高维微分学—隐映照定理 谢锡麟 2.∈(x)∈61(B1(x0);R) 证明利用压缩映照定理证明隐映照定理. (1)考虑作 中2(y):B2(v)3y→2(y)y-(D,f)-(xo,yo)f(x,y)∈R 可证对x∈Bx(xo),3!y∈B4(3o),满足 ∫(x,yx)=0∈Rn,或者φ2(yx)=y2∈Rn, 此处B(xo)cD2,B1(30)CDy易见,对Ⅴm∈Bx(x0),∫(x,y)=0∈R在B(3o)上的解等 价于φ2(y)在B(o)上的不动点 以下按压缩映照定理进行相关分析.估计 -(y)-yoRn=|φ-(y)-φ-(y0)+φ2(y)-y ≤|2(y)-中(vo)ln+|φ-(vo)- yolen, 按有限增量估计(此处c∈B(xo)为参数)则有 中2(y)-中2(30)lRn≤supDφ2(o+6(y-yo)lnxn·y-ylen,Vy∈B4(0) 6∈(0,1) 考虑到 Do(y)=IRn-(D,f)(ao, yo)Dy f(, y), Vy E Bu(yo), a E Bx(ao), Do(y)lRnxn=IIRn-(Dy f)(o, yo)Dyf(a, y)IRnxn I(D, f)-(ao, yo). [(Dy f)(o, yo)-D,f(a, y)IIrnxn ≤|(Df)-1(x0,y)xn·(Df)(x,30)-Df(x,)xm, 以及f(x,y)∈1(DXDy:R),则彐Bx(x0)∈D,Bn(y)CD(X<A<p),有 1D中(y)knxn<1-a,Vy∈B(30),c∈B(mo) 另估计 中(30)-30len=|3o-(Dyf)-(xo,v)∫(x,3)-3o D,f)-(ao, yo).[f(, yo)-f(ao, yo)Jl <I(Dyf)(ao, yo)lRnxnIf(a, yo)-f(ao, yo)R 则彐B(x0)∈D2(A<,有|2(30)-3n<a 综上,Vc∈Bx(o),y∈Br(3o),有 lo(y)-yoIRn<(1-a)ly-yolRn + au ≤(1-a)+a=,微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理 谢锡麟 2. ξ(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); R n ). 证明 利用压缩映照定理证明隐映照定理. (1) 考虑作 ϕx (y) : Bµ(y0 ) ∋ y 7→ ϕx (y) , y − (Dyf) −1 (x0, y0 )f(x, y) ∈ R n , 可证对 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ ! yx ∈ Bµ(y0 ), 满足 f(x, yx ) = 0 ∈ R n , 或者ϕx (yx ) = yx ∈ R n , 此处 Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0 ) ⊂ Dy. 易见, 对 ∀ x ∈ Bλ(x0), f(x, y) = 0 ∈ R n 在 Bµ(y0 ) 上的解等 价于 ϕx (y) 在 Bµ(y0 ) 上的不动点. 以下按压缩映照定理进行相关分析. 估计 |ϕx (y) − y0 |Rn = |ϕx (y) − ϕx (y0 ) + ϕx (y0 ) − y0 |Rn 6 |ϕx (y) − ϕx (y0 )|Rn + |ϕx (y0 ) − y0 |Rn , 按有限增量估计 (此处 x ∈ Bλ(x0) 为参数) 则有 |ϕx (y) − ϕx (y0 )|Rn 6 sup θ∈(0,1) |Dϕx (y0 + θ(y − y0 ))|Rn×n · |y − y0 |Rn , ∀ y ∈ Bµ(y0 ). 考虑到 Dϕx (y) = IRn − (Dyf) −1 (x0, y0 )Dyf(x, y), ∀ y ∈ Bµ(y0 ), x ∈ Bλ(x0), |Dϕx (y)|Rn×n = |IRn − (Dyf) −1 (x0, y0 )Dyf(x, y)|Rn×n =  (Dyf) −1 (x0, y0 ) · [(Dyf)(x0, y0 ) − Dyf(x, y)]   Rn×n 6  (Dyf) −1 (x0, y0 )   Rn×n · |(Dyf)(x0, y0 ) − Dyf(x, y)|Rn×n , 以及 f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy; R n ), 则 ∃ Bλe(x0) ⊂ Dx, Bµe(y0 ) ⊂ Dy (λ < λ, e µ < µ e ), 有 |Dϕx (y)|Rn×n < 1 − α, ∀ y ∈ Bµe(y0 ), x ∈ Bλe(x0). 另估计 |ϕx (y0 ) − y0 |Rn = |y0 − (Dyf) −1 (x0, y0 )f(x, y0 ) − y0 |Rn =  (Dyf) −1 (x0, y0 ) · [f(x, y0 ) − f(x0, y0 )]   Rn 6 |(Dyf) −1 (x0, y0 )|Rn×n |f(x, y0 ) − f(x0, y0 )|Rn , 则 ∃ Bλb(x0) ∈ Dx(λ <b λe), 有 |ϕx (y0 ) − y0 |Rn < αµe. 综上, ∀ x ∈ Bλb(x0), ∀ y ∈ Bµe(y0 ), 有 |ϕx (y) − y0 |Rn < (1 − α)|y − y0 |Rn + αµe 6 (1 − α)µe + αµe = µ, e 3