D0L:10.13374.issn1001-053x.2012.12.017 第34卷第12期 北京科技大学学。报 Vol.34 No.12 2012年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2012 基于三维仿射变换的数字图像置乱算法 文昌辞)四王沁)丁华)苗晓宁) 陶春生 1)北京科技大学计算机与通信工程学院，北京1000832)二炮692厂军代室，泸州646605 3)空军二院283厂军代室，北京1008544)空军218厂军代室，北京100009 ☒通信作者，E-mail:wenchangei(@126.com 摘要针对数字图像的特点，基于有限整数域上的二维置乱变换、仿射变换和整数提升变换，提出了适用于任意大小、任意 长宽比图像的三维置乱加密算法.考虑了变换矩阵中部分参数取负整数或小数的可行性，明确给出了参数的具体设置方法 该算法引入实数作为参数，扩展了参数选择范围：置乱像素位置的同时改变像素值，改善了置乱效果，加大了置乱周期，提高 了数字图像的安全性. 关键词密码术：算法：图像处理：三维：仿射变换 分类号TP309.7 Image scrambling algorithm based on three-dimensional affine transformations WEN Chang-ei,WANG Qin,DING Hua,MIAO Xiao-ning,TAO Chun-sheng 1)School of Computer and Communication Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Second Artillery 692 Factory Office,Luzhou 646605,China 3)Air Force 283 Factory Office,Beijing 100854,China 4)Air Force 218 Factory Office,Beijing 100009,China Corresponding author,E-mail:wenchangci@126.com ABSTRACT According to the features of digital images,a kind of three-dimensional scrambling and encryption algorithm was pro- posed based on two-dimensional scrambling transformations in a finite integer domain,affine transformations,and integer lifting trans- formations.This algorithm applies to images with any length and width or at any length-to-width ratio.The feasibility that some parame- ters of the transformation matrix are negative integers or decimals is taken into account,and the method of parameter setting is explicitly shown.Real number is used in the algorithm,which expands the space of parameters,scrambles the pixel positions and changes their values,makes the scrambling result better,increases the periodicity of scrambling,and improves the security of digital image transfor- mations. KEY WORDS cryptography:algorithms:image processing:three-dimensional;affine transformations 传统加密算法如DES(数据加密标准)、IDEA 机数排序的置乱回、基于象素值排序的自适应置 (国际数据加密算法)和AES(高级加密标准)，针对 乱、基于线映射的置乱@、基于队列变换的置乱等. 一维数据流而设计，没有考虑数字图像具有数据量 以猫映射变换和二维非等长置乱变换为代表的矩阵 大、相关性强和冗余度高的特点，加密效率不高，不 变换能快速地将相邻像素分散开，像素的移动具有 适用于加密数字图像.在实际加密中，像素置乱是 混沌特性，而且耗费的计算量很小.基于猫映射变 一种很高效的办法，它可以快速地破坏图像中原有 换、幻方变换和骑士巡游的置乱对图像的长宽比例 的空间有序性和局部相关性，把图像变得杂乱无章、 有限制，这使得它们的适用范围有限.文献1]提 无法识别.目前的置乱方法有猫映射变换-及其 出有限整数域上的拟仿射变换，在实现时用多个置 扩展5、二维非等长置乱变换团、面包师变换、幻 乱变换相级联，实际上相当于进行多轮的普通置乱， 方变换、魔方变换W、基于骑士巡游的置乱、基于随 它的优势是采用的仿射变换形式使得所有的像素点 收稿日期：2011-11-24 基金项目：装备预研重点基金资助项目(9140A04040308DZ1002)
第 34 卷 第 12 期 2012 年 12 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 12 Dec． 2012 基于三维仿射变换的数字图像置乱算法 文昌辞1) 王 沁1) 丁 华2) 苗晓宁3) 陶春生4) 1) 北京科技大学计算机与通信工程学院，北京 100083 2) 二炮 692 厂军代室，泸州 646605 3) 空军二院 283 厂军代室，北京 100854 4) 空军 218 厂军代室，北京 100009 通信作者，E-mail: wenchangci@ 126． com 摘 要 针对数字图像的特点，基于有限整数域上的二维置乱变换、仿射变换和整数提升变换，提出了适用于任意大小、任意 长宽比图像的三维置乱加密算法． 考虑了变换矩阵中部分参数取负整数或小数的可行性，明确给出了参数的具体设置方法． 该算法引入实数作为参数，扩展了参数选择范围; 置乱像素位置的同时改变像素值，改善了置乱效果，加大了置乱周期，提高 了数字图像的安全性． 关键词 密码术; 算法; 图像处理; 三维; 仿射变换 分类号 TP309. 7 Image scrambling algorithm based on three-dimensional affine transformations WEN Chang-ci 1) ，WANG Qin1) ，DING Hua2) ，MIAO Xiao-ning3) ，TAO Chun-sheng4) 1) School of Computer and Communication Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Second Artillery 692 Factory Office，Luzhou 646605，China 3) Air Force 283 Factory Office，Beijing 100854，China 4) Air Force 218 Factory Office，Beijing 100009，China Corresponding author，E-mail: wenchangci@ 126． com ABSTRACT According to the features of digital images，a kind of three-dimensional scrambling and encryption algorithm was proposed based on two-dimensional scrambling transformations in a finite integer domain，affine transformations，and integer lifting transformations． This algorithm applies to images with any length and width or at any length-to-width ratio． The feasibility that some parameters of the transformation matrix are negative integers or decimals is taken into account，and the method of parameter setting is explicitly shown． Real number is used in the algorithm，which expands the space of parameters，scrambles the pixel positions and changes their values，makes the scrambling result better，increases the periodicity of scrambling，and improves the security of digital image transformations． KEY WORDS cryptography; algorithms; image processing; three-dimensional; affine transformations 收稿日期: 2011--11--24 基金项目: 装备预研重点基金资助项目( 9140A04040308DZ1002) 传统加密算法如 DES( 数据加密标准) 、IDEA ( 国际数据加密算法) 和 AES( 高级加密标准) ，针对 一维数据流而设计，没有考虑数字图像具有数据量 大、相关性强和冗余度高的特点，加密效率不高，不 适用于加密数字图像． 在实际加密中，像素置乱是 一种很高效的办法，它可以快速地破坏图像中原有 的空间有序性和局部相关性，把图像变得杂乱无章、 无法识别． 目前的置乱方法有猫映射变换［1--4］及其 扩展［5--6］、二维非等长置乱变换［7］、面包师变换、幻 方变换、魔方变换［8］、基于骑士巡游的置乱、基于随 机数排序的置乱［9］、基于象素值排序的自适应置 乱、基于线映射的置乱［10］、基于队列变换的置乱等． 以猫映射变换和二维非等长置乱变换为代表的矩阵 变换能快速地将相邻像素分散开，像素的移动具有 混沌特性，而且耗费的计算量很小． 基于猫映射变 换、幻方变换和骑士巡游的置乱对图像的长宽比例 有限制，这使得它们的适用范围有限． 文献［11］提 出有限整数域上的拟仿射变换，在实现时用多个置 乱变换相级联，实际上相当于进行多轮的普通置乱， 它的优势是采用的仿射变换形式使得所有的像素点 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.12.017
第12期 文昌辞等：基于三维仿射变换的数字图像置乱算法 ·1479· 均可能变换了位置，而猫映射变换和二维非等长置 乱变换没有改变(0,0)处像素的位置，这可能成为 包含置乱操作在内的整个算法的安全漏洞.基于排 序的置乱算法时间复杂度较高，而且为了存储对应 (4) 的像素位置，可能还需要额外的存储空间，所以空间 式中：ae和l为非零整数且gcd(a,M)=gcd(e,N)= 复杂度也较高 gcd(l,L)=1,c、g、h、r、s和t为任意实数，n、b,d为 任意正整数；gcd()为求最大公因子；g=M/gcd(M, 1置乱变换 N),p=N/gcd(M,N). 基于有限整数域上的二维非等长置乱变换)、 1.2一一映射证明 仿射变换和整数提升变换山，提出一种新的置乱变 引理团二维非等长置乱一一映射定理.对于 换，记为三维类仿射变换 二维非等长置乱变换，如果对于所有不同为0的整 定义1二维非等长仿射变换.设x∈O,M- 数1和2，若以下两式不同时成立，则二维非等长置 1],y∈O,N-1],若(x,y)映射为(x,y)满足 乱变换为一一映射 IldM-1,bNI/lad -bcl <M, -0+月 ,其中a、b、c、d、e和 (ad-be)I (I dM -L2bN) (5) Il CM -baNI/lad bel <N, a b ∫为非负整数且d≠0，则称为二维非等长仿射 (ad-bc）I(L,dM-lbN). (6) 变换.特别地当e和f为0时，称为二维非等长置乱 定理1三维类仿射变换的一一映射定理.如 变换 果把式(1)~(4)用于图像的置乱变换，其中(x,y, )和(x,y',z)分别代表置乱前、置乱后的像素坐标 定义2三维类仿射变换.设x、y和z为整数 且xeD,M-1],y∈0，N-1],z∈0，L-1],定 和像素值，那么该置乱变换是一一映射 证明： 义(x,y,z)映射为(x,y',z)的如下运算 (1)对于式(1)，任取两个不同位置的像素(x1, 000- y1)和(x2y2),只有两种情况：①x1≠x2②x1=2 但是y1≠y2 ①当x1≠x2时，因为gcd(a,M)=1,所以 ax +by +cz+0. Lr+0.5」 (ax1+Lr+0.5 modM≠(Lr+0.5」+ax2)modM, Ldx +ey+f+0.5 t+0.5 因此(x,y）≠(x,y),即像素的坐标位置是一一 Lgx+hy+z+0.5」 映射 为三维类仿射变换，其中a、b、cd、efg、h、l、r、s和 ②当x1=x2但y1≠y2时，=(ey,modV+Lcx2+ t为实数，M、N和L为正整数，L」表示取整. 0.5+Ls+0.5 J)mod N,y2=(ey2mod N +Lcx2 1.1置乱参数设置 0.5」+Ls+0.5)modN.因为gcd(e,N)=1,所以 要将三维类仿射变换用于图像的置乱加密，必 y≠y,即像素坐标位置是一一映射. 须使其为一一映射.对参数进行适当设置，可分别 ③在(x,y)→(x',y）计算可逆的情况下，因为 得到以下四个式子： gcd(l,L）=1,所以z=(z'-Lt+0.5」-Lgx+hy+ 0.5」)×l-modL,-1为l在剩余类域Z,中的模L 乘法逆元，即像素值的计算也可逆 综合①、②和③，可得出式(1)是一一映射.同 00分 理可证，式(2)也是一一映射. (2)对于式(3)，改变坐标位置的变换矩阵为以 下二维非等长置乱变换： : 对应于此时的二维非等长置乱变换，上文中的 式(5)和式(6)可变换为
第 12 期 文昌辞等: 基于三维仿射变换的数字图像置乱算法 均可能变换了位置，而猫映射变换和二维非等长置 乱变换没有改变( 0，0) 处像素的位置，这可能成为 包含置乱操作在内的整个算法的安全漏洞． 基于排 序的置乱算法时间复杂度较高，而且为了存储对应 的像素位置，可能还需要额外的存储空间，所以空间 复杂度也较高． 1 置乱变换 基于有限整数域上的二维非等长置乱变换［7］、 仿射变换和整数提升变换［11］，提出一种新的置乱变 换，记为三维类仿射变换． 定义 1 二维非等长仿射变换． 设 x∈［0，M － 1］，y∈［0，N － 1］，若( x，y) 映 射 为( x'，y') 满 足 x' ( ) y' = a b ( ) c d ( ) x y + e ( )f mod M ( ) N ，其中 a、b、c、d、e 和 f 为非负整数且 a b c d ≠0，则称为二维非等长仿射 变换． 特别地当 e 和 f 为 0 时，称为二维非等长置乱 变换． 定义 2 三维类仿射变换． 设 x、y 和 z 为整数 且 x∈［0，M － 1］，y∈［0，N － 1］，z∈ ［0，L － 1］，定 义( x，y，z) 映射为( x'，y'，z') 的如下运算 x' y' z' = a b c d e f g h l x y z + r s t mod M N L = ?ax + by + cz + 0. 5」 ?dx + ey + fz + 0. 5」 ?gx + hy + lz + 0. 5 」 + ?r + 0. 5」 ?s + 0. 5」 ?t + 0. 5 」 mod M N L 为三维类仿射变换，其中 a、b、c、d、e、f、g、h、l、r、s 和 t 为实数，M、N 和 L 为正整数，?」表示取整． 1. 1 置乱参数设置 要将三维类仿射变换用于图像的置乱加密，必 须使其为一一映射． 对参数进行适当设置，可分别 得到以下四个式子: x' y' z' = a 0 0 c e 0 g h l x y z + r s t mod M N L ， ( 1) x' y' z' = a c 0 0 e 0 g h l x y z + r s t mod M N L ， ( 2) x' y' z' = 1 + dnq nq 0 d 1 0 g h l x y z + r s t mod M N L ， ( 3) x' y' z' = 1 b 0 np 1 + bnp 0 g h l x y z + r s t mod M N L ． ( 4) 式中: a、e 和 l 为非零整数且 gcd( a，M) = gcd( e，N) = gcd( l，L) = 1，c、g、h、r、s 和 t 为任意实数，n、b，d 为 任意正整数; gcd( ) 为求最大公因子; q = M/gcd( M， N) ，p = N/gcd( M，N) ． 1. 2 一一映射证明 引理［7］ 二维非等长置乱一一映射定理． 对于 二维非等长置乱变换，如果对于所有不同为 0 的整 数 l1 和 l2，若以下两式不同时成立，则二维非等长置 乱变换为一一映射． | l1 dM － l2 bN| / | ad － bc| ＜ M， ( ad － bc) | ( l1 dM － l2 bN) ; ( 5) | l1 cM － l2 aN| / | ad － bc| ＜ N， ( ad － bc) | ( l1 dM － l2 bN) ． ( 6) 定理 1 三维类仿射变换的一一映射定理． 如 果把式( 1) ～ ( 4) 用于图像的置乱变换，其中( x，y， z) 和( x'，y'，z') 分别代表置乱前、置乱后的像素坐标 和像素值，那么该置乱变换是一一映射． 证明: ( 1) 对于式( 1) ，任取两个不同位置的像素( x1， y1，z1 ) 和( x2，y2，z2 ) ，只有两种情况: ①x1≠x2 ; ②x1 = x2 但是 y1≠y2 ． ①当 x1 ≠ x2 时，因 为 gcd ( a，M) = 1，所 以 ( ax1 + ?r + 0. 5」) modM≠( ?r + 0. 5」+ ax2 ) mod M， 因此( x' 1，y' 1 ) ≠( x' 2，y' 2 ) ，即像素的坐标位置是一一 映射． ②当 x1 = x2 但 y1≠y2 时，y' 1 = ( ey1mod N + ?cx2 + 0. 5」+ ? s + 0. 5」) mod N，y' 2 = ( ey2mod N + ? cx2 + 0. 5」+ ?s + 0. 5」) mod N． 因为 gcd ( e，N) = 1，所以 y' 1≠y' 2，即像素坐标位置是一一映射． ③在( x，y) →( x'，y') 计算可逆的情况下，因为 gcd( l，L) = 1，所以 z = ( z' － ? t + 0. 5」－ ? gx + hy + 0. 5」) × l － 1 mod L，l － 1 为 l 在剩余类域 ZL 中的模 L 乘法逆元，即像素值的计算也可逆． 综合①、②和③，可得出式( 1) 是一一映射． 同 理可证，式( 2) 也是一一映射． ( 2) 对于式( 3) ，改变坐标位置的变换矩阵为以 下二维非等长置乱变换: x' ( ) y' = 1 + dnq nq d ( ) 1 ( ) x y + ( )r s mod M ( ) N ． 对应于此时的二维非等长置乱变换，上文中的 式( 5) 和式( 6) 可变换为 ·1479·
·1480· 北京科技大学学报 第34卷 Il -lngN/MI <1, (7) t=72.6时，置乱得到图1(d).继续裁减标准测试 Il dM/N-L (1 +dng)I <1. (8) 图像lena(256×256)得到一系列新的图像，并使用 当41=0，山2≠0时，式(8)不成立.当l1≠0，l2= 下述设置进行置乱，置乱效果对比情况见表1和表2. 0时，式(7)不成立.当1≠0,2≠0时，如果1= L2ngN/M,则代入式(8)得l2I<1,显然不成立：如果 L1≠l2ngN/M,则式(7)不成立.所以对于所有不同 为0的整数1和l2,式(7)和式(8)不同时成立，该 二维非等长置乱变换是一一映射.进一步容易得 (b) (c) (d) 出：式(3)是一一映射.同理，式(4)也是一一映射. 图1像素置乱效果.(a)明文：(b)密文1：(c)密文2：(d)密 由(1)和(2)可知，上述四种置乱形式均是一一 文3 映射 Fig.1 Effect of pixel scrambling:(a)plaintext;(b)Ciphertext 1; 1.3反置乱 (c)Ciphertext 2:(d)Ciphertext 3 反置乱时不需要计算置乱恢复矩阵，只需要逐 ①设置二维非等长置乱变换参数：a=7,b=0, 个像素根据坐标(x,y)正向计算出(x,y),然后根 c=20,d=5,记为“二维置乱1” 据z=(z-Lt+0.5」-Lgx+hy+0.5)×1-modL ②设置二维非等长仿射变换参数：a=7,b=0, 计算出密图中点(x',y)对应的原始像素值z,就得 c=20,d=5,e=36,f=28,记为“二维置乱2”. 到了(x,y,)与(x',y,z)的一一对应关系. ③设置三维类仿射变换参数：a=7,b=0,c=0, 1.4置乱分析 d=20,e=5,f=0,g=21,h=37,l=51,r=36,s= 目前己有的置乱算法大都不改变像素值，通过 28,t=71,记为“三维置乱1”. 对明密文的像素直接进行比对就可能发现置乱规 ④设置三维类仿射变换参数：a=7,b=0,c=0, 律，安全性较低.文献⑧]在三维空间上通过魔方变 d=20.34568,e=5,f=0,g=21.9537,h= 换来旋转置乱像素的比特位，文献D0]将像素之间 37.678763,l=51,r=36.557546,s=28.459292,t= 的比特位重新组合，这些三维置乱算法虽然改变了 71.6,记为“三维置乱2” 像素值，但是由于计算机在处理每个比特位时实际 2.1置乱周期 上需要对整个像素进行操作，所以总的计算量很大. 图像中像素值的状态数是有限的，所以在置乱 本文的三维置乱在改变像素位置的同时略微增加计 若干次以后，图像终究会回复到初始状态.置乱次 算量就能达到非线性地混合像素值的目的，不仅像 数可以作为图像加密算法的密钥之一，置乱周期越 素的位置被充分打乱而且密图的灰度直方图趋向于 长，则用于图像加密的密钥空间就越大，算法抵御穷 均衡化，所以它能更有效地抵御己知明文攻击.同 举攻击的能力就越强。在M相同、N也相同的情况 别的置乱算法一样，它也可以嵌入到图像压缩编码 下，由于二维矩阵置乱相当于在M×N的二维空间 的过程中，在DCT域或DWT域对量化后系数进行 中进行置乱，而本文的三维算法在改变像素位置的 置乱，以达到加密并压缩的目的 同时还改变了像素值，相当于在M×N×L的三维空 2实验及算法评价 间中进行置乱，这种置乱是在M×N二维空间中进 行相同置乱的同时还伴随着另一维的置乱，所以置 为了实验长宽不等图像的像素置乱效果，裁减 乱周期远大于二维置乱的周期.持续置乱以恢复出 256色的标准测试图像lena(256×256)得到244× 原始图像所需的置乱次数可反映这一现象，二维置 178的图1(a),此时M=244,N=178,L=256.用 乱、三维置乱所需的置乱次数见表1. VC++编写代码进行三维置乱，当a=7,b=0,c= 2.2峰值信噪比 0,d=21,e=5,f=0,g=21,h=37,1=51,r= 36,s=28,t=71时，置乱得到图1(b).当a=7,b= 把置乱加密看成是往明文图像上叠加噪声，计 0,c=0,d=20.34568,e=5,f=0,g=21.9537,h= 算峰值信噪比PSNR,信噪比越小则置乱加密效果 37.678763,1=51,r=36.557546,s=28.459297, 越好.PSNR=10lg(2/MSE),其中中为像素的 t=71.554时，置乱得到图1(c).当a=7,b=0, 最大亮度值，MsE=(MW-∑∑(Pg-cg)2,其中 c=0,d=20.34568,e=5,f=0,g=21.9537,h= P,和c分别为明密文像素点(i,j)的值.计算得出的 37.678763,1=17,r=36.557546,s=28.459297, 峰值信噪比见表1.从表中数据可以看出，相对于
北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 | l1 － l2 nqN/M| ＜ 1， ( 7) | l1 dM/N － l2 ( 1 + dnq) | ＜ 1． ( 8) 当 l1 = 0，l2≠0 时，式( 8) 不成立． 当 l1≠0，l2 = 0 时，式( 7) 不成立． 当 l1 ≠0，l2 ≠0 时，如果 l1 = l2 nqN/M，则代入式( 8) 得| l2 | ＜ 1，显然不成立; 如果 l1≠l2 nqN/M，则式( 7) 不成立． 所以对于所有不同 为 0 的整数 l1 和 l2，式( 7) 和式( 8) 不同时成立，该 二维非等长置乱变换是一一映射． 进一步容易得 出: 式( 3) 是一一映射． 同理，式( 4) 也是一一映射． 由( 1) 和( 2) 可知，上述四种置乱形式均是一一 映射． 1. 3 反置乱 反置乱时不需要计算置乱恢复矩阵，只需要逐 个像素根据坐标( x，y) 正向计算出( x'，y') ，然后根 据 z = ( z' － ?t + 0. 5」－ ?gx + hy + 0. 5」) × l － 1 mod L 计算出密图中点( x'，y') 对应的原始像素值 z，就得 到了( x，y，z) 与( x'，y'，z') 的一一对应关系． 1. 4 置乱分析 目前已有的置乱算法大都不改变像素值，通过 对明密文的像素直接进行比对就可能发现置乱规 律，安全性较低． 文献［8］在三维空间上通过魔方变 换来旋转置乱像素的比特位，文献［10］将像素之间 的比特位重新组合，这些三维置乱算法虽然改变了 像素值，但是由于计算机在处理每个比特位时实际 上需要对整个像素进行操作，所以总的计算量很大． 本文的三维置乱在改变像素位置的同时略微增加计 算量就能达到非线性地混合像素值的目的，不仅像 素的位置被充分打乱而且密图的灰度直方图趋向于 均衡化，所以它能更有效地抵御已知明文攻击． 同 别的置乱算法一样，它也可以嵌入到图像压缩编码 的过程中，在 DCT 域或 DWT 域对量化后系数进行 置乱，以达到加密并压缩的目的． 2 实验及算法评价 为了实验长宽不等图像的像素置乱效果，裁减 256 色的标准测试图像 lena( 256 × 256) 得到 244 × 178 的图 1( a) ，此时 M = 244，N = 178，L = 256． 用 VC ++ 编写代码进行三维置乱，当 a = 7，b = 0，c = 0，d = 21，e = 5，f = 0，g = 21，h = 37，l = 51，r = 36，s =28，t =71 时，置乱得到图 1( b) ． 当 a =7，b = 0，c =0，d =20. 34568，e =5，f =0，g =21. 9537，h = 37. 678 763，l = 51，r = 36. 557 546，s = 28. 459 297， t = 71. 554 时，置乱得到图 1 ( c) ． 当 a = 7，b = 0， c = 0，d = 20. 345 68，e = 5，f = 0，g = 21. 953 7，h = 37. 678 763，l = 17，r = 36. 557 546，s = 28. 459 297， t = 72. 6 时，置乱得到图 1( d) ． 继续裁减标准测试 图像 lena( 256 × 256) 得到一系列新的图像，并使用 下述设置进行置乱，置乱效果对比情况见表1 和表2． 图 1 像素置乱效果． ( a) 明文; ( b) 密文 1; ( c) 密文 2; ( d) 密 文 3 Fig． 1 Effect of pixel scrambling: ( a) plaintext; ( b) Ciphertext 1; ( c) Ciphertext 2; ( d) Ciphertext 3 ①设置二维非等长置乱变换参数: a = 7，b = 0， c = 20，d = 5，记为“二维置乱 1”． ②设置二维非等长仿射变换参数: a = 7，b = 0， c = 20，d = 5，e = 36，f = 28，记为“二维置乱 2”． ③设置三维类仿射变换参数: a = 7，b = 0，c = 0， d = 20，e = 5，f = 0，g = 21，h = 37，l = 51，r = 36，s = 28，t = 71，记为“三维置乱 1”． ④设置三维类仿射变换参数: a = 7，b = 0，c = 0， d = 20. 345 68，e = 5，f = 0，g = 21. 953 7，h = 37. 678 763，l = 51，r = 36. 557 546，s = 28. 459 292，t = 71. 6，记为“三维置乱 2”． 2. 1 置乱周期 图像中像素值的状态数是有限的，所以在置乱 若干次以后，图像终究会回复到初始状态． 置乱次 数可以作为图像加密算法的密钥之一，置乱周期越 长，则用于图像加密的密钥空间就越大，算法抵御穷 举攻击的能力就越强． 在 M 相同、N 也相同的情况 下，由于二维矩阵置乱相当于在 M × N 的二维空间 中进行置乱，而本文的三维算法在改变像素位置的 同时还改变了像素值，相当于在 M × N × L 的三维空 间中进行置乱，这种置乱是在 M × N 二维空间中进 行相同置乱的同时还伴随着另一维的置乱，所以置 乱周期远大于二维置乱的周期． 持续置乱以恢复出 原始图像所需的置乱次数可反映这一现象，二维置 乱、三维置乱所需的置乱次数见表 1． 2. 2 峰值信噪比 把置乱加密看成是往明文图像上叠加噪声，计 算峰值信噪比 PSNR，信噪比越小则置乱加密效果 越好． PSNR = 10lg ( ψ2 max /MSE) ，其中 ψmax为像素的 最大亮度值，MSE = ( MN) － 1 ∑∑ ( pij － cij ) 2 ，其中 pij和 cij分别为明密文像素点( i，j) 的值． 计算得出的 峰值信噪比见表 1． 从表中数据可以看出，相对于 ·1480·
第12期 文昌辞等：基于三维仿射变换的数字图像置乱算法 ·1481· 表1置乱次数和峰值信噪比 Table 1 Scrambling number and peak signal-o-oise ratio 置乱次数 峰值信噪比 图像大小 二维置乱1 二维置乱2 三维置乱1 三维置乱2 二维置乱1 二维置乱2 三维置乱1三维置乱2 244×178 660 660 84480 337920 10.7354 10.7805 8.4580 8.4307 193×161 264 264 473088 473088 10.9703 10.9873 8.5574 8.4872 251×251 125 125 16000 4016000 10.7774 10.7706 8.5921 8.5954 227×151 8475 8475 1084800 1084800 10.3306 10.3475 8.3665 8.4354 195×201 132 132 33792 101376 10.3763 10.3471 8.4003 8.3680 195×199 132 132 33792 33792 10.4197 10.3612 8.4163 8.3424 二维矩阵置乱，本文的三维置乱能获得更好的加密 信息熵可以度量图像中灰度值的分布情况，灰度 效果 分布越均匀，图像信息熵就越大，反之信息熵就越 2.3信息熵 小.计算得出的信息熵见表2.可以看出，二维矩 阵置乱后信息熵不变，而本文的三维置乱非线性 设：表示L级灰度图像的第i个灰度值，p(:) 地改变了像素值，灰度直方图趋向于均衡化，导致 表示图像中具有第i个灰度值的像素所占的比例， 密图的信息熵增大了，所以算法能更有效地抵抗 图像的信息熵H定义为H=- ∑p(m,)logap(,). 已知明文攻击 表2信息熵和明密文图像相似度 Table 2 Information entropy and similarity between two images 信息嫡 明密文图像相似度 图像大小 二维置乱1 二维置乱2 三维置乱1 三维置乱2 二维置乱1 二维置乱2 三维置乱1 三维置乱2 244×178 7.5432 7.5432 7.5432 7.9952 0.5238 0.5288 0.1956 0.1905 193×161 7.5199 7.5199 7.5199 7.9940 0.5504 0.5521 0.2163 0.2035 251×251 7.5702 7.5702 7.5702 7.9966 0.5628 0.5621 0.2768 0.2774 227×151 7.5750 7.5750 7.5750 7.9941 0.5077 0.5096 0.2262 0.2384 195×201 7.5833 7.5833 7.5833 7.9949 0.5124 0.5091 0.2315 0.2257 195×199 7.5816 7.5816 7.5816 7.9948 0.5140 0.5075 0.2292 0.2160 2.4明密文图像相似度 得多，以模运算为基本操作.对于M×N大小的图 设明文图像为P(M×N),密文图像为C(M× 像，采用二维置乱时，平均时间复杂度为O(2MN); N),则两幅图像的相似度为 用三维类仿射置乱进行置乱时，平均时间复杂度为 XsD=1-∑∑(cg-Pg)2/∑∑p原 O(3MN).反置乱时不需要计算置乱恢复矩阵，也 两幅图像的相似度越小则差别越大.计算出的明密 不需要考虑置乱周期的大小，较之于正向变换，仅多 文图像相似度见表2.可以看到，本文三维置乱的明 一个求逆元的过程，而且对一幅图像只需求一 密文相似度比二维置乱的小. 次.因此反置乱的时间复杂度与置乱时近似相等. 从相邻像素相关性、图像自相关度、不动点比和 进行二维置乱和反置乱时，需要一个同图像大 灰度平均变化值的实验结果也可以看出，本文提出 小M×N相等的辅助空间用于存储置乱后的像素. 的三维置乱视觉效果优于二维置乱.具体实验数 按本文的算法进行三维置乱和反置乱时，虽然是相 据略. 当于在M×N×L个像素的三维空间中进行置乱，但 2.5计算复杂度 是也只需要M×N个像素的空间用于存储置乱结 在实际中，可限制g和h小数部分的二进制形 果，所以空间复杂度也为O(2MN) 式取00、01、10或11，r、s和t小数部分的二进制形 3结论 式取0或1，使得置乱时乘积计算的复杂度相当于 定点乘.假设模运算比定点乘法和加法的计算量大 (1)提出了一种适用于任意大小、任意宽高比
第 12 期 文昌辞等: 基于三维仿射变换的数字图像置乱算法 表 1 置乱次数和峰值信噪比 Table 1 Scrambling number and peak signal-to-noise ratio 图像大小 置乱次数 峰值信噪比 二维置乱 1 二维置乱 2 三维置乱 1 三维置乱 2 二维置乱 1 二维置乱 2 三维置乱 1 三维置乱 2 244 × 178 660 660 84 480 337 920 10. 735 4 10. 780 5 8. 458 0 8. 430 7 193 × 161 264 264 473 088 473 088 10. 970 3 10. 987 3 8. 557 4 8. 487 2 251 × 251 125 125 16 000 4 016 000 10. 777 4 10. 770 6 8. 592 1 8. 595 4 227 × 151 8 475 8 475 1 084 800 1 084 800 10. 330 6 10. 347 5 8. 366 5 8. 435 4 195 × 201 132 132 33 792 101 376 10. 376 3 10. 347 1 8. 400 3 8. 368 0 195 × 199 132 132 33 792 33 792 10. 419 7 10. 361 2 8. 416 3 8. 342 4 二维矩阵置乱，本文的三维置乱能获得更好的加密 效果． 2. 3 信息熵 设 vi 表示 L 级灰度图像的第 i 个灰度值，p( vi ) 表示图像中具有第 i 个灰度值的像素所占的比例， 图像的信息熵 H 定义为 H = － ∑ p( vi ) log2 p( vi ) ． 信息熵可以度量图像中灰度值的分布情况，灰度 分布越均匀，图像信息熵就越大，反之信息熵就越 小． 计算得出的信息熵见表 2． 可以看出，二维矩 阵置乱后信息熵不变，而本文的三维置乱非线性 地改变了像素值，灰度直方图趋向于均衡化，导致 密图的信息熵增大了，所以算法能更有效地抵抗 已知明文攻击． 表 2 信息熵和明密文图像相似度 Table 2 Information entropy and similarity between two images 图像大小 信息熵 明密文图像相似度 二维置乱 1 二维置乱 2 三维置乱 1 三维置乱 2 二维置乱 1 二维置乱 2 三维置乱 1 三维置乱 2 244 × 178 7. 543 2 7. 543 2 7. 543 2 7. 995 2 0. 523 8 0. 528 8 0. 195 6 0. 190 5 193 × 161 7. 519 9 7. 519 9 7. 519 9 7. 994 0 0. 550 4 0. 552 1 0. 216 3 0. 203 5 251 × 251 7. 570 2 7. 570 2 7. 570 2 7. 996 6 0. 562 8 0. 562 1 0. 276 8 0. 277 4 227 × 151 7. 575 0 7. 575 0 7. 575 0 7. 994 1 0. 507 7 0. 509 6 0. 226 2 0. 238 4 195 × 201 7. 583 3 7. 583 3 7. 583 3 7. 994 9 0. 512 4 0. 509 1 0. 231 5 0. 225 7 195 × 199 7. 581 6 7. 581 6 7. 581 6 7. 994 8 0. 514 0 0. 507 5 0. 229 2 0. 216 0 2. 4 明密文图像相似度 设明文图像为 P( M × N) ，密文图像为 C( M × N) ，则两幅图像的相似度为 XSD = 1 － ∑∑ ( cij － pij ) 2 / ∑∑ p 2 ij ． 两幅图像的相似度越小则差别越大． 计算出的明密 文图像相似度见表 2． 可以看到，本文三维置乱的明 密文相似度比二维置乱的小． 从相邻像素相关性、图像自相关度、不动点比和 灰度平均变化值的实验结果也可以看出，本文提出 的三维置乱视觉效果优于二维置乱． 具体实验数 据略． 2. 5 计算复杂度 在实际中，可限制 g 和 h 小数部分的二进制形 式取 00、01、10 或 11，r、s 和 t 小数部分的二进制形 式取 0 或 1，使得置乱时乘积计算的复杂度相当于 定点乘． 假设模运算比定点乘法和加法的计算量大 得多，以模运算为基本操作． 对于 M × N 大小的图 像，采用二维置乱时，平均时间复杂度为 O( 2MN) ; 用三维类仿射置乱进行置乱时，平均时间复杂度为 O( 3MN) ． 反置乱时不需要计算置乱恢复矩阵，也 不需要考虑置乱周期的大小，较之于正向变换，仅多 一个求逆元 l － 1 的过程，而且对一幅图像只需求一 次． 因此反置乱的时间复杂度与置乱时近似相等． 进行二维置乱和反置乱时，需要一个同图像大 小 M × N 相等的辅助空间用于存储置乱后的像素． 按本文的算法进行三维置乱和反置乱时，虽然是相 当于在 M × N × L 个像素的三维空间中进行置乱，但 是也只需要 M × N 个像素的空间用于存储置乱结 果，所以空间复杂度也为 O( 2MN) ． 3 结论 ( 1) 提出了一种适用于任意大小、任意宽高比 ·1481·
·1482· 北京科技大学学报 第34卷 图像的三维置乱算法，考虑了变换矩阵中部分参数 chaotic maps /2009 International Workshop on Chaos-fractals 取负整数或小数的可行性，明确给出了参数的具体 Theories and Applications.Washington:IEEE Press,2009:195 设置方法. [5]Zhai Y K,Lin S Y,Zhang Q.Improving image encryption using multi-chaotic map //2008 Workshop on Power Electronics and In- (2)该算法引入实数作为参数，扩展了参数选 telligent Transportation System.Washington:IEEE Press,2008: 择范围：置乱前不需要将像素按三维的形式重新排 143 列，运算量不大：置乱像素位置的同时改变像素值， 6]Fan J,Huang F.Fan transform in image scrambling encryption 改善了置乱效果，扩大了置乱周期，提高了密文图像 application /International Conference on Wireless Communications 的安全性. Signal Processing.Washington:IEEE Press,2009:article No 5371644 (3)从置乱周期、峰值信噪比、信息熵、明密文 Shao L P,Qin Z,Gao HJ,et al.2-dimension non equilateral im- 图像相似度、计算复杂度等多个角度综合比较可以 age scrambling transformation.Acta Electron Sin,2007,35(7): 得出，本文提出的三维置乱优于二维置乱. 1290 (4)从原理设计上来说，由于该算法融合了二 (邵利平，覃征，高洪江，等.二维非等长图像置乱变换.电子 维非等长置乱变换和拟仿射变换的优点，同时没有 学报，2007,35(7)：1290) [8]Zhao LL,Fang Z L,Gu Z C.A novel algorithm of digital image 基于排序的置乱复杂度高的缺点，并且还能快速地 scrambling and encryption based on magic cube transformation.J 搅匀像素值，所以设计加密算法时应优先选用.进 Optoelectron Laser,2008,19(1)131 一步的研究内容是将混沌系统与本置乱算法结合起 (赵立龙，方志良，顾泽苍。一种新的基于魔方变换的数字图像 来，增加代换和扩散操作 置乱加密算法.光电子·激光，2008,19(1)：131) ]Liu T,Min L Q.Discussion of a chaotic image scrambling algo- rithm based on sort transformation.Uni Sci Technol Beijing, 参考文献 2010,32(5):673 1]Shang Z W,Ren H E,Zhang J.A block location scrambling algo- (刘婷，闵乐泉.对一种基于排序变换的混沌图像置乱算法的 rithm of digital image based on Arnold transformation //The 9th 商榷.北京科技大学学报，2010,32(5)：673) International Conference for Young Computer Scientists.Washing- [10]Li J,Feng Y,Yang X Q.An improved image encryption scheme ton:IEEE Press,2008:2942 based on line maps /Fifth International Conference on Informa- Chen D M.A feasible chaotic encryption scheme for image / tion Assurance and Security.Washington:IEEE Press,2009: 2009 International Workshop on Chaos-fractals Theories and Appli- 605 cations.Washington:IEEE Press,2009:172 [11]Zhu G B,Cao C X,Hu Z Y,et al.An image scrambling and 3]Xu J B,Liang W,Zhu L W,et al.A new non-inear cross-en- encryption algorithm based on affine transformation.J Comput Ai- eryption method for video images /2009 International Forum on ded Des Comput Graphics,2003,15(6):711 Information Technology and Applications.Washington:IEEE (朱桂斌，曹长修，胡中豫，等.基于仿射变换的数字图像置乱 Pres5,2009:239 加密算法.计算机辅助设计与图形学学报，2003,15(6)： [4]Zhang W,Zhu Z L,Yu H.An image encryption scheme based on 711)
北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 图像的三维置乱算法，考虑了变换矩阵中部分参数 取负整数或小数的可行性，明确给出了参数的具体 设置方法． ( 2) 该算法引入实数作为参数，扩展了参数选 择范围; 置乱前不需要将像素按三维的形式重新排 列，运算量不大; 置乱像素位置的同时改变像素值， 改善了置乱效果，扩大了置乱周期，提高了密文图像 的安全性． ( 3) 从置乱周期、峰值信噪比、信息熵、明密文 图像相似度、计算复杂度等多个角度综合比较可以 得出，本文提出的三维置乱优于二维置乱． ( 4) 从原理设计上来说，由于该算法融合了二 维非等长置乱变换和拟仿射变换的优点，同时没有 基于排序的置乱复杂度高的缺点，并且还能快速地 搅匀像素值，所以设计加密算法时应优先选用． 进 一步的研究内容是将混沌系统与本置乱算法结合起 来，增加代换和扩散操作． 参 考 文 献 ［1］ Shang Z W，Ren H E，Zhang J． A block location scrambling algorithm of digital image based on Arnold transformation / / The 9th International Conference for Young Computer Scientists． Washington: IEEE Press，2008: 2942 ［2］ Chen D M． A feasible chaotic encryption scheme for image / / 2009 International Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications． Washington: IEEE Press，2009: 172 ［3］ Xu J B，Liang W，Zhu L W，et al． A new non-linear cross-encryption method for video images / / 2009 International Forum on Information Technology and Applications． Washington: IEEE Press，2009: 239 ［4］ Zhang W，Zhu Z L，Yu H． An image encryption scheme based on chaotic maps / / 2009 International Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications． Washington: IEEE Press，2009: 195 ［5］ Zhai Y K，Lin S Y，Zhang Q． Improving image encryption using multi-chaotic map / /2008 Workshop on Power Electronics and Intelligent Transportation System． Washington: IEEE Press，2008: 143 ［6］ Fan J，Huang F． Fan transform in image scrambling encryption application / / International Conference on Wireless Communications ＆ Signal Processing． Washington: IEEE Press，2009: article No． 5371644 ［7］ Shao L P，Qin Z，Gao H J，et al． 2-dimension non equilateral image scrambling transformation． Acta Electron Sin，2007，35( 7) : 1290 ( 邵利平，覃征，高洪江，等． 二维非等长图像置乱变换． 电子 学报，2007，35( 7) : 1290) ［8］ Zhao L L，Fang Z L，Gu Z C． A novel algorithm of digital image scrambling and encryption based on magic cube transformation． J Optoelectron Laser，2008，19( 1) : 131 ( 赵立龙，方志良，顾泽苍． 一种新的基于魔方变换的数字图像 置乱加密算法． 光电子·激光，2008，19( 1) : 131) ［9］ Liu T，Min L Q． Discussion of a chaotic image scrambling algorithm based on sort transformation． J Univ Sci Technol Beijing， 2010，32( 5) : 673 ( 刘婷，闵乐泉． 对一种基于排序变换的混沌图像置乱算法的 商榷． 北京科技大学学报，2010，32( 5) : 673) ［10］ Li J，Feng Y，Yang X Q． An improved image encryption scheme based on line maps / / Fifth International Conference on Information Assurance and Security． Washington: IEEE Press，2009: 605 ［11］ Zhu G B，Cao C X，Hu Z Y，et al． An image scrambling and encryption algorithm based on affine transformation． J Comput Aided Des Comput Graphics，2003，15( 6) : 711 ( 朱桂斌，曹长修，胡中豫，等． 基于仿射变换的数字图像置乱 加密算法． 计算机辅助设计与图形学学报，2003，15 ( 6 ) : 711) ·1482·
