截岛法及扩张变换法测量结果基本一致。 (2)采用扩张变换法时，放大倍数在200~800倍范围内变化对测量结果影响不明显。 致谢：本文作者衷心虫谢刘国权副教授富有建设性的讨论，并必谢北京医科大学图象分析室黄永宁同志的大力协助。 参考文献 1 Pande C S,et al,Acta Metall,1937,35:1633 2穆在勤，龙期威。金属学报，1988,24：A142 3苏辉等。金属学报，1989,25：A466 4 Mandelbrot BB,et al.Nature,1984,308:721 5 Cherment J L,Coster M.J Mater Sci,1979,14:509 6余永宁，刘国权，体视学。北京：治金工业出版社，1989：460 7'Jens Feder.Fractals,New York:Plenum Press,1988,8. 8王秀梅。北京科技大学材料系硕士论文，1990 547

放大倍教对扩 张法所翻分形维数的形响 采用截 岛法 测量分 形维数对 选用测量码尺 长度提出了较严格要 求 。 改变码 尺长度会对侧量结果 产生较 大影响 ， 通 常认为 码尺长度应 小于裂纹扩展的 最 小 步 长 〔 “ ’ ’ ， 而 后者往往受控于金 属的显 微组织 参数 。 另一方面 ， 码尺长度也是 由仪 器屏幕上 象点距离决 定 。 因此 ， 用 截岛法 侧量分 形维数对放大倍数有较大依赖性 。 实验结果还表明 ， 采用 扩张法 测量的分形维敬值可在较大的放大倍数范 围 内保持稳定 。 图 示 出不 同放大倍数下 ，在断 口 上 同一点所测的分形维数 。 结果表 明 ， 、值在放大倍数 。 一 。范围 内波动不大 。 进一 步分 析发现 ， 扩张变换法 中的 码尺 长度 ， 即 由结构 元 面 积换算成 的测量步距 ， 对 测量结果并不 重要 。 而断 口 剖面迹线上各处的 斜率或切线斜率 ， 以及它 们 出 现 的频率 ， 换句话说 ， 曲线 本身的粗糙程度 ， 才对测量结果产生决 定性影响 。 有关这方面的 详细讨论将另文发表 。 结 论 宏观非乎面断 口的分形维数适宜用扩张变换法分段 测量获得 。 而结晶状断 口的分形 维数用 截岛法及扩张变换法测量结果基本一致 。 采用 扩张变换法时 ， 放大倍数在 倍范围 内变化对 测量结果影响不 明显 。 致谢 本文作者衷心 感谢刘 国权副 教授富有 建设性的讨 论 ， 并感谢那京医科大学 图象分析室黄永宁同志 的大力协助 。 今 考 文 献 ， 。 ， ， 穆在勤 ， 龙期威 金属学 报 ， ， 苏辉 等 金属学报 ， ， ， 。 ， ， ， ， 。 ， ， ， 余永宁 ， 刘国权 体视学 。 北京 冶 金工业出版社 ， 。 。 ， ， 冬 王秀梅 北京科技大学材料 系硕上论文