·1480· 北京科技大学学报 第34卷 Il -lngN/MI <1, (7) t=72.6时，置乱得到图1(d).继续裁减标准测试 Il dM/N-L (1 +dng)I <1. (8) 图像lena(256×256)得到一系列新的图像，并使用 当41=0，山2≠0时，式(8)不成立.当l1≠0，l2= 下述设置进行置乱，置乱效果对比情况见表1和表2. 0时，式(7)不成立.当1≠0,2≠0时，如果1= L2ngN/M,则代入式(8)得l2I<1,显然不成立：如果 L1≠l2ngN/M,则式(7)不成立.所以对于所有不同 为0的整数1和l2,式(7)和式(8)不同时成立，该 二维非等长置乱变换是一一映射.进一步容易得 (b) (c) (d) 出：式(3)是一一映射.同理，式(4)也是一一映射. 图1像素置乱效果.(a)明文：(b)密文1：(c)密文2：(d)密 由(1)和(2)可知，上述四种置乱形式均是一一 文3 映射 Fig.1 Effect of pixel scrambling:(a)plaintext;(b)Ciphertext 1; 1.3反置乱 (c)Ciphertext 2:(d)Ciphertext 3 反置乱时不需要计算置乱恢复矩阵，只需要逐 ①设置二维非等长置乱变换参数：a=7,b=0, 个像素根据坐标(x,y)正向计算出(x,y),然后根 c=20,d=5,记为“二维置乱1” 据z=(z-Lt+0.5」-Lgx+hy+0.5)×1-modL ②设置二维非等长仿射变换参数：a=7,b=0, 计算出密图中点(x',y)对应的原始像素值z,就得 c=20,d=5,e=36,f=28,记为“二维置乱2”. 到了(x,y,)与(x',y,z)的一一对应关系. ③设置三维类仿射变换参数：a=7,b=0,c=0, 1.4置乱分析 d=20,e=5,f=0,g=21,h=37,l=51,r=36,s= 目前己有的置乱算法大都不改变像素值，通过 28,t=71,记为“三维置乱1”. 对明密文的像素直接进行比对就可能发现置乱规 ④设置三维类仿射变换参数：a=7,b=0,c=0, 律，安全性较低.文献⑧]在三维空间上通过魔方变 d=20.34568,e=5,f=0,g=21.9537,h= 换来旋转置乱像素的比特位，文献D0]将像素之间 37.678763,l=51,r=36.557546,s=28.459292,t= 的比特位重新组合，这些三维置乱算法虽然改变了 71.6,记为“三维置乱2” 像素值，但是由于计算机在处理每个比特位时实际 2.1置乱周期 上需要对整个像素进行操作，所以总的计算量很大. 图像中像素值的状态数是有限的，所以在置乱 本文的三维置乱在改变像素位置的同时略微增加计 若干次以后，图像终究会回复到初始状态.置乱次 算量就能达到非线性地混合像素值的目的，不仅像 数可以作为图像加密算法的密钥之一，置乱周期越 素的位置被充分打乱而且密图的灰度直方图趋向于 长，则用于图像加密的密钥空间就越大，算法抵御穷 均衡化，所以它能更有效地抵御己知明文攻击.同 举攻击的能力就越强。在M相同、N也相同的情况 别的置乱算法一样，它也可以嵌入到图像压缩编码 下，由于二维矩阵置乱相当于在M×N的二维空间 的过程中，在DCT域或DWT域对量化后系数进行 中进行置乱，而本文的三维算法在改变像素位置的 置乱，以达到加密并压缩的目的 同时还改变了像素值，相当于在M×N×L的三维空 2实验及算法评价 间中进行置乱，这种置乱是在M×N二维空间中进 行相同置乱的同时还伴随着另一维的置乱，所以置 为了实验长宽不等图像的像素置乱效果，裁减 乱周期远大于二维置乱的周期.持续置乱以恢复出 256色的标准测试图像lena(256×256)得到244× 原始图像所需的置乱次数可反映这一现象，二维置 178的图1(a),此时M=244,N=178,L=256.用 乱、三维置乱所需的置乱次数见表1. VC++编写代码进行三维置乱，当a=7,b=0,c= 2.2峰值信噪比 0,d=21,e=5,f=0,g=21,h=37,1=51,r= 36,s=28,t=71时，置乱得到图1(b).当a=7,b= 把置乱加密看成是往明文图像上叠加噪声，计 0,c=0,d=20.34568,e=5,f=0,g=21.9537,h= 算峰值信噪比PSNR,信噪比越小则置乱加密效果 37.678763,1=51,r=36.557546,s=28.459297, 越好.PSNR=10lg(2/MSE),其中中为像素的 t=71.554时，置乱得到图1(c).当a=7,b=0, 最大亮度值，MsE=(MW-∑∑(Pg-cg)2,其中 c=0,d=20.34568,e=5,f=0,g=21.9537,h= P,和c分别为明密文像素点(i,j)的值.计算得出的 37.678763,1=17,r=36.557546,s=28.459297, 峰值信噪比见表1.从表中数据可以看出，相对于北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 | l1 － l2 nqN/M| ＜ 1， ( 7) | l1 dM/N － l2 ( 1 + dnq) | ＜ 1． ( 8) 当 l1 = 0，l2≠0 时，式( 8) 不成立． 当 l1≠0，l2 = 0 时，式( 7) 不成立． 当 l1 ≠0，l2 ≠0 时，如果 l1 = l2 nqN/M，则代入式( 8) 得| l2 | ＜ 1，显然不成立; 如果 l1≠l2 nqN/M，则式( 7) 不成立． 所以对于所有不同 为 0 的整数 l1 和 l2，式( 7) 和式( 8) 不同时成立，该 二维非等长置乱变换是一一映射． 进一步容易得 出: 式( 3) 是一一映射． 同理，式( 4) 也是一一映射． 由( 1) 和( 2) 可知，上述四种置乱形式均是一一 映射． 1. 3 反置乱 反置乱时不需要计算置乱恢复矩阵，只需要逐 个像素根据坐标( x，y) 正向计算出( x'，y') ，然后根 据 z = ( z' － ?t + 0. 5」－ ?gx + hy + 0. 5」) × l － 1 mod L 计算出密图中点( x'，y') 对应的原始像素值 z，就得 到了( x，y，z) 与( x'，y'，z') 的一一对应关系． 1. 4 置乱分析 目前已有的置乱算法大都不改变像素值，通过 对明密文的像素直接进行比对就可能发现置乱规 律，安全性较低． 文献［8］在三维空间上通过魔方变 换来旋转置乱像素的比特位，文献［10］将像素之间 的比特位重新组合，这些三维置乱算法虽然改变了 像素值，但是由于计算机在处理每个比特位时实际 上需要对整个像素进行操作，所以总的计算量很大． 本文的三维置乱在改变像素位置的同时略微增加计 算量就能达到非线性地混合像素值的目的，不仅像 素的位置被充分打乱而且密图的灰度直方图趋向于 均衡化，所以它能更有效地抵御已知明文攻击． 同 别的置乱算法一样，它也可以嵌入到图像压缩编码 的过程中，在 DCT 域或 DWT 域对量化后系数进行 置乱，以达到加密并压缩的目的． 2 实验及算法评价 为了实验长宽不等图像的像素置乱效果，裁减 256 色的标准测试图像 lena( 256 × 256) 得到 244 × 178 的图 1( a) ，此时 M = 244，N = 178，L = 256． 用 VC ++ 编写代码进行三维置乱，当 a = 7，b = 0，c = 0，d = 21，e = 5，f = 0，g = 21，h = 37，l = 51，r = 36，s =28，t =71 时，置乱得到图 1( b) ． 当 a =7，b = 0，c =0，d =20. 34568，e =5，f =0，g =21. 9537，h = 37. 678 763，l = 51，r = 36. 557 546，s = 28. 459 297， t = 71. 554 时，置乱得到图 1 ( c) ． 当 a = 7，b = 0， c = 0，d = 20. 345 68，e = 5，f = 0，g = 21. 953 7，h = 37. 678 763，l = 17，r = 36. 557 546，s = 28. 459 297， t = 72. 6 时，置乱得到图 1( d) ． 继续裁减标准测试 图像 lena( 256 × 256) 得到一系列新的图像，并使用 下述设置进行置乱，置乱效果对比情况见表1 和表2． 图 1 像素置乱效果． ( a) 明文; ( b) 密文 1; ( c) 密文 2; ( d) 密 文 3 Fig． 1 Effect of pixel scrambling: ( a) plaintext; ( b) Ciphertext 1; ( c) Ciphertext 2; ( d) Ciphertext 3 ①设置二维非等长置乱变换参数: a = 7，b = 0， c = 20，d = 5，记为“二维置乱 1”． ②设置二维非等长仿射变换参数: a = 7，b = 0， c = 20，d = 5，e = 36，f = 28，记为“二维置乱 2”． ③设置三维类仿射变换参数: a = 7，b = 0，c = 0， d = 20，e = 5，f = 0，g = 21，h = 37，l = 51，r = 36，s = 28，t = 71，记为“三维置乱 1”． ④设置三维类仿射变换参数: a = 7，b = 0，c = 0， d = 20. 345 68，e = 5，f = 0，g = 21. 953 7，h = 37. 678 763，l = 51，r = 36. 557 546，s = 28. 459 292，t = 71. 6，记为“三维置乱 2”． 2. 1 置乱周期 图像中像素值的状态数是有限的，所以在置乱 若干次以后，图像终究会回复到初始状态． 置乱次 数可以作为图像加密算法的密钥之一，置乱周期越 长，则用于图像加密的密钥空间就越大，算法抵御穷 举攻击的能力就越强． 在 M 相同、N 也相同的情况 下，由于二维矩阵置乱相当于在 M × N 的二维空间 中进行置乱，而本文的三维算法在改变像素位置的 同时还改变了像素值，相当于在 M × N × L 的三维空 间中进行置乱，这种置乱是在 M × N 二维空间中进 行相同置乱的同时还伴随着另一维的置乱，所以置 乱周期远大于二维置乱的周期． 持续置乱以恢复出 原始图像所需的置乱次数可反映这一现象，二维置 乱、三维置乱所需的置乱次数见表 1． 2. 2 峰值信噪比 把置乱加密看成是往明文图像上叠加噪声，计 算峰值信噪比 PSNR，信噪比越小则置乱加密效果 越好． PSNR = 10lg ( ψ2 max /MSE) ，其中 ψmax为像素的 最大亮度值，MSE = ( MN) － 1 ∑∑ ( pij － cij ) 2 ，其中 pij和 cij分别为明密文像素点( i，j) 的值． 计算得出的 峰值信噪比见表 1． 从表中数据可以看出，相对于 ·1480·