Atomic Model for 3-Dimensional Periodic Structure and 12-fold Rotational Symmetry

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1991.03.03M 第13卷第3期 北京科技大学学报 Vol.13 No.3 1991年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 1991 Atomic Model for 3-Dimensional Periodic Structure and 12-fold Rotational Symmetry in Lequan·Vu Yuzhen· ABSTRACT:A VNi atomic model for 3D periodic structure is posed based on T polyhedrons which are introduced.The fourier transform patterns of the ato- mic model may explain the 12-fold symmetry in electron diffraction patterns of V60Ni40 alloy.This is the first satisfactory explaination since the V60Ni40 alloy has been reported.. KEY WORDS:3D periodicity,VNi alloy,12-fold rotational symmetry,quasi- crystal. In April of 1988,H.Chen et al.reported a VNi alloy with twelvefold rotational symmctry.They have pointed out that the VNi alloy is a new type of 2D quasicrystal.Following the discovery,K.H.Kuo et al.2 has proposed. growth models to explain their observations(11.However these models can not explain all the electron diffraction patterns(EDPs)of the V60Ni40 alloy.In this paper,a 3D atomic model with periodicity has been proposed based on so-called T polyhedrons.The Fourier transform patterns (FTPs)of the ato- mic model are remarkable in agreement with all EDPst of V60Ni40 alloy. The atomic composition of the atomic model is also similar to that of the V60Ni40 alloy. The elementary building unit in the model presented here is so-called T polyhedron shown in Fig.1.Distribution of atoms v and Ni in T polyhe- drons has two different ways which are shown in Fig.1.(a)and (b)respe- ctively.In a unite primitive cell (See Fig.2.(a)and (b))of the model, 1990一07-20收篇 ·数力系(Department of Mathematics and Mechanics) 291

第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 。 班 二二二二二二二二二二二二二二三二二二二二二二二二 一 一 牙 “ 犷 之 ‘ 扭 ， 住 。 一 义 ， ， 一 ， 卜 ， ， 〔 〕 丁 了 · 乏 ， ， 。 〔 ’ 见 〔 。 五 。 ， 卜 ， 一 五 五 扭 观 主 呈 五 五 。 五 卜 ， 一 · ， ， 五 。 · 。 。 ， 一 一 收 稿 数 力系 厂 么 王 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1991．03．034

there are 8 T polyhedrons.The mth T polyhedron in the unit primitive cell is denoted by sign C"(1<m<8).The distribution of atoms V and Ni in T polyhedron C,C,Ce,and Cs is the same as that in the T polyhedron shown in Fig.1.(a),respectively.But the distribution of v and Ni in T polyhedron C2,C4,Cs,and C is the same as that in the T polyhedron shown in Fig.1.(b),respectively.Further let sign Co"(1<m58)denote the coordinate of the center of T polyhedron C",and let C。'=(0,0,0),C。2=(a√6+√2)12,0,0)， C,3=(a(√6+√2)/2)，a(√6+2)/2,0)， C。=(0,a(√6+√2)/2,0)， C,5=(0,0,-a4tg),C。s=(a(√6+√2)12,0，-a4tg), C。7=(a(V6+√2)12，a(V6+√212，-a4tg), C。8=(0,a(V6+√2)/2，-a4tg), where a is the radius of the projection circle of T polyhedron (See Fig.1.(c) and Fig.2.)and tg=(v6-v 2 )/4 (See Fig.1.(c)).Again,assume that y (a) ●1 ● ● ● 9.8n 0 a 000 ● 00● 000 0 0 0 000C2 o00 0 ●● 0 (b) ● 0 CE 6) oa● ● ●00t●00●0●0Q,0●00● % (c) 1 0●000●00●000●00●0 C38 0●00.0●00●008.●0●0 ov ●Ni C ●C ●00●●00●0●060●00● Fig.1 T polyhedrons.(a),(b)the two Fig.2 Projetions of a unite primitive different distributions of v and cell:(a)on the x-y planc and Ni atoms in the T polyhedrons. (b)on the x-z planc.(For clarity, (c)coordinate system for T only projections of T polyhedrons polyhedron C1 CI,C2,Cs ana Co are drawn in b).) 292

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C."(1<n<39)to be the coordinate of nth atom in the T polyhedron C".Now C1 can be denoted as follows: C.1=(acos(π(2n-1)/12),asin(π(2n-1)/12),atgp)for1≤n≤12， C.1=(acos(x(2n-1)/12),asin(x(2n-1)/12),-atgφ)for13≤n≤24， C!=(bcos(π(n-1)/6),bsin(x(n-1)/6),(-1)"×atg)for25≤n≤36， C7=(0,0,atg中)， Css=(0,0,-atg). C9=(a(V6+√2)/4，a(√6+√2)/4,0). Therefore when m=3,6,8,C is given by C:=C0+C!for1≤n≤38. But when m=2,4,5,7,C:is given by C:=C。+C!fcr1≤h≤24，n=37,and38: C:=C。+(bcos(r(n-1)/6),bsin(π(n-1)/6),(-1)+1×atgp)for25≤n≤36. On the other hand,the three primitive lattice vectors a1,a2,and as can be written as a1=(a(√6+√2)，0,0)，aa=(0,a(V6+√2)，0)，a3=(0,0,8 xatg).since tg=(v 6 -v 2 )/4,we can see that lail/las=(2+3 )/2, which quantitatively agrees with the result observed in the EDPs!(Sce Fig.1,(b) and(c)in reference 1)of VNi alloy.It can also be found that there are 40x 4 atoms V and 22x4 atoms Ni in a unite primitive cell.Hence the atomatic composition of the model is just V.Ni.1. If the scattering factors of atom v and Ni are denoted by fv and fn respectively,and let a=a=a21,T (h k 1)=(1+(-1)"++(-1)"+!+ (-1)+1),U(hk1)=(-1)*+(-1)*+(-1)'+(-1)++1),P=(V6+V2) 14,Q=(6-v2)14,R=v2 12,S1(h k 1)=cos(2bh/a1)+cos(b(h+ √3k)/a1)+cos(xb(V3k-h)/a1)+cos(2πbk|a1)+cos(πb(√3h+k)Ia1)+ cos(xb(h-√3h)/a1, Sa(h k 1)=cos(2wa(hp+kQ)/a1)+cos(2za(hQ+kP)/a:)+cos(2xaR(h-k)/a1) S3(h k1)=cos(2a(hQ-kP)/a1)+cos(2a(hP-kQ)/a1)+cos(2TaR(h+k)/a1) S(h k 1)=cos(2waR(h+k)/a)+cos(2xaR(h-k)/a1) Sa(h k1)=cos(2waR(h+k))a1)-cos(2TaR(h-k)/a:), then the diffraction intensity I()at the reciprocal lattice point ha ka;+laj is given by (similar to the formula given in reference 6) I(h为1)=(4/Ψ)2{C2f,(T(hI)+U(h克1)S1(hk1)cos(x1/4) +2(f.T(hk1)+fU(hk1)(2(hk1)+S3(hk))cos(π(1|4) +2(f,T(h k 1)+f.U(h k 1))S(h k 1)cos(1/4) +f,(T(h k 1)+U(h k 1))(2cos(1/4)+cos((h+k)/2))2 293

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+2(f.T(h k 1)+fyU(h k 1))(S2(h k 1)-Sa(h k 1))sin(1/4) +2(frT(h k 1)+f.U(h k 1))Ss(h k 1)sin(1/4) +f.(T(hk1)+U(hk1))sin(π(h+)/2)〕2}， where u is a constant and laillaalla,1=8(6+2 )a. (1) If taken,in formula (1),fr=23,f.=28,and b=(v6-v2 )/2,then FT patterns of the model along different "symmetry diretions"are shown in Fig.3.(a)-(c),respectively.Diffraction sports are shown as circles whose diameter are propotional to diffration intensites.And the sports whose inten- sites are less than 0,041 (0,0,0)are omitted.These patterns are astonishingly similar to the EDPsc1,of VNi alloy in practice.Additionally if taken a= 0,54nm,then the volume of the unite primitive cell of the model is 2.086nm x 2,086nm x1.118nm.The bonding length L between two neighbouring atoms satisfies ineqality 0,24nmof V60Ni4)alloy has twelvefold symmetry in strictly sense.The authers thin'that Dr.Pauling's opinion'about quasicryistal shculd not been largely ignored,On the other hand,if we appropriately chang the distributions of atoms V and Ni or chang the dimension cf b in T polyhedron show in Fig.1.(a)and (b),FT patterns of structure models can 294

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also show twelvefold rotational symmetry.The detailed results will be publi- shed elsewhere.The present research suggests that more accurate EDPs and HREMs be necessary for research. The authors would like to thank Ma Ruzhang,Chen Nanxian and Liu Qingsheng at the University of Science and Technology Beijing for their very helpful discussions.This work was supported by Science Development Founda- tion of U.S.T.B. Referenees 1 Chen H,Li X D and Kuo K H.Phys.Rev.Lett,.1988,60:1645 2 Kuo K H,Feng Y C and Chen H.Phys.Rev.Lett.,1988,61:1740 3 Pauling L.J.Nature,1985,317:512 4 Pauling L.Phys.Rev.Lett.,1987,58:365 5 Cahn J W,Gratias D and Shechtman D.J.Nature,1986,319:102 6 Min Lequan,Liu Qingsheng and Wu Yuzhen.J.University of Science and Technology Beijing,1989,11(4):388 295

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