具12次对称格点阵的衍射图

D0I:10.13374/j.iss1001-053x.1991.02.017 第13卷第2期 北京科技大学学报 Vol,13 No.2 1991年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing March 1991 具12次对称格点阵的衍射图 闵乐泉·刘软圣·吴玉珍· 摘要：推导出一种具12次对称格点阵的衍射公式，对该格点阵进行了光学变换，按不 同的倒易网格比例、通过舍弃不同的衍射强度点绘制了几幅该格点阵的衍射图，其中一张 符合于光学变换图并类似于Ni基超合金的衍射图，而另一张近似于12次准晶的衍射图。可 认为不能排除“5次”、“8次”、“10次”和“12次”对称准晶是周期性结构的可能性。 关键词：12次对称点阵，衍射图，N基超合金，12次对称准品 Diffraction Pattern of Lattice of Points with 12-fold Symmetry. Min Lequan'Liu Qinsheng'Wu Yuzhen ABSTRACT:The diffraction formula of a kind of lattice of points with 12-fold symmetry is deduced.The optical transform of the lattice of points is made. By different ratio of the reciprocal lattice,several diffraction patterns are drawn through eliminating the diffraction spots of different intensities.One of s the patterns agrees with the optical transform of the lattice of points andis 明 approximato the diffraction pattern of Ni-based superalloy and another patternis approximateo the diffraction pattern of quasicrystal with 12-fold symmetry. 年 The possibility that "quasicrystals with 5-fold,8-fold,10-fold and 12-fold symmetry"may be in fact periodic structures should not be excluded. KEY WORDS:12-fold symmetry,diffraction pattern;Ni-based superalloy, quasicrystal 1989-08-15收稿 ·数力系(Department of Mathematics and Mechanics)? 191

第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 一 。 具 次对称格点阵的衍射图 阂乐泉 ’ 刘钦圣 吴 玉 珍 ’ 声 摘 要 推导 出一 种 具 次 对称格 点阵的 衍射公 式 ， 对 该格 点阵进行 了光学 变换 ， 按 不 同的倒易网格 比 例 、 通过舍弃 不同的衍射强 度点 绘制了几幅该格点阵的二衍 射图 ， 其中一 张 符合于光 学 变换图并类似于 墓超合 金的衍射 图， 而 另一 张近似于 次 趁晶的 衍射图 。 可 认为不 能排除 “ 次 ” 、 “ 次 ” 、 。 次 ” 和 次 ” 对称准晶是周 期性结构的可 能性 。 关键 词 次 对称点阵 ， 衍射 图 ， 基超合金 ， 次 对称准晶 一 “ ‘ 扩 夕 牙 之 一 ， 。 口 一 又 五 一 · 。 “ “ 一 ， 一 ， 一 一 ” 一 ， 一 ， 一 一 收 稿 数力系 爪 魏 五。 王 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1991．02．017

Frank和Kasper1)首次预测可能存在所谓的F-相结构。LiD,X和Kuo K H2)宣布在 Ni基合金中，发现了一种F-相结构。Chen H,LiD·X和Kuo K H3)报道了在VeoNi4o 和V1sNi1oSi合金中发现了具12次对称的准晶 并提出几种模型)。 广义品体群(5允许包含任意次旋转对称， 利用该理论F-相结构可视为由一个转角为30° 的旋转操作和两个夹角为60°的平移操作生成。 B 因此，可称F-相结构是一种12次对称点阵（见d1 图1)。 l=1B=λ 1衍射公式 图1一种具12次旋转对称的格点阵 Fig.1 A kind of lattice of points with 为了利用文献〔5)中的一般衍射公式，可 12-fold rotational symmetry 将图1中的格点阵看成由夹角为60°的矢量对 (A,B),分别从。，0≤k≤6为起点组成的7对矢量对系统在平面平移生成，若设图1中 正12边形内接圆之半径为a,则可记A=(2acos15°，0)，B=(2acos15°cos60°，2acos15° sin60°)，且不难推出： d。=0A+0B, d1=(-1/2-V816)A+(112-V3/6)B; d2=(-1+√8/3)A+(112-√816)B,d3(-√31/3)A+(-1/2+V8/6)B; d4=(-1/2+V8/6)A+(-1/2+√816)B,d3=(-1/2+V816)A+(-√813)B, d。=(1/2-√816)A+(-1+√8/3)B. 从而格点阵中的任意格矢量可记为7：，，即：，=iA+B+d,i,j=0,±1，±2， 0≤k≤6，因此本格点阵可用二维8函数： f)=∑2∑c-) 来表示。若记(A·,B)为(A,B)的倒易矢量对，r日，=iA+B·,令I(i,》表示本格点阵 在倒易空间(A·,B)中的格点(，》处的衍射强度，则由5)可推出： I,》=rf可e-idxdy =u2{1+2〔(-1)+cos(π(i+)//3)+(-1)cos(x(2i-j)/√3) +(-1)'cos(π(i-2j)/√3)]}213a4, 其中μ，4均为比例常数 192

和 〔 ‘ 〕 首次预测可能存在 所谓 的 一 相结构 。 · · 和 〔 ’ 宣布在 基合金 中 ， 发现 了 一种 一 相结构 。 ， · 和 〔 “ ’ 报 道 在 。 。 。 和 口月日胜 ， 。 ， 。 合金 中发现了具 次对称的准 晶 并提出几种 模型 ‘ ’ 。 广义 晶体群 〔 “ 〕 允许包含任 意次旋转对称 ， 利用该理论 一 相结构可视 为由一个转角为 “ 的旋转操作和两 个夹兔为 “ 的平移操作生成 。 因此 ， 可称 一 相结构是 一种 次对称点阵 见 图 。 ，卜 刀 卜入 衍 射 公 式 为了 利用文 献 〔 〕 中的 一般 衍射公式 ， 可 将图 中的格点阵看成由夹角 为 。 的矢 量对 图 一 种具 次旋转对称的格点阵 一 ， ， 分别从 ，， 毛 寿蕊 为起点组成的 对 矢量对 系统在 平面平移生成 ， 若 设 图 中 正 边 形 内接圆之 半径 为 ， ， 且不难推 出 则 可记 二 口 “ ， ， 。 ， ‘ 知 、 一毛 一屯 。 一 一 亿 一 亿 一今 口一知 一补 今 一 训 一 了 一 侧 五 一 训 落 一爷 爷 爷 一 杯 一 侧 一 侧 一 召 ‘ 知 一 知 。 一 训 一 侧 。 从而格 点阵 中的任 意格 矢量 可记为 时 ， 了， 成寿 ， 因此本格 点 阵可用 二 维 占函数 即 ， 夕 ， ， 二 十 十 么 ， ‘ ， 二 。 ， 士 ， 士 ， 一 。 ， 哟 习 习 名 一 宁 ， ， 为 一 刀 一 勺 来表示 。 若记 ， ’ 为 ， 的 倒 易矢量对 ， 犷 夕 ， ， 在倒 易空 ’ ’ ， ‘ 中的格 点 ， 处的 衍射强 度 ， 十 ’ ，令 ， 表示本格点阵 则由〔 〕可推 出 “ ， ‘，二 ， 。 几， 布一 ‘千号一 寻 ， 拌 “ 左 以 一 “ 千 丁， 二 侧 一 ’ 二 了一 训 一 ‘ 二 一 训 〕 “ ‘ ， 其 中 川 ， 拼 均 为比例 常数

2格点阵的光学变换和理论衍射图 图2(a)是具12次对称（有限）格点阵的激光光学变换，实验参数为：激光波长63280nm 焦距400mm;点阵面积10mm×10nm;格点个数3033个。 图2(a)格点阵的激光光学变换 (b)格点阵的理论衍射图，舍弃S<0.25的点 Fig.2 (a)Laser optical transform of the lattice points (b)Theoretic diffraction pattern nf the lattice points giving up points S<0.25 1 留3格点阵的理论行射图，舍弃S<8.7的点 图4格点阵的理论行射图，合弃S<2,1的点 Fig.3 Theoretic diffraction pattern of Fig.4 Theoretic diffraction pattern of the latticc points,giving the lattice points,giving up up points S<8.7 points S<2.1 由推导的具12次对称格点阵的衍射强度公式用计算机求出S=aI(i,)/k2值，则可绘 出图2(b),图3、4中所示的衍射强度图，图中圆之半径均与√S成正比，其中图2(b)是 193

格 点阵 的 光学变换和理论衍射图 图 是具 论次 对称 有限 格点阵的激光光学变换 ， 实验 参数 为 激光 波 长 焦距 点 阵面积 格 点 个数 个 。 图 格 点阵的激光 光 学 变 换 格点 阵 的 理 论衍射图 ， 舍弃 。 的点 ， ‘ ︵创叻创 图 格 点阵 的理 论 衍射 图 ， 舍弃 的 点 丁 ‘ ， 图 格 点阵 的 理 论 衍射 图 ， 舍弃 的点 ， 由推导 的具 次 对称格 点阵的衍射强 度公式 用 计算机 求 出 ￡， ’ 声 “ 值 ， 则 可绘 出 图 ， 图 、 中所 示的 衍 射强 度图 ， 图中圆之半径均 与了 了 戈正 比 ， 其 中 图 是

舍弃了“衍射强度”S<0.25的点后，该格点阵之衍射图，它与激光光学变换图2()符合甚 好，另一方面将图2(b)与文献〔2〕中的图6(a)、(b)相对照，可看出图2(b)似比文献C2]中的 理论衍射图6(b)(注该图中倒易矢量A·,B·的夹角算法可能有误)更接近于N1基超合金的 电子衍射图6(a)。本文的图8是舍弃了“衍射强度”S<2.1的点后，本格点阵的衍射图，图 中各圆之半径分别为图2(b)中对应圆之半径的6.8倍，图8与12次对称准晶的衍射图文献〔3〕 (图1)的相异之处是前者的图中12个圆为一组所形成的诸圆环中，一些圆环周上圆的分布 是不均匀的，而后者图中对应的圆的分布近似是均匀的。本文的图4是舍弃了S<8.7的点 后，格点阵之衍射图，该图中倒易网格的比例是图2(b)的0.5，而图4中诸圆之半径为图 2(b)中诸圆之半径的1.9倍，显然图8与12次对称准晶的衍射图十分相似。 正像有理数可无限逼近无理数那样，平面上的周期性网格点（正方形、矩形、菱形等） 也可以无限逼近于坐落在圆周上的具有次对称的点组。因此从理论上讲不能排除“5次”、 “8次”、“10次”、“12次”对称准晶是周期性结构的可能性，进一步研究认为上述提法 是不全面的。 实际上如果图1右上角的正12边形内分布着不是6个格点而是12个，而这些格点分别 代表V原子且由对称操作12生成：再设正12边形周上12个格点代表相间分布的6个V原子 和6个Ni原子，这6个V原子和6个Ni原子的正下方（距离为2asin15°）分别有6个Ni原子 和6个V原子；令正12边形中心实际有3个Ni原子，另两个Ni原子的位置分别在Z= ±2as15°处，这样的39个原子形成了一个多面体，称之为T-多面体，将该多面体诸原子 的Z坐标换为一Z,则得另一种T·多面体，由4组这样的两种T-多面体相联可形成一个有 240个原子的晶胞，其原子成分是Ve2,2Nia7.8,通过平移操作A=(a(√6+√2)，0,0)， B=(0,a(√6+√2)，0)，C=(0,0,2a(√6-√2)，生成一种三维晶体模型，该模 型沿三个方向的衍射图均与V。Ni4o准晶‘3)相应的电子衍射图相符极好。本模型的详文将 另行发表。 3结 论 研究推导出该（无穷大）格点阵的衍射公式；对该（有限）格点阵进行了光学变换，利 用衍射公式，在比例不同的倒易网格上，通过舍弃不同强度的衍射点绘制了三幅该格点阵的 衍射图。其中一图不仅符合于本文的光学变换图，而且比文献〔2〕中的理论衍射图，更接近 于N基合金的电子衍射图。而另一图类似于具12次对称准晶的电子衍射图。 致谢：中国科学院物理所郑世海工程师为本研究作了光学变换，特此致以诚挚的谢意。 参考文献 1 Frank F C,et al.Acta Cryst,1959,12:483 2 Li D X,et al.Acta Cryst.1986,B42:152 3 Chen H,et al.Phys.Rev.Lett.,1988,61:1645 4 Kuo K H,et al.Phys.Rev.Lett.,1988,61:740 5闵乐泉，刘软圣，吴玉珍·北京科技大学学报，1989,11(4)：114 194

舍弃了 “ 衍射强 度 ” 的 点后 ， 该格 点阵之 衍 射图 ， 它 与激 光光学变换 图 符合甚 好 ， 另 一方面 将 图“ 与文 献〔 〕中的罗 全 、 相对 照 ， 可看 出 图“ 似 比文 献 〔 “ 〕中的 理论衍射 图 注该 图中倒 易矢 量 ‘ ， 的 夹角算法可能有误 更接近于 基超合 金 的 电 子衍射图 。 本文 的 图 是舍 弃 了 “ 衍射强 度 ” 的点后 ， 本格 点阵的衍射 图 ， 图 中各圆之半径分别 为图 中对应 圆之半径的 倍 ， 图 与 次对称准 晶的 衍射 图文 献 〔 〕 图 的 相 异之 处是前 者的 图中 个 圆 为一组所形成 的诸 圆环 中 ， 一些 圆环 周上 圆的分布 是不均 匀的 ， 而后者图中对应的 圆的分布近似 是 均匀的 。 本 文 的 图 是舍弃了 的 点 后 ， 格 点阵之 衍射 图 ， 该图中倒易网格的 比例是 图 的 ， 而 图 中诸 圆 之 半 径 为图 中诸圆之半径的 倍 ， 显 然 图 与 次对称准晶的 衍射图十分相似 。 正 像有理 数可 无限 逼近 无理 数那样 ， 平面 上 的 周期性网格点 正 方形 、 矩 形 、 菱形等 也可 以 无限逼近于 坐落在 圆 周上的具有 ， 次对 称的 点 组 。 因此 从理论上讲不能排除 “ 次 ” 、 “ 次 ” 、 ，’ 。 次 ” 、 ，’ 次 ” 对称淮 晶是 周期性结构的可 能性 ， 进 一步研究 认 为上述提 法 是不全 面 的 。 实际上如果 图 右 上 角的正 边形 内分布着不 是 个格点而 是 个 ， 而这 些格点分别 代 表 原子且 由对称操作 生成 再设 正 边形 周上 个格 点代 表 相 间分布的 个 原子 和 个 原子 ， 这 个 原子和 个 原子的正 下方 距离为 “ 分别有 个 原子 和 个 原子 令 正 边形 中心实 际有 个 原子 ， 另 两 个 原子 的 位 置 分 别 在 土 “ 处 ， 这样 的 个原子形成 了 一 个 多面体 ， 称之为 一 多面体 ， 将该多 面 体 诸原子 的 坐标换为 一 ， 则 得另一种 一 多面体 ， 由 组这样 的两 种 一 多面体相联可形 成 一个 有 缈个原子 的 晶胞 ， 其原子成全最 。 ， 通过平移操作 侧 甸 丁 了 丽 ， ” ， ” ， ，。 护万 衍万 ， ， ， 。 ， 侧了 一 亿 万 ， 生成 一种三维晶体模型 ， 该 模 型沿 三个方向的衍射图均 与 。 。 。 准 晶 仁“ ’ 相应 的 电子衍射 图相符极好 。 本 模 型的详文 将 另行 发表 。 结 论 研 究推导 出该 无穷大 格 点阵的衍射公式 对该 有限 格 点阵进行 了 光学变换 利 用衍射公式 ， 在 比例不 同的倒 易网格上 ， 通过舍弃不同强 度的衍射点绘制了三幅该格 点 阵的 衍射 图 。 其 中一图不仅符合于本文 的光学变换 图 ， 而且比文 献 〔 〕 中的理论衍射图 ， 更接近 于 基合金的 电子 衍射图 。 而 另一 图类似于具 次对称准晶的 电子衍射图 。 致 谢 中国科学院 物理所郑世海 工 程师为本研究作 了光学变换 ， 特 此致 以诚挚的谢意 。 考 文 献 一 ， · ， ， 参 ， · ， ， 。 ， 。 ， 阂乐泉 ， 刘 钦圣 ， 吴玉珍 北京科技大学学 报 ， ，