高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 此,可估计 px+△x(E(x)--(E(x)kn=|(x+△,(x)-φ(a,∈(x)lgn =sup|Dx(m+6△a,s(c)·△alR ≤M△a|Rm 综上,有 E(+△c)-()kn<-|4clkm,Vx,m+△a∈Bx(mo) 即得￡(x)在Bx(xo)上的连续性 (3)以下考虑￡(x)在B(x0)上的可微性.已有 ∫(x+△,y+△y)=∫(x,y)+[Df(x,y),Dyf(x,y) +o( )∈Rn =0∈R,此处//△x 1△xm+|△yn,可得 △y)gm×Rn <VAm+1△yn≤E(△cm+|4yen), 故有 Jf(x+△x,y+△y)-f(x,y)-Df(x,y)△x-Df(x,y)△yk<V4rm+1△y1 <(△lkRm+|△yln) 对vx∈Bx(xo),取y=(x)∈Ba(v),则△y=(x+△c)-(c),在|△xlkm和|△yRn很 小时,将有 f(c+△x,(x+△c)-f(c,(x)-Df(,(x)△x-Dyf(,(m)((x+△c) M E(x)n<E(△x|m+1(x+△x)-(x)ln)<E(1+-)△ale 即有 1Df(()△+D,f(a,()(x+△a)-(a)n<=(1+a)△al 所以有 Df(x,(x)·(Dyf)-(x,(c)Dnf(x,(x)△c+E(x+△cx)-(x)lgn (1+2)△ ①实际￡(x)在Bx(xo)上一致连续微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 由此, 可估计 |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x))|Rn = |ϕ(x + ∆x, ξ(x)) − ϕ(x, ξ(x))|Rn = sup θ∈(0,1) |Dxϕ(x + θ∆x, ξ(x)) · ∆x|Rn 6 M|∆x|Rm. 综上, 有 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn < M α |∆x|Rm, ∀ x, x + ∆x ∈ Bλb(x0), 即得 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上的连续性➀. (3) 以下考虑 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上的可微性. 已有 f(x + ∆x, y + ∆y) = f(x, y) + [Dxf(x, y), Dyf(x, y)] ( ∆x ∆y ) + o( ( ∆x ∆y ) ) ∈ R n . 由 [ lim ∆x ∆y ] →0∈Rm×Rn o( ( ∆x ∆y ) )      ( ∆x ∆y )     Rm×Rn = 0 ∈ R n , 此处      ( ∆x ∆y )     Rm×Rn , √ |∆x| 2 Rm + |∆y| 2 Rn , 可得      o( ( ∆x ∆y ) )      Rn < ε√ |∆x| 2 Rm + |∆y| 2 Rn 6 ε(|∆x|Rm + |∆y|Rn ), 故有 |f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y) − Dxf(x, y)∆x − Dyf(x, y)∆y|Rn < ε√ |∆x| 2 Rm + |∆y| 2 Rn < ε(|∆x|Rm + |∆y|Rn ). 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), 取 y = ξ(x) ∈ Bµe(y0 ), 则 ∆y = ξ(x + ∆x) − ξ(x), 在 |∆x|Rm 和 |∆y|Rn 很 小时, 将有 |f(x + ∆x, ξ(x + ∆x)) − f(x, ξ(x)) − Dxf(x, ξ(x))∆x − Dyf(x, ξ(x))(ξ(x + ∆x) − ξ(x))|Rn < ε (|∆x|Rm + |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn ) < ε ( 1 + M α ) |∆x|Rm, 即有 |Dxf(x, ξ(x))∆x + Dyf(x, ξ(x))(ξ(x + ∆x) − ξ(x))|Rn < ε ( 1 + M α ) |∆x|Rm. 所以有  Dyf(x, ξ(x)) · [(Dyf) −1 (x, ξ(x))Dxf(x, ξ(x))∆x + ξ(x + ∆x) − ξ(x)]   Rn < ε ( 1 + M α ) |∆x|Rm. ➀ 实际 ξ(x) 在 Bλb(x0) 上一致连续. 5