D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1993.01.012 第15卷第4期 北京科技大学学报 Vol.15 No.4 1993年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing 4ug.1993 边界元分析薄板振动间题的简便方法 张妃二·谢道建·· 摘要：提出边界元法分析域内具有支承和集中质量的薄板自由振动问题的简便方法。这是一 种处理边界元域内积分项的方法、使得该问题在利用其对应齐次方程的基本解的基础上·将 域内积分化为边界积分来处理，节省了工作量。计算实例结果表明，该方法的精度满足实际 工程的要求。 关键词：边界元法、自由振动、自振频率，振型 A Simple and Convenient Method of Boundary Element Analysis for the Problems of Thin Plate Vibration Zhang Feier'Xie Daojian' ABSTRACT:A simple and convenient method is presented,which can deal with free vi- bration of thin plates with internal supports or concentrated masses.This is boundary ele- ment method which deal with internal integral terms.Based on the foundamental solution of the corresponding complate equation,this method can make the internal to integral to become the bounary integral.Some examples are calculated and the results indicate that the method presented here has better precision in actual engineering. KEY WORDS:boundary element method.free vibraticn,self-excited vibration frequency. mode shape 边界元法作为一种有效的数值解法，在实际工程的许多方面得到了广泛的应用。但 是，实际工程中有些问题相当复杂。如振动问题，其所对应的数学模型有的很复杂。为了 解决这个问题，从边界元法本身来说，其困难主要是寻找该问题的基本解。在寻找问题的 基本解时，有的无法求得，有的即使求出，但基本解的形式极为复杂，给程序设计及处理 奇异积分带来较大的困难。因此，在解决实际工程问题时，如果能在原有基本解的基础 上，对问题做一些近似处理，最终得到满足精度要求的计算结果，将有很大的实际意义。 本文正是采用这种方法分析域内具有支承和集中质量的薄板自由振动的问题。通过实例计 算，并与文献[1]计算的结果进行比较，表明该种方法计算结果满足实际工程的精度要 求 *1992-08-12收稿第一作若：男.45岁，副教授 *广东丁.学院(Guangdong Institute of Technology) **北京科技大学(University of Science and Technology Beijing)
第 巧 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 边界元分析薄板振动 问题的简便方法 张妃 二 ‘ 谢道建 ’ 摘要 提 出边 界 元法分析域 内具有 支承 和集 中质量 的 薄板 自由振动 问题的简便方 法 。 这 是一 种处理边 界元域 内积分项 的方法 ， 使得该问题在 利用 其对应 齐 次方 程 的 基 本解 的 基 础 上 ， 将 域 内积分化为 边 界 积分 来 处理 ， 节 省 了 工作量 。 计算 实例 结果 表明 ， 该方 法 的精 度满 足 实 际 工程的要求 。 关键词 边 界元法 ， 自由振 动 ， 自振频率 ， 振型 励酣管 · 火 尸 艺巴 万’ ‘ ， ， ， ， 卜 边界 元 法 作 为一种 有 效 的数值 解法 ， 在 实 际 工程 的 许多 方 面 得 到 了广 泛 的 应 用 。 但 、 是 ， 实际工程 中有些 问题相 当复杂 。 如振 动 问题 ， 其所对应 的数学模 型 有 的很复 杂 。 为 了 解决这个问题 ， 从边 界元法本 身来说 ， 其困难 主要是 寻 找该 问题 的基本解 。 在寻 找 间题 的 基本解 时 ， 有 的无法求得 ， 有 的 即使求 出 ， 但基本解 的形 式极 为复 杂 ， 给程序设计及 处理 奇异 积分带 来 较 大 的 困 难 。 因此 ， 在 解 决实 际工 程 问题 时 ， 如 果 能 在 原 有 基本 解 的 基 础 上 ， 对 问题做 一 些 近似处理 ， 最终 得到 满 足 精度 要 求 的计算结 果 ， 将有 很 大 的 实 际意 义 。 本文正是采用这种方法分析域 内具有支承 和集 中质量的薄板 自由振 动 的 问题 。 通 过 实 例计 算 ， 并 与 文 献 川计算 的 结 果 进 行 比较 ， 表 明该种 方 法 计算结果 满 足 实 际 工 程 的 精 度 要 求 。 ， 刃 一 收稿 第一 作者 男 岁 ， 副教授 广东 工学 院 、 北 京科技大学 丫 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1993．04．012
·380· 北京科技大学学报 1993年No.4 1基本理论 为了便于研究与分析域内具有支承及集中质量的薄板的自山振动问题，本文提出应用 边界元分析的简便方法。先讨论该法的基本思路和基本原理。 设所研究问题满足微分方程： L(W)+9,=0 (1) 对应的齐次方程： L(W)=0 (2) 方程中：上一线性微分算子，W一微分方程的特征参量表示符，q,一非齐次项。 假设求得满足方程(2)的通解为W,即有：L(W)=0 (3) 还求得满足方程(1)的一个特解为W,即有：L(W)+q,=0 (4) 根据数学原理，表示所研究问题的方程(I)所对应的通解可表示为： W =w+W (5) 进而有：òW=δW+6W (6) 其中，δ所表示的量是与W的微分项有关的变量。 根据边界元法的基本原理，我们可以求出方程(3)的用矩阵表示的边界元方程为： [B]{W}=[G{δw} (7) 方程中[B]、[G]是与问题儿何参数有关的系数矩阵，{W}、{δW}是由W、δW 组成的列向量。 再把方程(5)、(6)的矩阵形式引入到方程(7)中，得到： [B]{W}-[G{δW}=(B]Kw}-[G]{6W} (8) 由于已经求出W,依此可以求出对应的列向量{W}和{δw},所以方程(8)右端全 部心知、这样使可以利用普通边界元法进行计算，从而得到边界上的所有参量。利用同 样的处理方法，可以求得域内点的需求值。 2特征值方程 设所研究的薄板的边界条件为： 固定边：W=W,0。=目 简支边：W=W、M.=M (9) 自由边：M,=M,V。=F, 板域内任-·点的转角及内力的表达式为：
北 京 科 技 大 学 学 报 年 基本理论 为 了便 于研究 与分 析域 内具 有 支承 及 集 中质 量 的 薄板 的 自山振 动 问题 ， 本 文 提 出应 用 边 界元分 析 的简便方 法 。 先讨论该法 的基本思 路 和基本原理 。 设所研究 问题满 足微分 方 程 二 才 、 ， 二 对应 的 齐次方 程 附 ‘ 方 程 中 乙 线性 微分 算 子 ， 伴万一微分 方程 的特征参 量 表示 符 ， 厂一非 齐 次项 。 假设求得满足 方程 的通 解 为 附 ， 即有 汁 一 还 求得 满 足 方程 的一 个特解 为 叫 ， 即有 乙 州 十 。 ， 一 “ 根据数学原理 ， 表 示 所研究 问题 的方程 所对应 的 通 解 可表示 为 、 ， 一 ， 十 、 进 而 有 ” 体 ， 一 ‘ 体 “ 州 其 中 ， 所表示 的量 是 与 的微分 项有关 的 变量 。 根据边 界 元法 的基 本原理 ， 我们 可以 求出方 程 的 用矩 阵表示 的边界 元方程 为 刀 附 二 ‘ 占体 “ 圣 方 程 中 【川 、 是 与 问题 几何 参 数有关 的 系数矩 阵 ， 附 “ 、 占甲 ‘ 是 由 附 、 占体 组 成 的列 向 量 。 再把方 程 、 的矩 阵 形式 引 入到方 程 中 ， 得 到 二 阳 体卜 。 评卜 阳 伴 ‘ 卜 ‘ 。 记 由 一 。 已 经 求 出 、 ， 依此 以求 出对应 的 列 向量 、 ‘ 和 。 、 勺 ， 所 以 方 程 右端 全 部 已 知 ， 这 样 便 以 利 用 普通 边界 元 法进 行 计 算 ， 从 而 得 到 边 界 上 的 所 有参 量 。 利 用 同 样 的 处理 方 法 ， 可以 求 得域 内点 的需 求 值 。 特征值方程 设 所研 究 的薄 板的边 界条件 为 固定边 一 ， 。 一 简 支边 体 伴 ， ， 自 士于边 。 一 。 ， 犷 板域 内任 一 点 的转 角及 内力 的表达式 为
Vol.15 No.4 张妃二等：边界元分析薄板振动问题的简便方法 ·381· ,此 an M,=-Dg+2 2 an t M.=-D(1- (10) anat 2。=-D2a2W an aM ',=2.+ nx 式中n、t分别为边界曲线的外法线及切线方向。对于域内具有支承及集中质量的薄 板，在简谐振动时，其控制方程为： L(W)+po'w=0 (11) 假设方程(11)求到满足方程(2)的通解为W,即有：L(W)=0 (12) 还求得满足方程I1)的一个特解为W,即有：L(W)+p心W=0 (13) 并将域内未知位移W,表示为：W,(x)=∑T(c,”)B,(G") (14) 式中阝为特定参数。 将方程(14)写成矩阵形式：{W}=F]{B, (15) 当[F可是方阵可逆时，还可改写成：{B}=[K{W} (16) 其中[K=[F. w.=w:+w. 同样，可以将方程(11)的全位移和面力表示为： (17) 1,=t+t 将式(14)代入方程(13)，可以求得： wx)=pw2∑V(x,")B.(G) (18a) 可写成矩阵形式：{w}=po[V() (18b) 式中： vadxi)-G[(-e,-c,y,Y (19) 其中： Y,=x,一”一泊松比， e,=[2(b+3(1--1川/18(3b-1)1- e2=(1-2m)/21+b)-2b小5e,=1/2(1-462+4b+3) G一-剪切弹性模量；b一问题的维数
张妃二等 边界元分析薄板振动 问题的简便方法 。 一 。 十 兀户 式 中 、 分别 为边 界 曲线 的外法线及切线方 向 。 对于 域 内具有 支承及集 中质量 的薄 板 ， 在简谐振动时 ， 其控制方程 为 乙 汗 ‘ 。 。 ， 牙 ， 一 。 假设方程 求到 满足 方程 的通解 为 ， 即有 一 还求得满 足方 程 的一个特解为 呵 ， 即有 可 十 。 ， 、 一 。 ︸ 子 、、护，声 ‘叨爪 ︺ 百吸了了、里、乎、了 并将域 内未知位移 砰 ， 表示 为 ， 一 艺 、 了功 、 乙 ” 式 中 刀 、 为特定参数 。 将方程 写成矩阵形式 牙 川 当 是方阵可逆 时 ， 还可改写成 川 二 附 其 中 司 一 月 一 ’ 。 同样 ， 可 以将方程 的全位移和 面力 表示为 牙 二 牙 ‘ 十 耐 之 曰 针 之 将式 代人方程 ， 可 以 求得 可 一 。 艺。 ，、 、 ， ‘ ” 夕 、 ‘ ” 可写成矩 阵形式 式 中 耐卜 ， 一 ，。 ’ 【 刀 犷、 ， ‘ ” 其 中 告 ，” ‘、 ·’ 一 ‘ 、 ·」 一 ‘ 一 月 。讨白松 比 ， 【 一 拜 一 一 一 一 一 。 一 一 一 。 ’ 一剪 切弹性模量 一问题的维数
·382· 北京科技人学学报 1993年No.4 利指弹性力学基本定律.可以水得： 1=∑4"B,") (20a) 写成矩阵形式：{'}=p[V]B; (20b) 式中： V(x.")=(ear-e;Riy n+(er-2e:R)Y n+er-2e:R) 2eY.Y.JY.n. (21) 其中： e,=[b+3-1/[B(3h-11-月 es=2/[1+6)-2b:e。=[(h+2)-(h+3m/3(3b-11-u) 方程(12)对应的边界元方程为： [BW}-S]w}-[S]t!=O; (22) 将式(17).(18b)、(20h)和式(16)代入式(22得到： [B]W-[St=p ([B]U]-[S]VK]W (23a) 或成：[BltW;-St=tw[M]W; (23b) 引入边界茶件(9)和(I心)·将边界离散为n个边界单元，同时将域内剖分为m 个积单元。可将上式化为域内其有支承及集中质量的薄板自山振动的特征值方程： []Y=[MIX] (24) 解方程(24)可以得到薄板白振频率及相应的型， 3数值算例 根据上述的边界元简便方法、本文在IBM一PC微机下编制了BASI(程序，并计第 了人计的算例、下面给出部分例， 例」正方形薄板边长“=1，泊松比4=0333，板单位面积密度为、抗弯喇度为 D,对板央附有-集质的板、设1=。边界条件及相应的3个固有频率（按从 小到人的顺子，卜同)，列于表【中， 例2如图1所听小乐.四边1山、内部4点支斥的止方形薄板，设边长为2、其余参数 同例1.设u=r=0.5、计分结果列表2中
· ， 北 尔 科 披 大 ‘ 李 学 报 年 利少 弹性 力俘 基 · 、 定律 飞 ， 以 求 得 ，‘ 一 ，。 ，，二 艺 、 、 ， ‘ ’ ‘ 刀 、、丁写 成矩 阵形式 式 中 、 若 ’ ‘ 一 ，。，， 一 厂 刀 、 、 ， ‘ ” 一 ‘ ，一 〔 ， ， ‘ ，，、 。 。 ，一 、 ，， ， 。 ， 一 石、 、 一材一 ” “ 工黔 ‘牛 ， 【 ‘ 一 方一 一 声‘ 一 ‘ 一 ，‘ ， ‘ ， 。 二 为 一 方 ， 一 一 ‘ 力 一 程 对 应的边 界 兀方 程 为 环 ‘ ’ 一 别 附 ‘ 一 ‘ ’ 二 叫 将式 、 、 和式 代人 式 ， 得到 【 才 一 【 」 一，‘，，一 【 」【乙 一 」下 仁 伴 或写 成 召 一 一 。 ， 、订 体 引 人 边 界条 件 和 ， 将 边 界 离散 为 ，， 个边 界 单 元 ， 同时将 域 内剖 分 为 个而 积单 儿 。 川 丫 解 方程 可将 匕式 化 为域 内 终有 支 承 及 集中 质缺 的薄 板 白山振 动的 特 征 仇方程 材 万 ， 以 得到 薄 板 自振频 率 及相 应 的振 型 。 数值算例 根据 目主的 边 界 儿 简便 川 ‘ ， 本 义在 一 微 机 卜编 制 ’ 程 乡 ， 并 计醉 ’ 大 狱的劝 例 ， 下向 给 出 部分 诱例 倒 正 方形 薄 板 边 长 ‘，二 ， 泊 松 比 尽 ， 板 单位 二山积 密 度 为厉 ， 抗 心 刚 度 为 、 上板 ‘ ， 央附 了 集 ， ，质 ，奎的 板 ， 设 订 一 瓜 ，一 。 边 界条件 及 应 的 个固 有频率 按 从 小 」人的 弓 犷 ， · 同 ， 夸 几 农 ‘ ， 例 如 冬 所 示 ， 业自山 、 内部 点 支承的正 方形 薄板 设边 长为 “ ， 其余参 数 同 例 ， 没 ，‘ 二 、 ， 二 ， 计 劝 一 结 果 列 乙 农 ‘
Vol.15 No.4 张妃二等：边界元分析薄板振动问题的简便方法 ·383· 表1正方形薄板的固有频率 Tablel The natural frequency of square thin plates 本 文 解 文 献 [1]解 边界条件 固有频率 n=24 n=32 n=24 n=32 因子 州=36 m=64 m=36 m=64 20.03 19.95 19.94 19.86 42 50.77 50.26 50.69 50.12 50.77 50.26 50.69 50.12 26.93 36.82 36.44 36.21 wx 36.25 75.05 35.70 74.72 76.64 75.24 76.01 74.81 9.846 9.808 9.638 9.618 16.21 16.12 15.93 15.86 1 38.29 37.57 38.19 37.38 8.648 8.706 8.455 8.482 ·M 50.81 50.44 50.69 50.12 50.81 50.44 50.69 50.12 12.87 12.85 12.64 12.63 M 75.92 74.98 75.69 74,72 76.33 75.17 75.02 74.81 5.785 5.781 5.528 5.523 M Wg 16.34 15.27 15.93 15.86 24.68 24.48 24.30 24.10 表2四点支承方板固有频率 Table 2 The natural frequency of the square plates supported four point 本 文解 文 献[1]解 固有频率 n=24 n=32 2=24 =32 因子 7m=36 m=64 1=36 1=64 1 5.126 5.074 4.930 4.876 ⊙ 6.203 6.115 5.992 5.994 5 8.462 8.448 8.179 8.168
张妃二等 边界 元分析薄板振动 问题的简便方法 · · 表 正方形薄板的固有频率 本 文 解 文 献 〔 〕 解 因子 边界 条 件 …一 固有 频率 片下互瑟可下不丽一 … ， 一 ’几 一一 几 切 一 用 功 国 因 一 习 毋 探 。 。 田 。 口 ， 田二 ， 几 。 。 巨 山 毋， 一 。 、 一 困 田 人了 山 山 尸盆 ， 山 ， 仁骂 一 ① ， ， 田 · ， 、 石气 山 ， · 一 一 … · ’ 魂 。 一 田 ’ 一 田 表 四 点支承方板固有频率 仆 盯 本 文 解 文 献 解 固有频 率 一 矛了一 因子 刀 二 少 ， ， 二 一 篇 。 ， 月 ， 切田
·384· 北京科技人学学报 1993年No.4 图1例2 Fig.I The figure of example 2 4结束语 综上所述。本文提出的边界元简使方法，以处理实际工程中很多利用原来的基本解 不能解决的各类问题、处理方便，精度满足工程要求。这就为实际工程应用提供了新的途 径。 采用本文方法分析任意边界条件、域内其有支承及附有任意个集中质量的薄板的自由 振动是行之有效的。从数值算例可以看出、效果良好，特别是在振动问题中的应用极为方 便、较其他方法节省了工作式、且精度满足实际程的要求。 参考文献 1夏世群，计算结构力学及其以用.1991.8(4)：452 2邝国能等.程实用边界元法.北京：中国铁道出版社.I9891-17 3杜状华等.弹性理论.北京：科学：版礼.1986.293一300,121一123
· · 北 京 科 技 大 学 ‘ 学 报 年 图 例 结 束 语 综 卜听述 。 本 文提 出的 边 界 元简便 方法 ， 吓以 处理 实际 程 中很 多 利用 原 来的 基本 解 不能 解决 的各类 问题 ， 处理 方 便 ， 精度 满 足 二程 要求 。 这 就 为 实际 卜程应 用提 供 了新 的途 径 。 采 用 本 文 方法 分 析 任意 边 界条件 、 域 内 其有 支承 及 附 有 毛急个集 中质 枯的 薄板 的 自山 振 动 是 行之 有 效 的 。 从 数位炸例 ，叮以 看 出 ， 效果 良好 ， 特 别是 在振 动 问题 中的 应用极 为方 便 ， 较 其他方法 节 省 了 作 狱 、 而 且精 度满 足实际 乙程 的 要求 。 参 考 文 献 夏 群 计 算结 构 半及 毛 、认少 、 邝 国能 等 卜程实 用边 界元法 北 京 ‘ ‘ 国铁 道 出版 社 卜 卞 庆华等 弹 性于，【论 北 ， 不 丫亡 版礼 一 ， 一