弹性约束梁固有特性的一般公式

D0I:10.13374/i.is8m1001-053x.1991.04.036 第13卷第4(【)期 北京科技大学学报 Vol.13 No.4(I) 1991年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing July 1991 弹性约束梁固有特性的一般公式 杨揆 摘要：导出了两端受任意拉压弹簧和扭转弹簧约束梁的频率和振型公式。以往的各种 约束梁的频率和据型公式都可以作为本文公式的特例而得到。同时还包括以前尚未研究过 的一些情况。 关键词：弹性约束，频率方程，振型 The General Formula of the Vibration Problems of Elastically Restrained Beams Yang Kuiyi ABSTRACT:An excet frequency equation and formula of mode shapes for the beam restrained by any translational and rotational springs at its ends is derived.Many results in the past publication can take as the degenerate case of this equation and formula.The general formula also including several new results of elastically restrained beams. KEY WORDS:elasticity restraint,frequency equation,mode shape 早期梁的约束模型只有较支座、固定端、自 由端以及滑动导轨等。由于处理实际问题的需 EI,A,! 要，人们提出了弹性约束，即把约束看作可变？ 形的拉压弹簧或扭转弹簧。在各种弹性约束下 梁的固有频率和振型迄今已经有了不少结果。 图1弹性约束梁 例如两端附加扭簧约束的简支梁1)、一端自 Fig.1 Elastically restrained bcam 1990-05-19收稿 数力系(Departmnt of Mathematics and Mechanics) 399

第 15卷第 4 ( 工) 期 1 9 9 1年 7月 北 京 科 技 大 学 学 报 v 成 1 3 N o . 4 (: ) J o u r n a l o f U n i v e r s i t y o f S e i e 红 e e a n d T e e五n o l o g y B e i j i n g J u l y i。。 z 弹性约束梁固有特性 的一般公式 杨 摇 一 ’ 摘 要 : 导出 了两端受 任意拉 压弹簧和扭转弹簧约束梁的频率和振型公 式 。 以 往 的各 种 约束梁 的频率和 振 型公式都可以作为本文公 式的特例而得到 。 同时还包括以前 尚未 研究 过 的 一些情况 。 关挂词 : 弹性 约束 , 颇率方程 , 振型 T h e G e n e r a l F o r m u l a o f t h e V i b r a t i o n P r o b l e m s o f E l a s t i e a l l y R e s t r a i n e d B e a m s Y o n 夕 K u i 夕 i ’ 犷 AB S T R AC T : A n e x e e t f r e q住 e n c y e q u a t i o n a n d f o r 瓜住 l a o f 爪 o d e s h a p e s f o r t h . b e a m r e s t r a i n e d b y a n y t r a n s l a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l s p r i n g s a t i t s e n d s 1 5 d e r i v e d . M a n y r e s u l t s i n t h e p a s t p u b li e a t i o n e a n t a k e a s t h e d e g e n e r a t e e a s e o f t h i s e q u a t i o n a n d f o r tn u l a . T h e g e n e r a l f o r m u l a a l s o i n e l u d i n g s o v e r a l n e w r e s u l t s o f e l a s t i e a l l犷 r e s t r a i t e d b e a 班s - K E Y W O R D S : e l a s t i e i t 了 r e s t r a i n t , f r e q u e n e y e q u a t i o n , m o d e s h a p e 早期 梁 的约束模型只 有铰支座 、 固定端 、 自 由端以及滑动导轨等 。 由于处理实际 问题的需 要 , 人们提出了弹性约束 , 即把约束看作可变 户 形 的拉 压弹簧或 扭转弹簧 。 在各种弹性约 束下 梁 的固 有频率和振型迄 今 已经有了不 少结果 。 例如两端附加扭簧约 束的简支梁 〔 ” 、 一 端 自 图 i 弹 性约 束梁 F 19 . 1 E l a s t i e a l l y r e s t r a i n e d b e a m 1勺钮O 一 0 5 一 1马收稿 数 力系 ( D e P a r t m n t o f M a t h e m a t 丈e s a n d M e e h a n i e s ) 衅 3 9 9 r 加呱 , DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1991. 04. 036

由另一端为铰支和扭簧约束梁〔2)、以及一端自由另一端为拉压弹簧和扭转弹簧联合作用的 悬壁梁〔8)等等。本文研究如图1所示梁的模型。它概括了上述各种梁以及目前还没有讨论到 的一些梁的模型。 1公式推导 如图1所示的弹性约束梁，其各符号的含意是： EI一梁的抗弯强度； A一截面积， p—一梁的质量密度： 1一梁长： K1,K2,K3,K4分别为各个拉压弹簧和扭转弹箦的刚度系数。 设梁的挠度为y(x,),它应该满足振动方程 ETay/ax+pAa2y/3t2=0 (1) 以及下述4个边界条件： EJasy(0,t)/ax3=-Ky(0,) (2) EIay(0,t)/ax2=K2ay(0,1)/ax (3) EIasy(I,t)/axa=K3y(l,) (4) ETay(1,t)/px2=-Kay(1,t)/ax (5) 引入函数： 1(x)=shx+sinx,2(x)=chx+cosx (6) 3(x)=shx-sinx,p(x)=chx-cosx 容易看它们1有如下性质： p{(x)=p1+1(x)i=1,2,3p4(x)=p1(x) P1(0)=g3(0)=p4(0)=0,p2(0)=2 设 y(,)=Cip(kx)+C22(kx)+C3o3(kx)+Cig(kx)) (acoswt+bsinwf) (7) 其中”为固有频率，4，b为常数。显然它满足振动微分方程式(1)且， k*=w品pA/(EI) (8) 把(7)分别代入边界条件(2)，(3)，(4)，(5j并记， S1=K1I3/(EI),S2=K21/(EI) (9) Sg=K313/(EI),S4=K4/(EI) 2m1 (10) 经整理后，这些方程分别变成： 400

由另一 端为铰 支和扭簧约 束梁 〔 2 〕 、 以 及一端 自由另 一端 为拉 压弹簧和扭转弹簧联合作 用 的 悬 壁梁 〔 ” ’ 等等 。 本文研究如图 1 所示梁 的模型 。 它概括了上 述各种梁以 及 目前还没有讨 论 到 的一些梁 的模 型 。 1 公 式 推 导 如图 1 所示 的弹性约束梁 , 其各符号的含意是 : E l — 梁 的抗弯强度 , A — 截 面积 ; P — 梁 的质量密度; l — 梁长 , K ; , K : , K 3 , K ; 分别 为各个拉压弹簧和扭 转弹簧的刚 度系数 。 设 梁 的挠度 为 y x( , t ) , 它 应 该满足振 动方程 E l a 夕 / a x 4 + 夕A a Z夕 / a t Z 二 0 以 及下述 4 个 边界 条件 : E l a ” 少 ( 0 , t ) / a x ” = 一 K : 少 ( 0 , t ) E I 3 2 夕 ( 0 , t ) / a x Z 二 K : a y ( 0 , t ) / a x E l a “ y ( [ , t ) / 刁x “ = K , y ( l , t ) E 力 2 夕 ( I , t ) / p x Z = 一 K ; a 夕 ( I , t ) / a x 引入函数 : 切 : ( 劣 ) = s h x + s i n x , 沪 : (二 ) = e h 劣 + e o s x 切 3 ( 劣 ) = s h x 一 s i n x , 尹 ; ( 二 ) = e h 戈 一 e o s x 容易看 坐它 们有如 下性质 : 甲 犷( 二 ) = 甲 ; 十 1 ( x ) f = 1 , 2 , 3 切 二( 二 ) = 切 、 (二 ) 甲 、 ( 0 ) = 犷 3 ( 0 ) = 华 4 ( 0 ) 二 0 , 中 : ( 0 ) = 2 设 。 , ( , ` , t ) = { C 、 笋 , ( 寿x ) + C : 切: ( 舟` ) + C 3 卿 3 ( 花x ) + C ; 华 ; ( k “ ) } · ( a e o s 切 t + 6 s i n 即 t ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 其 中 , 为固有频率 , Q , b 为常数 。 显 然它满足 振 动微分 方程式 ( l) 且 , 儿弓 = 。 念 P A / ( E l ) 把 ( 7 ) 分 别 代入边界条件 ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ;并记 , S : 二 K : 1 3 / ( E l ) , S : = K : I / ( E l ) 5 3 二 K 3 1 3 / ( E l ) , S ; = K ; I / ( E l ) 又 . k l 经 整理后 , 这些 方程分 别变成 : 4 0 0 ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) 秽 . 蘸

13C3=-S,C2 (11) 2C4=S2C1 (12) 〔23p4(2)-S3P1()门C1+〔23p1(元)-P2(2)门C2 +〔元3p2()-S3p3(1)C3+〔23p3(1)-S,p,(1)门C4=0 (13) 〔1p,(A)+S4P2(1))C:+〔元P4()+S,P()门C2 +〔p1()+S4p,(2)门C3+〔元p2(2)+S4p1(2)门C4=0 (14) 根据(11)，(12)把(13)，(14)中的C1,C2用C3,C4代替，则(13)，(14)可以进一步简化 成 S2{C3p2(2)-S3p,(2)门S1-〔3p1()-S3p:()门28}Cs +S:{C393(2)-S3p,())S2+〔23p4()-S3p1(2)门2}C4=0(15) S2{C2p1（九)+S,p,(元)]S1-〔元p,()+Sps(2)门23}Cs +S:{C1P2()+S,P1(2)门S2+〔元p3(元)+S4p2(2)]2}C,=0 (16) 至此可以得到如下结果： (1)式(15)、(16)中C,和C。的系数所组成的行列式即为此系统的频率方程。由频*方 程可以求出，的各个根，进一步通过式(10)和式(8)可以换算成系统的各阶固有频率。 (2)梁的振型函数可以表示成： Y(x)=C1(kx)+C2p2(kx)+C3p3(kx)+C(kx) (17) 其中系数C1,C2,C,C4之间的关系由式(11)、(12)、(15)、(16)所确定。由于后两个 式子是相关的，所以在它们之中可以任选一个与(11)、(12)相配合。例如选用式(15)，并以 C作为可变的系数，则 C1=(1/S2)S4 (18) c-器+-0 (19) 8:3器：±：=S,别c (20) 于是振型函数(1？)就可以确定了。 2一些特殊情况 本文的公式具有一般性。为了和已有结果相比较，下面导出几个特殊情况： (1)两端受扭簧约束的简支梁。 在式(15)、(16)中令S,→co,S→c∞，则C,和C,的系数行列式可简化为 p()22+1(S2+S,)p1()p,()+S2S4p() -p3(){p3()元2+(S2+S,)92(2)元+S2S4p1()}=0 再应用关系式(6)，此系统的频率方程即可化成 401

久, C : 二 一 S 、 C : ( 1 1 ) 只C ; = S Z C I ( 1 2 ) 〔几’ 甲 . (几) 一 S : 甲 ; ( 几) 〕C , + 〔几 ” 伞 : ( 几) 一 5 3 尹 : ( 又) 〕C : + 〔久3 尹 2 ( 久) 一 S 。 尹 3 ( 久) 〕C 3 + 〔久 3 甲 3 ( 几) 一 5 3 势一 ( 久) 〕C ; = 0 ( 1 3 ) 〔久甲 , ( 久) + S 。 甲: (久) 〕C I + 〔几p ; ( 久) + S 一甲 , ( 久) 〕C : + 以 甲 : (久) + S ; 甲 4 (久 )〕 C 3 + 〔久甲: (久) + S ; 甲 1 ( 久)〕 C ; = 0 ( 1冷) 根据 ( 1 1 ) , ( 1 2 ) 把 ( 1 3 ) , ( 1 4 ) 中的 C , , C Z 用 C 。 , C ; 代 替 , 则 ( 1 3 ) , ( 1 4 ) 可以进 一步 简化 成 S : {〔几3 甲: ( 几) 一 5 3 甲: ( 久)〕S : 一 〔几3 甲 : ( 久) 一 S : 伊: ( 久) 〕几 “ }C 3 + S : {〔凡3 尹 , (久) 一 S : 甲; (久) 〕S : + 〔久吕甲; ( 久) 一 S 3 p , ( 久) 〕大}C 、 = 0 (一5) S : {〔只沪 : ( 久) + S ` 甲 ` (久 )〕S : 一 〔久中 ` (久) + S ` 伊 3 (久 )〕久3 }C : + S : { 〔久甲: ( 几) + S ` 甲 : (几) 〕S : + 〔久甲 3 ( 久) + S ` 甲 2 (久) 〕几}C 、 二 0 ( 1 6 ) 至 此可 以得 到如 下结果 ; ( 1) 式 ( 1 5 ) 、 (1 6) 中C , 和 C ` 的系数 所组 成 的行列式即 为此 系统 的频率方程 。 由频 率方 程 可以 求 出 乳 的各个根 , 进一步通 过式 ( 1 0) 和 式 ( 8) 可 以换算成系统 的各阶 固有频 率 。 ( )z 梁的振 型 函数可以表示成 : Y ( x ) = C l 甲 , ( k x ) + C : 甲 2 ( k x ) + C 3 甲 3 ( k x ) + C ; , ; ( k x ) ( 2 7 ) 其 中系数 C : , C : , C , , C 。 之 ’led 的关 系由式 ( 2 1 ) 、 ( 2 2 ) 、 ( 1 5 ) 、 ( 1 6 ) 所 确定 。 由于后 两 个 式子 是相 关的 , 所以在它 们之 中可 以任选一 个 与 ( 1 1 ) 、 ( 1 2) 相配合 。 例 如选用 式( 1 5 ) , 并以 C 。作 为可 变的系数 , 则 、 J r 、 、、产, 自ǔ9 ,1 1. ù10QU 了` 、 J 了`了、 、 C l = ( 久/ S : ) 5 . C 3 S J 〔鑫生 丛红 一 呈; 里.-( 丛〕色 _ 土继 恤巡入匕尽旦望送丛妙 } 5 2 { 几3 甲: ( 几) 一 S : 伞 3 ( 几) 〕S : 一 〔几3 甲 : ( 几) 一 S : 甲 : ( 几) 〕几 3 } C ; 。 久3 {〔几3 甲 : ( 久) 一 S , 甲。 ( 几) 〕S : + 以 , 甲 ` ( 久) 一 S , 甲 , ( 几) 〕几} 。 七 , 之 下布- 万 二万犷 二- 一 - 代六不 丁一 - 几 布- 一 甲一一丁下二六二下 布 ~ - 二下飞 , 下一 一丁 不万一~ 一下子 ` 一 一一 丁了万 二万「百下 七 ` 0 2 戈七人 “ 甲 2 叹几 ) 一 。 3 甲 3 吸几 ) J O - 一 L几 ` 甲一 气人 ) 一 0 : 甲: 吸人 ) J 人 ` 2 于是振型 函数 ( 1 ” 就可 以确定了 。 2 一些特殊情况 本文 的公 式具有一般性 。 为了和已 有结果相比较 , 下面导出几个特殊情况 : ( 1 ) 两 端受扭簧约束的 简支 梁 。 在式 ( 1 5 ) 、 ( 1 6) 中令S : , co , S 。 , o , 则 C 3 和 C ` 的系数行 列 式可 简化 为 甲璧( 久) 久2 + 久( S : + 5 4 ) 甲: ( 几) 甲 4 (久) + 5 2 5 ` 甲专( 久) 一 巾 3 ( 久) 《甲: ( 久)几2 + ( S : + S ` ) 甲 : (久) 久+ 5 2 5 ` 甲 , ( 久) } = o 再应用关系式 ( 6 ) , 此系统 的频率方程即可 化 成 4 0 1

24*shasin+(S2 +S)(chAsinA-shacosa) +S2S(1-chAcosa)=0 (21) 此式与文献〔1)所导出的结果完全一致。· (2)一端受铰支和扭簧约束，另一端自由。 这种情祝在(15)、(16)中令Ss=S4=0,且S,→∞，则C3和C4的系数行列式可简化 为 Cp2()p3(元)-p1(1)P4())+S2〔p(元)-p1(1)p3(元)门=0 通过式(6)的关系可以进一步化成 2(sh2cos元-chAsin)+Sa(1+ch1cos元)=0 (22) 此式与文献〔2]所得的结果等价。 (3)一端受拉压弹簧和扭转弹簧约束，另一端自由。 这种情况在(15)、(16)中只令S3=S4=0,C3和C,的系数行列式简化为 元[P()-p:(元)Pg(元)门+S2九3〔p3()p4(元)-P:()p2()门 +S:〔p2()p3(2)-p1(元)p4()]+S:S2〔p()-p1()p3(元)门=0 通过式(6)的关系可以进一步化成： (1-chAcosa)-S243 (shacos+chAsina) +元S1(sh元cosA-ch元sin)+S:S2(1+chAcos1)=0 ··(23) 此式与文献〔3)所得到的频率方程一致。 本文公式还包括其它一些尚不多见的问题。例如梁的一端受较链及扭簧约束，另一端为 铅垂滑道（即此端转角为0，且挠度任意)，这种情况可在(15)和(16)中令1-→∞，S4→ ∞，S3=0。其频率方程为： S〔P:(2)p2()-p3(2)p,()门+CP3()-p(1)门=0 或 S2 (shAcosa chAsin)+24chAcos =0 (24) 3结 论 本文导出的频率方程（或(15)、(16)的系数行列式方程)和振型公式（式(17）、(18)、 (19)、(20)具有一般性。这些一般公式简单的原因在于引进了有其特定性质的函数P1(x), ·,P,(×)。在实际问题中常常根据具体情况忽略或强调某些因素，使问题简化。也可以把这 些公式编成通用的计算机程序，使得任意约束条件的振动系统都能很快地得到它们的各阶频 率数值和振型曲线。 参考文献 1 Passig E G.Nuclear Engincering and Design,1970,14:198-200 2 Chun K R.Journal of Applied Mechanics,1972,39:1154 3 Fosstan R,Sorensen A.Journal of Mechanical Design,1980,102:829 402

久 2 戈 s h又 5 i 久 久n + ( S : + S ` ) ( e h久 s i 久一 n s h久 e 久 o s ) + S : 5 4 ( 一 l e h久 e 久 o s ) = o ( 1 2 ) 此 式与文 献 〔 1〕所导出的结果完全一致 。 。 ( 2 ) 一 端受铰支和 扭簧约 束 , 另一端 自由 。 这 种情况在 (1 5 ) 、 ( 1 6) 中令 S : = S ` = O , 且 S ; ` co , 则 C 3 和 C ` 的系 数行列 式可简化 为 久〔甲: (久) 甲: ( 久) 一 甲 t ( 久) 甲` ( 又) 〕 + S : 〔沪置( 久) 一 甲: ( 久) 甲 , ( 几) 〕 = 0 通 过 式 ( 6) 的关 系可 以进 一步 化成 久( s h 久e o s 久一 e h又s i n 久) + S : ( 1 + e h 大e o s 几) = o ( 2 2 ) 此 式与文 献〔幻 所得的结果等价 。 ( 3 ) 一端 受拉压弹簧和 扭转弹簧约 束 , 另 一端 自由 。 这种 情况 在 ( 1 5 ) 、 ( 1 6) 中只令 5 3 = S ` 二 o , C 3 和 C ` 的系 数行 列式简化为 久 ` 〔甲泛( 久) 一 甲 , ( 久) 甲 3 ( 久) 〕 + 5 2 久 “ 〔甲: ( 久) 甲 ; ( 几) 一 甲 , ( 久) 甲 : ( 久) 〕 + 久S , 〔中 : ( 久) 切 : (久) 一 甲 , (久) 甲 ; ( 几)〕 + S : S : 〔甲妾(几) 一 甲 ; ( 几) 甲 3 ( 久)〕 = 0 通 过 式 ( 6) 的关 系可 以进 一步化成 : 久4 ( 1 一 e h久e o s 久) 一 5 2久s ( s h 久e o s 几+ e h 又s i n 久) + 几S : ( s h几e o s久一 e h久s i n 几) + 5 1 5 2 ( l + e h 久e o s 又) = o ’ ( 2 3 ) 此 式 与文献 〔3 〕所得 到的 频率方程一致 。 本文公 式还 包括其它 一 些 尚不 多见 的问题 。 例如 梁的 一端 受铰 链 及扭簧约束 , 另 一端 为 铅垂滑 道 (即此 端 转角为。 , 且挠度任意 ) , 这 种情 况 可 在 ( 1 5 )和 ( 1 6) 中令 S , 、 o , S ; , co , 5 3 二 。 。 其频率方程 为 : 或 S : 〔甲 , ( 久) 甲: (久) 一 伊 3 ( 几) 甲 ` ( 久)〕 + 久〔甲 鑫( 久) 一 甲聋(几) 〕 二 0 S : ( s h 久e o s又+ 。 h久s i n 几) + 2久e h 久e o s几 = o · ( 2 4 ) 3 、 结 论 本文 导出的频率方程 ( 或 ( 1 5 ) 、 ( 1 6) 的系 数行 列式方程 ) 和 振 型公式 ( 式 (1 7 ) 、 ( 1 8 ) 、 l( 9) 、 (2 0) ) 具有一般性 。 这 些 一般公 式简单的原 因在于 引进了有其特定性质的 函 数甲 1 ( “ ), 甲` ( 二 ) 。 在实 际问题 中常常根据具体情况 忽略或强 调某些 因素 , 使问题简化 。 也可 以把这 些 公 式编 成通 用 的计 算机 程序 , 使得任意约 束条件的振 动系 统都能很快地得到它们 的各阶颇 率 数值和 振 型 曲线 。 今 考 文 献 P a s , 1 9 E G . N u e l e a r C h u n K R 。 J o : : r n a l F o s s r n a n R 一 S o r e n s e n E n g i n o e r i n g a n d D e s i g n , 2 9 7 0 , 1 4 : 1 9 8 一 2 0 0 o f A p p li e d M e e h a n i e s , 1 9 7 2 , 3 9 : 、 工2 5 4 A . J o u r n a l o f M e e h a n i e a l D e s i g n , 1 9 8 0 , 1 0 2 : 8 2 9 4 0 2