D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1991.0M.028 第13卷第4(【)期 北京科技大学学报 Vol.13No.4(I) 1991年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing July 1991 有限长悬板受力弯曲的解析法 罗 铭·朱孝禄 摘要：推导了有限长轻板在任套点受力弯曲的精确解计算公式，为悬版理论确定轮齿 齿根弯炬提供了较理想值。它可以取代传统的半经验方法一一矩象叠加法。 关键词：悬臂板，解析法，齿根弯矩，矩象叠加法 An Analytic Method to Determine the Bending Moment of Cantilever Plate Lo Ming·Zhu Xiaolu* ABSTRACT:This paper gives an analytic method to determine the bending moment at the root of the gear teeth which may be looked upon as a cantile- ver plate with finite length acted by a concentrated load at arbitrary point of the plate face.The analytic method consists of the superposition of six cases of plate-bending results which is more accurate than the traditional method--the moment-image method. KEY WORDS:the cantilever plate,the analytic method,method of superpo- sition,the moment at the root of the gear teeth,the moment-image method 悬板法分析齿轮轮齿的弯曲强度过程中，齿根处的弯矩确定方法非常重要。1960年E.J。 韦劳厄采用矩象叠加法，在无限长悬板研究的基础上，分析了轮齿在受力后的齿根弯矩分布状 1990-01-15收稿 ·机城系(Department of Mechanical Engineering) ··华东冶金学院(East China Institute of Metallurgy). 342
第 , s卷第 4 ( I ) 期 北 京 1。。 i 年 了 月 J o u r n a l o f U n i v e r s i t y 科 技 大 学 学 报 o f S e i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e i j i n g V o l 。 13 N o 。 4 ( I ) J u l y i , 9 1 有限长悬板受力弯曲的解析法 罗 铭” 朱 孝禄 ` 摘 要 : 推导 了有限长悬板 在任意 点受 力弯曲的精确解 计算公 式 , 为惫板理 论确定轮齿 齿根 弯矩提 供了 较理想值 。 它可以取代传统 的半经验 方法— 矩象叠加法 。 关健词: 悬 臂板 , 解析法 , 齿根 弯炬 , 矩象 叠加 祛 A n A n a l y t i e M e t h o d t o D e t e r m i n e t h e B e n d i n g M o m e n t o f C a n t i l e v e r P l a t e L o M i n 夕 二 Z h “ X i a o l u , A B S T R A C T : T 五1 5 p a p e r g i v e s a n a n a l j t i e tn e t h o d t o d e t e r m i n e t h e b e n d i n g m o m e n t a t t h e r o o t o f t h e g e a r t e e t h w h i e h m a y b e l o o k e d u p o n a s a e a n t i l e - v e r p l a t e w i t h f i n i t e l e n g t h a e t e d b y a e o n e e n t r a t e d l o a d a t a r b i t r a r y p o i n t o f t h e p l a t e f a e e · T h e a n a l v t i e m e t h o d e o n s i s t s o f t h e s u p e r p o s i t i o n o f s i x c a s e s o f p l a t e 一 b e n d i n g r e s u l t s w h i e h 1 5 m o r e a e e u r a t e t h a n t h e t r a d i t i o n a l m e t h o d 一一 t h e m o m e n t 一 i m a g e m e t h o d 。 K E Y W O RD S : t h e e a n t i l e v e r p l a t e , t h e a n a l y t i e m e t h o d , m e t h o d o f s u p e r p o - s i t i o n , t h e 功 o m e n t a t t h e r o o t o f t h e g e a r t e e t h , t h e m o m e n t 一 i m a g e m e t h o d 悬板法分析齿轮轮 齿的 弯曲强 度过程 中 , 齿根处的 弯矩 确定方法非常重 要 。 1 9 6 0年 E . J 。 韦劳厄采用矩象叠加法 , 在无 限长悬板研 究的基础上 , 分 析了轮齿在受力 后的齿根弯矩分布状 1 99 0 一 0 1 一 15 收稿 机械 系 ( D e P a r t m e n t o f M e e h a n i e a l E n g i n e e r i n g ) 华 东冶金学 院 ( E a s t C h i n a I n s t i t u t e o f M e t a l l u r g y ) 3 4 2 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1991. 04. 028
况，取得了与实验基本上一致的工程实用结果1门。然而矩象叠加法从数学观点看很不严密， 仅仅是一种半经验方法，且由于载荷的分布规律和处理分布载荷的方法不同，使其在应用上 存在不同程度的误差。本文从弹性力学经典理论入手，借助广义简支边概念，运用叠加法， 推导了有限长悬板弯曲问题的精确解计算公式，从而为悬板理论确定齿根弯矩提供了较理想 值。本文通过分析比较，核验了传统的矩象叠加法，指出了其适用范围。作者认为：在悬板 理论中用本文方法取代矩象叠加法，所确定的齿根弯矩分布状况将更切合于实际。 1悬板弯曲的解析法 设一有限长悬臂板（图1），y=0边固定，x=0、x=a及y=b三边自由，板面上任意点 (5,)作用有集中载荷P。 于是，板的挠度w需满足偏微分方程〔2)： +20”+8y四=P6,y 8w ax2ay2+ y= D (1) 式中 1x=5,y=0 6(x,y)=} D= Eh3 0其它 12(1-42) D为板的刚度；h为板厚； E为材料弹性模量；μ为泊松比。 板的边界条件需满足： (1)固定边斜度为零 ay-。=0 (2) 图1有限长悬臂矩形板 Fig.1 Cantilever rectangular plate with (2)自由边剪力为0 finite length =-D〔3+(2-e）2〕：-0 (3) ,）=-D〔+(2-)〕=0 (4) 板的自由角点支反力需满足： 0 载荷不作用在角点 (R)3=2D1-(axy）=p 02 (5) 载荷作用在角点 因此所讨论的问题归结为在满足上述微分方程、边界条件及角点条件的前提下，求解有 限长悬板受集中载荷作用的弯曲问题。 采用叠加法求解，叠加成分有6个： 343
况 , 取得了与实验 基本上 一致 的工程实用 结果“ ’ 。 然 而矩象叠加法从数学观 点看很不严密 , 仅 仅是一种半经验方法 , 且 由于载 荷的分布规律和处 理分布载荷的 方法 不同 , 使其在应用上 存 在不同程度的误差 。 本文从弹性力学经典理 论人手 , 借助 广义简支边概念 , 运 用叠加法 , 推导了 有限 长悬板 弯曲 问题的 精确解计算公式 , 从而 为悬板理论确定齿 根弯矩提供了较理想 值 。 本 文通过分 析 比较 , 核验了 传统的 矩象叠 加法 , 指 出了 其适用 范围 。 作者 认 为 : 在悬板 理论 中用本文 方法取代矩象叠加 法 , 所确定 的齿 根弯矩分 布状况将更切 合于 实际 。 1 悬板弯曲 的解析法 设 一有限长悬 臂板 ( 图 1 ) , 夕 二 0边固定 , 二 = O 、 x 二 a 及 y 二 b三边 自由 , 板面上 任意点 ( 右 , , ) 作用 有集 中载荷尸 。 于 是 , 板的 挠度 。 需满足偏微 分 方程 〔 “ 〕 : 3 峨切 _ a 4功 a 4 功 丽 ` + “ 淤石歹乏 与歹犷 二 P d (义 , y ) D ( 1 ) 式 中 J ( 劣 , y ) 二 x = 言 , y = 叩 D 二 其它 E h 3 1 2 ( l 一 声 “ ) 刀为板的刚 度 ; h 为板 厚 ; E 为材料弹性模 量; 拼为 泊 松比 。 板的 边界 条件需满 足 : l( ) 固定 边斜度为零 (等) , . 。 一 。 ( 2 , ( 2) 自由边剪力 为 。 图 1 有限长悬 臂矩 形板 F 19 . 1 C a n t i l e v e r r e e t a 众 g u l a r P l a t e w i t h f i n i t e l e n g t h ( F 二 一 。 〔鄂 + ` 2 一 “ ’ a 3切 a二 a y Z 〕 二 一 。 = 0 ( 3 ) (犷 二 一 D r 卫迎 气 a V 3 y 3 + ( 2 一 声 ) a s 功 a y a戈 2 〕 , . ` “ ” ( 4 ) 间ù 户净 板 的 自由角点支反 力需满足 : ( R ) 歇急; 。 , _ 一 、 , 0 = 2 。 (卜 ; , (嵌毒 ~ 一 从、 . 。 = l , 载荷不作 用在 角点 载 荷作 用在角点 ( 5 ) 因此所讨论 的 问题归 结 为在满足 上述微分方程 、 边界条件及 角点条件的 前提 下 , 求 解有 限长悬板受集 中载荷作 用的 弯 曲问题 。 采 用叠 加 法求解 , 叠加成 分 有 6 个 : 3 4 3
(1)矩形板（图1），4边简支，板上任意点(5，)作用集中载荷P。 这时板的挠度w可表示为双重级数形式 πG π0 m元￥. 1πy 元abt32. w=p sin- bsin a sinb ,m2i2 (6) a+6）2 (2)矩形板（图1），3边简支，而y=边广义简支。广义简支概念3：该边挠度ω卡 0,而弯矩M=0。故设y=b边挠度为： 式中a.为待定系数。 这时板面挠度w可表示为： -月。〔(1品a+a)h-罗ch学〕n (7) (3)矩形板（图1），3边简支，而x=a边广义简支。设x=a边挠度为： w..in 式中b,为待定系数。 这时板面挠度w可表示为： =l名.〔(+8hA,)shg-gch〕sin (8) (4)矩形板（图1），3边简支，而×=0边广义简支。设x=Q边挠度为： ().=c,sia 式中c,为待定系数。 这时板面挠度w可表示为： =e〔(12是，-ch,）sg-答h6 +ch+,"ch,ch〕sinizy (9) 2 (5)矩形板（图1），4边简支，沿y=0边作用分布力矩。设y=0边分布力矩为： 344
1( ) 矩形板 (图 1 ) , 4 边简支 , 板上任意点 ( 亏 , 劝 作用集 中载荷 P 。 这时板的挠度 功可表示 为双重级 数形式 4尸 汀 ` a b 口 . 爪军 言 . 1万 专 5 I n 一万一 “ I n 一下 ~ m 汀 x . 口 汀少 s ` n 一云一 “ i n l 厂 ( 6 ) 。 习ù “ 名ō ( 2) 矩形板 ( 图 1 ) , 3 边简支 , 而 y = b边广 义简支 。 广义简支 概念 〔 “ “ : 该边 挠度 。 斗 o , 而 弯矩 M = 0 。 故设 夕 = b边挠度 为 : ` “ 一 习 优 汀 X 口 . S i n — Q 式 中 。 。 为待定系数 。 这时 板面 挠度 。 可表示 为 : 刀 = 甲 a 。 ( 1 一 群 ) Z s h a 〔 2 1 一 那 \ , 川 汀 V m 万 V . 优 汀 V 、 . m 万 劣 + “ . c l a . 夕s n 一下二 一 一一 ; 了一 c n 一一下万一 ! s l n — I 口 口 O 口 . 户 a ( 7 ) (3 ) 矩形 板 ( 图 1 ) , 3 边简支 , 而x = a 边广义简支 。 设 , 二 a 边挠 度 为 : * / 一 烈 “ ` 5 , · 竿 式 中b ` 为待定系数 。 这时板面挠度 , 可表示 为 : ? 二 平客命以青 · “ , 。 h ” ` ) s h竿 一 孚 · h等〕 5` · (4 ) 矩形 板 ( 图 l ) , 3 边简支 , 而 x = 。边广义简支 。 设 x = Q边挠度为 : b ( 8 ) ( 。 ) 二 。 = 云 c ` s ` n 匹卫 b 式 中 c , 为待定 系数 。 这时板面挠度 。 可 表示为 : = 郭 〔( 一 寻 韶拭一 hct “ ` )sn 竿 一 号 竿 h等 + · h `丫一 孚 一 子 · t h刀“竿 。 h 兰竿〕 · ` · 竿 - ( 9 ) (5 ) 矩形 板 ( 图 1 ) , 4 边简支 , 沿 y 二 0边作用分布力矩 。 设夕 二 0 边分 布力矩 为 : 3 4 4
M(x)=∑E.sinm* 式中E.为待定系数。 这时板面挠度四可表示为： ws、 (- 4。 Dx2 。一shmy_may shmay sh2a a cha mzy chmay sinmzx (10) a a (6)由于上述5部分均为角点被支承状态，要使叠加结果与悬板完全相同，则必须保证 两角点(a,b)及(0，b)为自由状态，故需要叠加第6部分：假设板面有一刚性位移。 这时板面挠度w可表示为： w=k1y+k2xy=y(k +k2x) (11) 式中k:,k2为待定系数。 2叠加求解过程 上述6种矩形板的叠加结果与矩形板悬臂支承的弯曲问题完全等效。通过叠加式(6)、 (7)、(8)、(9)、(10)及式(11)，可以得到悬板板面任意点(x,y)的挠度四的表达式。于是 (1)根据边界条件 (）-0=0,有 -贤(aa）-gwm2C2 (m+) 28)+安品（品.） 6 _cosm-1 k1a cosm k2a2 m2 m2 sha.6-》sinm5 -(合)〔ha.-.-0ha-2〕n a 6 m3sha。 (12) 345
M ( “ ) = 习 E , s , n 沉汀 义 a 式 中E 。 为待定系数 。 这时板面 挠度 。 可 表示为 : a 么 、 , 功 二 下万下一下厂 2 , 乙 夕了 “ 二丁 . 异 ( - J` . 、 a . s h Z a 。 , h竺匹里- a 塑三艺 s h竺竺兰 Q a m 军 y , m 军 y 、 . 幼 了工 译 c n “ 。 — c n — 夕 5 I n — 一 口 a I a ( 1 0 ) ( 6) 由于上 述 5 部分均为 角点被支承状态 , 要使叠 加 结果与 悬板完全相同 , 则 必须 保证 两角点 ( a , 的 及 ( 0 , 的 为 自由状态 , 故需要叠加第 6 部分 : 假设板面有一刚 性位 移 。 这时板面挠度 。 可 表示 为 : 。 二 k l y + k Z x y = y ( k , + k Z x ) ( 1 1 ) 式 中k , 、 k : 为待定 系数 。 2 盈加求解过程 上述 6 种矩形 板的 叠加结果与矩形板 悬 臂支承的 弯曲问题完全等效 。 通过叠加 式 ( 6 ) 、 ( 7 ) 、 ( 8 ) 、 ( g ) 、 ( 1 0 ) 及式 ( 1 1 ) , 可 以得到 悬板板面任 意点 ( 二 , 夕 ) 的挠度。 的 表达式 。 于是 ( 1 ) 根据边界条件 l a 功 、 _ 一 气丽 ) 一 。 二 ” , 月 , 、 万 a . 1 1 十 封 . , 、 a 又1 一 拼 ) — 一二产 , 一一 砚二, 一一一 一 + a o c t n a . l 一 -丁一 c o s m 万 4 s n a 。 \ 1 一 产 , O “ ` 〔荟 + ( 2 一 川 子〕 . J , , ’ 气万万一 十 下厂 ) 习 a 、 , 、 C ; 十 丁自了 尸 m Z _ 、 a Z 、 L -了厂 , 十 ( 艺 一 声 少丽J (荟+ 矛 ~ 1 a Z E . -t 一 — 一 4 汀 D 典 ( 爪 “ \ e t h a 。 一 a 。 s h Z a 。 e o s m 万 一 l m 2 k z a C O S 协 万 阴 2 k : a Z 万 尸a Z 汀 Z D a 二 ( 6 一 刀) _ , _ 拼 万 雪 , 、 一 _ _ 矛 l _ 、 , , 、 _ S U 一一 — ~ 面一— - 一 5 1 1 — I _ 1 、 r , _ , L ~ “ . L o 一 1 ) _ , ` 。 . 仁O 一 即少 、 o 。 . 一 — , . 吸币 ~ L ` l i l j 一 — — L ` 1 1 一 . 一 \ 2 , 、 ’ ` 二 O 吞 尸 m 3 s h a . ( 1 2 ) 3 4 5
式中：m=1,2,3… (2)根据边界条件 ),=-D〔+(2-=0，有： 1-)rg(+ctha..+品a。） -r(告）a2 cosin -1兰52ma.(1+i+片a.cha.） 2T D -a-(a.a.学g+品。） Pa2 m3sham (13) 式中：m=1,2,3… (3)根据边界条件 (,=-D〔3四+(3-0-】=0，有： a.cosm (1-u)"cosi)cthm +牙-(8)'，(*ch6,+a.） +牙a-w(8）'e(++B.h8,）, 会管台8哈 器（传（等华）管学 (14) 346
式中 : m = 1 , 2 , .3 “ ’ ” ( 2 ) 根据边 界条件 ( 。 户 , . 。 一 ” 〔 a 3 功 a 乡 , 3 + ( 2 一 产 ) a 3切 a y a x Z〕 二 0 , 有 : 少 . 6 ( 1 一 川 : 。 李 ( 乙 、 3 + P e t h a , + 0 . 1 声 产 s h Z a , ) 一 2 ( 1 一 川 么 3 。 。 s m , 云 。 C O S 忿汀 . 1 + 2 ( 1 一 声 ) 艺 3 分 C O S I万 、、.2 ` a 、、1. 一。 a 一 `了.、、Z 、 1 一 产 1 + 产 a 。 e t h a 。 ) 十 , 1 .J、了 , 1 十 产 衅 E 二 1 2 万 D 沉 “ s h a 。 碑一b P a Z 一 汀 Z D `’ 一 “ , ( ( a . e t h a 一 口 , 刀 6 e t h 玉竺 + b 2 1 一 产 ) s h 竺 . m 万 毋 S l n 一 a 沉 3 s h a 。 ( 1 3 ) 式中 : m 二 1 , 2 , .3 · … ( 3 ) 根据边界 条 件 . 盆 、尸. ( F 二 ) = 一 D 十 ( 2 一 拼 ) = 0 , 有 : 苦 曰 . 口 〔 J 3功 a 劣 3 a 3脚 a x a y Z 一 ( 1 一 。 ) , 。 。 , `二 名 a , c o s 爪 万 价 一 1 ( b 2 . ~ - ~~~ ~~ 目 . . , . . , , ~ , ~ 目, . . , , 人 2 ` 2 、 2 a 2 f Z 、 十 吧一不产 , 功 ` I e t h m + 斗 ( l 一 。 ) , 4 3 ” ! ( 一 了杏箭 · ` h ” ` 十 一 釜厂 ) ” 一 (号 + ” ! · , h” ` ) 一渝 - 、 口. 了f 、 a 产、夕 一。 z 。 口.、 ` 加`、了. + 粤 ( i 一 。 ) ’ 住 + 口 2 D E , e o s m 汀 尸 6 忍 了一 升 一 下不厂 十 “ ` 、 口 “ ` 2 ( 黑 十 共 ) 习ù 一执 ( 2 一 拼) 而了 〕 1一í P a “ 1 一 拼 i a \ l 。 一 , : n 一 甲, 下尸 于犷一 — t ~ , r 一 夕 t 尸 官 “ 1 1 尸 汀 妇 2少 么 、 O / 、 一 卫道 。 t h 刀 ` 右 . 2 、 一 十 — . a l 一 拼 , , 刀 ` 右 . 1二 , s h 仁二 2 ` s i a J n 二二于上 “ ` b 1 3 s h月 ` ( 1 4 ) 3 4 6
式中：i=1,2,3… (4)根据边界条件 w。-D〔8+(2-32〕.=0 有： -(1-cosis m(8+） +牙1-u)(8）'6.(t壮）+月.eth0,s品 -子1-四（分）c:(±ch,+) =g0(-12）(8)(Beh-Ba:ca a shB,(a-S2)sini》 b (15) i3shB: 式中：i=1,2,3… (5)根据自由角点条件 (R-2D-(）w- 0 载荷不作用在角点 载荷作用在角点 有： me.eosr(s品a.++ctha） +026ei(}牛ch,+品） -82e,g8T(共片+BehB.） -w分县器ata-0+g 1. 2 x(1-μ)元 6sinπ 22(aag)竖 -cosma sha (16) 347
式 中 : i = 1 , 2 , .3 ” … ( 4 ) 根据 边界 条件 ( 犷 , ) = 一 D 二 一 0 〔 a s 功 a x 3 + ` 2 一 ; , 斋〕 : _ 。 = 。 有 : 一 ( 1 一 拜 ) “ e o s i ( b 2 下 -, Q 爪 汀 , — ` ` — 一 二石 ` 一不 `` 叫 J l 户1 ` , ` 、 ` — . 一 1 优 a 2 f Z \ + , , 厂 夕 ,刀 ` I 一`、了. 口 一OLJ 一. 一1 ` h ùS ù 卜 一 . . `一ljO . + 粤( , 一 ; ) 2 吸 (令 ) ’ “ ` (书合) + 刀 ` e t h刀 ` 汀 4 `’ 一 “ , “ ( 一言 一 ) 3 。 ` ( 鱼土卫 e t h 月 ; 1 一 p + 刀 s h Z + 1 1 2汀 2 : 习 O 2 _ 产 b Z 也 ’ _ . 一 -二~ ` 、 Q ` + ( 2 一 拌 )奈〕 刀 州 一 1 / b 2 . 1 2 \ 2 ,刀 . — 十 — , 、 八 艺 . , 门 艺 I 、 几 j 奋 J 母 , = 黔 ( 卫 , 子 . ) ( 会) ( ” ` 。 t h ” 刀 ` ( a 一 雪) a 。 t h尽丈夕二 _ 臼 s h 刀 ` ( a 一 雪) 一 5 l fl i 汀 刀 2 \ 十 — 口 1 一 拜 / a Ob ( 1 5 ) f ” s h 刀 ` 式 中 : i ( 5 ) = 1 , 2 , .3 “ … 根据 自由角点条件 0 P 载荷不作 用在角点 除 载荷作 用在角点 `“ ’ `一 ) 一 ZD “ 一 ; , ( a Z切 a劣 g y 、、了. E a ` h 生L 有 C : 习 m Z 用 一 1 , a _ a o c o s 阴 汀 吸一 - -不几二 , + 、 S n “ “ 爪 1+ 拼 1一 鲜 + 卫 丫 _ b Z 乎升砚 ` 2 “ , c :.r `” ( 1 + l乙 1 一 拌 。 t h刀 ; + 一卫止 _ 、 s h “ 万 ; / 护 护带习1 Z e C O S忽军 s h声 ` ( 1 + 解 1 一 拌 + , ` c t h , ; ) 1 汀 “ ( 1 一 拼 ) a 2 D E 二 e o s优 万 s h a , ( 。 。 。 t h a 二 一 1 ) + 丛只乡 汀 2 ( 1 一 拌) 尤 尸 a Z 万 Z D 2 ( 1 一 拼) 万 二 1 ( a , e t h a , 一 口 。 甲 b _ 、 . s h _ 冬 L “ 。 V 、 1 L 礼 1 1 - 二 se se 一 , — 一 台 I 从 a 。 刀 . 一 , 切 万亡 百 - 一 ” I n — C O S 从 汀 口 s h a , 。 ù习 。 ( 1 6 ) 3 4 7
当载荷作用在角点(a,6)时，上式右边加上一项Pa 1 π2D(1-u)2 (6)根据自由角点条件 (R)n=2D1-p(3）y={ 0 载荷不作用在角点 载荷作用在角点 有： +8月6，(+fehA,） -82eeos(芒chf,+品） 52E2-(a.ctha.-1)+, 2 -2(1-u)D台sha。 x(1-4)7 PDa-2)元2(a.ctha.-ach）上sh》sim"a sha. (17) 当载荷作用在角点(0,6)时，上式右边加上一项P,一1 π2D（1-4)2。 联立求解上述6组方程(12)、(13)、(14)、(15)、(16)及(17)，可以确定待定系数am、 b:、c,、Em、k,、k2,从而计算出各自由边挠度及固定边弯矩值，进一步还可以获得板面任 意点(x,y)的挠度值。因此有限长悬板受力弯曲问题可以通过求解一组无穷联立方程解 决，这组无穷联立方程求解可以在微机上用一个不复杂的程序实现。需要指出的是a、b:、 c4、Em为正弦级数的待定系数，理论上有无穷项，但根据试算和分析〔3)，每组系数取至25 项，计算结果具有足够的精度。 计算举例：一悬臂矩形板，a=b,4=0.3,集中力P作用在自由边y=b的(3a/4,b)处， 计算得到固定边y=0上的弯矩值见表1。 表1固定边各点弯矩值M(x) Table 1 The moments M(x)at the fixed edge 0.125a 0.25a 0.375a 0.5a 0.6254 0.75c 0.875a 本文方法 -0.715P -0.934p -1.017p -1.107P -1.182p -1.227n -1.298P 有限元法 -0.7106P -0.9026P -1,104P -1.249P 作为核验，计算固定边的总弯矩： M=∫M)=∫月B.sinm4x-09g9Pa 348
、 , , 二 、 ~ , . 。 、 , 卜 , 。 、 , 。 , 一一 , 二 -J _ , 、 P a 2 1 习 软何 T卜用 位用 息 气a , U , 阴 , J 二八 拍 双那 」二一刁滚二丁矿 六 万一 一一下不厂 孙 一 L, 气 1 一 井 ) - (6 ) 根据 自由角点 条件 a Z功 a x a y 载荷 不作 用 在角点 载荷作 用在角点 尸0 ( R ) ( 。 , 。 ) = Z D ( i 一 I , ) 习 m , a 1 + 鲜 1 一 I 布 e t h a 。 十 s h Z a 。 全 ` 2 , ` C O S名万 s h声 (令雏一 “ , c , h刀 ` ù + 一 1护 卫二 p b Z 乡甲 ` ’ 亡 ` C O s `“ ( 1 + 拼 1 一 拼 c t h声 ; + 声 ` s h “ 声 ` 汀 2 ( 1 一 林 ) 昔身 E 。 s h a 二 ( a 。 e t h a 。 一 1 ) + k Z a Z 万 2 ( 1 一 拼 )汀 习ù 尸 a 么 2 了 Z D ( 1 一 川 汀 a o c `“ “ 。 一 竿 · , h丫 )食 , a , 勺 . s m 汀 亡 n 一 L 一 5 I n — U “ s h a 二 ( 1 7 ) 当载荷作 用在角点 ( 0 , 的 时 , 、 。 _ , 、 J _ _ : ~ 尸a 2 1 匕 式巾 思那 上一狈万厄刀 ( 1 一 川 ’ 。 联立求解上 述 6 组 方程 ( 1 2 ) 、 ( 1 3 ) 、 ( 1 4 ) 、 ( 1 5 ) 、 ( 2 6 ) 及 ( 1 7 ) , 可以 确定待定系 数 a . 、 c ` 、 E 。 、 k , 、 k : , 从而 计算出各 自由边 挠度及固定边弯矩 值 , 进 一步还可以 获得板面任 机妹 意 点 ( ` , y ) 的挠度值 。 因此有限长悬板 受力弯曲向题 可以通 过求解 一组 无穷 联 立 方 程解 决 , 这 组无穷联 立方程求 解 可以 在微机上用 一个不复杂 的 程序 实现 。 需要 指出的是 a 二 、 b 、 、 c , 、 E . 为 正弦级数的 待定系数 , 理论上 有无 穷项 , 但根 据试算和分 析 〔 “ ’ , 每组系 数 取 至 2弓 项 , 计算结果 具有足够的 精度 。 计算举例 : 一悬臂矩形板 , 。 二 b , 料 = 0 . 3 , 集 中力 尸作用 在 自由边 y 二 b 的 ( 3 a / 4 , b) 处 , 计算得到 固定边 y = 。上的 弯矩值见 表 1 。 表 1 固定边 各点 弯矩 值 M x( ) T a b l e 1 T h e m o m e n t s M ( 劣 ) a t t h e f i x e d e d g e 0 。 1 2 5 a Q 。 2 5 a 0 。 3 7 5 a 0 。 5 a 0 。 6 25 ` 0 。 75 a 0 。 8 75 a 本文方法 有 限元法 一 0 。 7 1 5 P 一 0 。 7 1 0 6 P 一 0 。 93 4 P 一 0 。 9 0 2 6 P 一 1 。 o l 7 P 一 1 。 1 0 7 尸 一 1 。 1 0 4 P 一 1 。 1 8 2 P 一 l 。 2 2 7 P 一 1 。 2 4 9 r 一 1 。 2 98 P 作 为核验 , 计算固定边 的总弯矩 : 二 二 { “ 。 ( 二 ) J 二 二 ` { ` 交 二 , 5 i n : , “ (l 二 一 。 。 。 9。 P a J 0 J o 厂二 . z a 3 4 8
可见误差仅为0.1%。 本文对任意点受集中力的有限长悬板弯曲问题的解法极易推广到任意载荷分布的情形， 例如板面上承受线分布载荷情形。 用悬板理论分析齿轮弯曲强度时，轮齿简化为悬臂板。于齿轮啮合传动中轮齿间载荷 大都呈线分布，且因偏载现象会导致载荷分布不均，因此用本文方法研究轮齿受载后齿根的 弯矩分布更切合实际。 本文分别用解析法和矩象叠加法计算了3种有限长悬板在不同点作用集中载荷P时固定 边的弯矩值，并对结果进行了分析比较。 (1)悬板长宽比a/b=2,取载荷作用点分别位于(0，b)、(0.25a,b)及(0.Ga,b)3 点，计算结果见表2。 (2)悬板长宽比a/b=4,取载荷作用点分别位于(0，b)、(0.25a,b)及(0.5a,b)3 点，计算结果见表3。 (3)悬板长宽比a/b=b,取载荷作用点分别位于(0，b)、(0.25a,b)及(0,5a,b)3 点，计算结果见表4。 表2固定边弯矩值(a/b=2) Table 2 The bending moments of the fixed edge (a/6=2) z/a 载背点 1/4 1/2 3/4 如象叠加法 0.780P 0,410 0.182 本文测定值 (0,b) 0.7620 0.3843 0.2009 误差 -2,4% -6.7% 9.4% 矩象叠加法 0.714 0.481 0.242 本文测定值 (0.25a,b) 0.7447 0.5412 0.3329 提整 4.2为 11,1% 16.2% 矩象叠加法 0.481 0.583 0,481 本文涮定值 (0.5a,b) 0.5595 0.6550 0.5595 误差 14.0% 11.06 14.0% 表3固定边弯矩值(a/6=4) Tablc 3 The bending moments at the fixed edge (a/b=4) x/a 载荷点 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 矩象叠加法 0.780P 0.410 0.182 0.074 本文测定值 (0,b) 0.7990 0.5143 0.1697 0.053 误老 2.4% 20.3% -7.2% -40.0% 矩象叠加法 0.481 0.546 0.390 0.205 0.091 本文测定值 (0.25a,) 0.5710 0.6249 0.4237 0.1931 0.090 误差 15,7% 12.6% 7.9% 6.2% -1.6% 矩象叠加法 0.091 0.2U5 0.390 0.509 0.390 0.205 0.091 本文测定值 (0.54,b) 0.1013 0.2091 0.3923 0,5130 0.39230.2091 0.1013 误差 10,2% 2.0% 0.6% 0,8% 0.6% 2,0% 10.2% 349
可见误差仅为 0 . 1 % 。 本文 对任意 点受集 中力 的有 限长悬板 弯 曲问题的 解 法极 易推广到 任意 载荷分布的 情形 , 例如 板面上承 受线分 布载荷情形 。 用悬板理论分 析齿轮 弯 曲强 度时 , 轮齿简化为悬 臂板 。 由于 齿轮啮合传动 中轮 齿 间载荷 大都呈线分布 , _ 巨因偏载 现象 会导致 载荷分布 不均 , 因此用 本文 方法研 究轮齿受载 后齿根 的 弯矩分布 更切 合实际 。 本文分 别 用解析法 和矩 象 叠加 法计算了 3 种 有限 长悬 板 在不同 点作用 集中载荷 尸时 固定 边的弯矩值 , 并对 结果进 行 了分析比较 。 (1 ) 悬 板长宽 比 a/ b = 2 , 取载荷作 用 点 分别 位 于 ( 。 , b) 、 (0 . 2 5 a , b) 及 ( 。 . 沁 , 句 。 点 , 计算结 果见 表 2 。 ( 2 ) 悬板长 宽 比 a / b 二 4 , 取载荷作 用点分别 位 于 ( o , b ) 、 ( o . 2 5 a , b ) 及 ( o . s a , b ) 3 点 , 计 算结 果见 表 3 。 ( 3 ) 悬板 长宽 比 a / b 二 b , 取载荷 作 用 点 分别 位于 ( o , b ) 、 ( o . 2 5 a , 6 ) 及 ( 0 . 5 。 , b ) 3 点 , 计算结果见表 4 。 表 2 固 定边弯矩值 a( Zb = 2) T a b l e 2 T h e b e n d i n g m o m e n t s o f t h e f i x e d e d g e ( a 了` = 2 ) 口 . 四臼臼 叨. “ 曰` ~ . . . . . ~ - . . ~ 一 一 一一一- . 一 . . . . . . . . . . . . . 二 / a 载荷点 1 / 4 1 / 2 3 /连 矩象叠加法 本文 测定值 误 差 矩象叠加法 本文 测定值 误 差 矩象叠加法 本文 测定值 ( 0 , b ) 7 8 0尸 7 6 2 0 ( 0 。 2 5 a , b ) ( 0 . s a , 乙) 一 2 . 4% 0 。 7 1 4 0 。 7 44 7 4 。 2 % 0 。 4 81 0 。 5 5 9 5 0 。 4 1 0 0 。 38 4 3 一 6 。 7 % 0 。 4 8 1 0 。 5 4 1 2 1 1 。 1 写 0 。 5 8 3 0 。 6 5 5 0 0 。 1 8 2 0 。 2 0 0 9 9 。 4 % 0 。 2 42 0 。 3 32 9 1 6 。 2 % 0 。 4 8 1 0 。 5 5 9 5 误 差 1 4 O% 。 0 % 1 1 。 0 乡百 1 4 。 O肠 一 一一一- 二 一 古 一 , 一 - 一 . . . . . . . . . . . . . . . . . 侧. . . . . . . . 曰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 表 3 固 定边 弯矩值 ( a/ b = 4) T a b一。 3 T h e b e n d i n g m o o e n t s a t t h e f i x e a e d g e ( a / b = 4 ) . J ~ .曰 . 曰 一一 一一- 一 一一 一 . . . . . ` . . ~ 叉 / a 载荷点 - - - - 一 - - - - - 一 - - - - 、 - - - - 一 一 一 - - - - — 一 - 1 一 / 8 1 / 4 3 / 8 1 / 2 5 / 8 3 / 4 7 / 8 矩象 叠加 法 0 . 78 0 P 0 . 峨1 0 0 。 1 8 2 0 . 0 7 4 本文 测定值 ( 0 , 石) 0 . 7 9 9 0 0 . 5 1 4 3 0 . 1 6 9 7 0 . 0 5 3 误 差 2 。 4 ;百 2 0 。 3% 一 7 。 2 % 一 4 0 。 0 % 矩象叠加法 0 。 4 8 1 0 。 5 4 6 0 。 3 9 0 0 。 2 0 5 0 。 0 9 1 本文 测定值 ( 0 . 2 5 a , l) ) o 。 5 7 1 0 0 。 6 2 4 9 0 . 4 2 3 7 0 . 1 9 3 1 0 . 0 9 0 误 差 1 5 。 7 % 12 。 6% 7 。 9 % 6 。 2 % 一 1 。 6 % 矩象叠加法 o 。 0 9 1 0 。 2 0 5 0 . 3 9 0 0 . 5 0 9 0 一 3 9 0 0 . 2 0 5 0 . 0 9 1 本文测定值 ( 0 . 5 a , b ) o 。 2 0 1 3 0 。 2 0 9 1 0 . 3 92 3 0 . 5 1 3 0 0 。 3 9 2 3 0 . 2 0 0 1 0 . 1 0 1 3 误 差 1 0 。 2% 2 . 0 % 0 。 6% 0 . 8% 0 . 6肠 2 . 0 % 1 0 . 2 % 3 4 9
表4固定边弯矩值(a/b=4) Table 4 The bending monents at the fixed edge (a/b=4) x/a 载荷点 1/12 1/6 1/4 1/35/12 1/27/122/33/45/6 矩象叠加法 0.781P0.410 0.182 本文测定值 (0,b) 1.40080.5134 0.1168 误差 44.2%22.0% -55.8% 矩象叠加法 0.2420.390 0.5090.3900.2050.0190.037 本文测定值 (0.25a,b) 0.17970.40650.51370.39290.20710.09130.0383 提差 -34.7%4.1%0.9%0.7%1.0%0.3%3.0% 矩象叠加法 0,0370.0910.2050.3900.5090.3900.2050.091 0.037 本文测定值(0.5a,6) 0.02320.09740.19810.39040.50930.39040.19810.09740.0232 误差 -59.2%6.6%-3.5%0.1%0.06%0.1%-3.5%6.6%-59.5% 分析上述结果： (1)随悬板长宽比及载荷作用位置不同，矩象叠加法结果存在不同程度的误差。 (2)当载荷作用在板中央时，悬板长宽比越小，矩象叠加法误差越大；反之，悬板长宽 比越大，矩象叠加法误差越小，当āb值大于6时，误差可忽略不计。 (3)当载荷作用在板的一端时，悬板长宽比越小，矩象叠加法误差越小，反之，悬板长 宽比越大，矩象叠加法误差越大。当a/b值大于5时，几乎不能用矩象叠加法来确定悬板固 端弯定矩值。 (4)用矩象叠加法所得结果较解析法计算值偏小。 4结 论 (1)解析法可以求解有限长悬板在任意载荷作用下的弯曲问题，精度高，求解方法简 单。 (2)解析法可以取代齿轮弯曲强度分析中悬板理论的矩象叠加法，由于轮齿载荷分布不 同以及齿高与齿宽比值较小，用本方法确定齿根的弯矩分布更切合实际。 (3)解析法基于克希霍夫薄板理论，对于工程计算，其结果具有足够精度。但欲更精确 地分析齿轮齿根应力状况，尚需进一步应用考虑横向剪切变形的厚板理论。 参考文献 1 Wellauer E J,Serieg A.J Engi Ind,Augest,1960,9:213-222 2 Timoshenko S.Theory of Plates and Shell,McGraw-Hill Book Com- pany Inc.,New York:1940 3张福范。弹性薄板，北京：科学出版社，1984， 350
表 4 固 定边夸矩值 a( / b = )4 T a b l e 4 T h e b e n d i n g m o n e n t s a t t h e f i x e d e d g e ( a / b = 4 ) 二 / a 载荷点 l / 1 2 1 / 6 1 / 4 1 / 3 5 / 1 2 1 / 2 7 / 1 2 2 / 3 3 / 4 5/ 6 矩象叠加法 本文 测定值 误 差 矩象叠加 法 本文测定值 误 差 矩象叠加法 本文测定值 误 差 ( 0 , b ) ( 0 。 2 5 a , 石) ( 0 。 s a , b ) 0 , 78 1 P O 。 4 1 0 0 。 1 8 2 1 。 4 0 0 8 0 。 51 3 4 0 。 1 1 6 8 4 4 。 2% 2 2 。 0% 一 5 5 。 8 % 0 。 2 42 0 , 3 9 0 0 。 5 0 9 0 . 3 9 0 0 。 2 05 0 。 01 9 0 . 0 3 7 0 。 1 7 9 7 0 . 4 0 6 5 0 。 5 1 3 7 0 。 3 9 2 9 0 。 2 0 7 1 0 。 09 1 3 0 。 03 8 3 一 3 4 。 7 % 4 。 1 纬 O 。 9 % O 。 了% 1 。 O% O 。 3 % 3 。 O% 0 。 0 3 7 0 。 0 91 0 。 2 0 5 0 。 3 90 0 。 5 0 9 0 。 39 0 0 。 2 05 0 。 0 91 0 。 03 7 0 。 0 2 32 0 。 0 9 7 4 0 。 1 9 8 1 0 。 3 9 0 4 0 。 5 0 9 3 0 。 3 9 0 4 0 。 1 9 81 0 。 0 9 7 4 0 。 0 2 3 2 一 5 9 。 2 % 6 。 6 % 一 3 。 5 % 0 。 1 % 0 。 06 写 0 一 1% 一 3 。 5 % 6 。 6 % 一 5 9 。 5 % 分 析上 述结果 : ( l) 随悬板长宽比 及载荷作用 位置不 同 , 矩象 叠加法结果存在不同程度的误差 。 ( 2 ) 当载 荷作用在板 中央时 , 悬板长宽比越 小 , 矩象叠加 法误差越大 ; 反之 , 悬板长宽 比越大 , 矩象 叠加法误 差越小 , 当 a/ b 值大于 6 时 , 误差可忽略不计 。 ( 3 ) 当 载荷作 用 在板 的 一端时 , 悬板长宽比越小 , 矩象叠加法误差越小; 反 之 , 悬板长 宽比越大 , 矩 象叠加法误差越大 。 当 o/ b 值大于 5 时 , 几 乎不能用矩象叠加法来确定悬板固 端弯定矩值 。 ( 4 ) 用矩象叠加法所得结果较解析法计 算值偏小 。 4 结 论 ( 1 ) 解析法 可以求解 有限长悬板 在任意载荷作用下 的 弯曲问题 , 精度高 , 求 解 方 法 简 单 。 ( 2 ) 解析法 可以取代齿轮弯曲强度分析中悬板理论的矩象叠加 法 , 由于轮 齿载荷分 布不 同以 及齿 高与 齿宽 比值较小 , 用 本方法确 定齿根的 弯矩 分布更切合实际 。 ( 3 ) 解 析法 基于 克希霍夫 薄板 理论 , 对 于工程计算 , 其结果 具有足 够精度 。 但欲更精确 地分析齿轮齿根 应力 状况 , 尚需进一步应用 考虑横 向剪切变形 的厚板理论 。 参 考 W e ll a u e r E J , S e r i e g A . J E n g i T i m o s h e n k o 5 . T h e o r y o f P l a t e s P a n y I n e . , N e w Y o r k : 1 9 4 0 张福 范 . 弹 性薄板 , 北 京 : 科学 出版社 , 文 献 I n d , A u g e s t , 1 9 6 0 , 9 : 2 1 3一 2 2 2 a n d S h e l l , M e G r a w 一 H i ll B o o k C o nt - 1 9 8 4 。 3 5 0