高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 即x∈Bx(x0)有φ-(y)∈Ba(v),Vy∈B(30) 另可有估计 φ(y1)-φ(y2川≤supDφ(y2+6(y1-y2) IRnxnIy1-32lR <(1-a)ly1-y2IRn, Vyl, y2 E B(yo 即对c∈Bx(x0,中2(y)在B(y)上具有压缩性 综上,存在中1(y):B(30)3y→中2(y)∈Rn,满足 中2(y)∈Bn(3o), 2(y)为B(v)上的压缩映照 由于B(y)CRn为闭集,按压缩映照定理,有 v∈B3(xo),3!yn∈B()满足中(yz)=yx 亦即,对Ⅴc∈Bx(o),3!yn∈Ba(0),满足f(x,3z)=0∈R,故可作 (c):Bx(o)3c→5(a)∈R", 满足 s(c)∈Ba(30), f(c,(x)=0∈Rn (2)以下证明￡(x)∈(Bx;R”) 先证连续性,考虑Ⅴx,x+△c∈Bx(xo),估计 (x+△a)-(x)|Rn=|+△x(E(x+△c)-φ(E(m)len ≤|+△((x+△x)-x+△((x)1+|a+ax((x)-中((x) ≤sup|D中x+△x((x)+((x+△x)-(x))kxn(x+△x)-(x)lgn 6∈(0.1) +|中+△((x)-中((m)lnb∈(0,1) (1-a)E(c+△c)-(c)kRn+|a+△x(E(x)-中2(E(x)ln, 即有 E(a+△x)-()n<-|x+△x(E(x)-中2(E(a)Rn 作 d(x,y)会中2(y)=y-(Df)-(ao,3)f(,y),x∈Bx(x0),y∈B(30 且有 Dx(a,y)=-Dy f)(ao, yo). Dxf(a, y), 1D(x,y)lnxn≤M,w∈B(x0),y∈B(o)微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 即 ∀ x ∈ Bλb(x0) 有 ϕx (y) ∈ Bµe(y0 ), ∀ y ∈ Bµe(y0 ). 另可有估计 |ϕx (y1 ) − ϕx (y2 )| 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx (y2 + θ(y1 − y2 ))|Rn×n |y1 − y2 |Rn < (1 − α)|y1 − y2 |Rn , ∀ y1 , y2 ∈ Bµe(y0 ), 即, 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), ϕx (y) 在 Bµe(y0 ) 上具有压缩性. 综上, 存在 ϕx (y) : Bµe(y0 ) ∋ y 7→ ϕx (y) ∈ R n , 满足    ϕx (y) ∈ Bµe(y0 ), ϕx (y)为Bµe(y0 )上的压缩映照. 由于 Bµe(y0 ) ⊂ R n 为闭集, 按压缩映照定理, 有 ∀ x ∈ Bλb(x0), ∃ ! yx ∈ Bµe(y0 ) 满足ϕx (yx ) = yx . 亦即, 对 ∀ x ∈ Bλb(x0), ∃ ! yx ∈ Bµe(y0 ), 满足f(x, yx ) = 0 ∈ R n . 故可作 ξ(x) : Bλb(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ R n , 满足    ξ(x) ∈ Bµe(y0 ), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ R n . (2) 以下证明 ξ(x) ∈ C 1 (Bλb; R n ). 先证连续性, 考虑 ∀ x, x + ∆x ∈ Bλb(x0), 估计 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn = |ϕx+∆x(ξ(x + ∆x)) − ϕx (ξ(x))|Rn 6  ϕx+∆x(ξ(x + ∆x)) − ϕx+∆x(ξ(x))   n R +  ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x))   n R 6 sup θ∈(0,1)  Dϕx+∆x (ξ(x) + θ(ξ(x + ∆x) − ξ(x)))   Rn×n |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn +  ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x))   Rn θ ∈ (0, 1) < (1 − α)|ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn + |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x))|Rn , 即有 |ξ(x + ∆x) − ξ(x)|Rn < 1 α |ϕx+∆x(ξ(x)) − ϕx (ξ(x))|Rn . 作 ϕ(x, y) , ϕx (y) = y − (Dyf) −1 (x0, y0 )f(x, y), ∀ x ∈ Bλb(x0), y ∈ Bµe(y0 ), 且有 Dxϕ(x, y) = −(Dyf) −1 (x0, y0 ) · Dxf(x, y), |Dxϕ(x, y)|Rn×n 6 M, ∀ x ∈ Bλb(x0), y ∈ Bµe(y0 ). 4