D0I:10.13374/i.issm1001053x.2004.04.053 第26卷第4期 北京科技大学学报 VoL26 No.4 2004年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2004 广义Lorenz和Chen系统混沌同步控制算法 印红云李擎王志良李勤 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要借助李雅普诺夫稳定性理论提出了一种自适应混沌同步控制方法.该方法通过构 造适当的控制函数，从理论上保证了混沌同步控制的稳定性.MATLAB仿真实现了Loz系 统和Chen系统的混沌同步以及广义Lorenz系统和广义Chen系统的混沌同步控制. 关键词自适应控制：混沌同步：统一系统：广义Lorenz系统：广义Chen系统 分类号TP27 非线性复杂系统中的混沌同步是当前非线 元，=(25a+10)0,-x) 性科学及其交叉领域的一个重要课题和热点川. y,=(28-35ax1-xz+(29a-1y (2) 自混沌同步方法被提出以来，混沌同步控制广泛 z1=xy1-(8+a)z/3 响应系统为： 应用于激光物理、通信、化学反应、生物医学等领 名2=(25a2+100-) 域.近年来，混沌同步控制方法不断涌现“，文献 =(28-35a)x2-x2z2+(2942-1y (3) [I]利用自适应控制实现了不同参数的Lorenz系 =xy-(8+a)z/3 统的混沌同步，文献[2]实现了不同初始条件的 混沌同步控制的目的就是通过施加合适的 Chen系统混沌同步控制.本文在此基础上，借助 控制律（即控制函数）U=f八a,a,x,y,z,y,), 李雅普诺夫稳定性理论，提出了一种自适应混沌 使得1imk,-x=0,limy-yl=0,lim-zl=0. 同步控制方法，实现了统一系统（即广义Lorenz 2.2控制律（即控制函数）的确定 系统和广义Chen系统)的混沌同步. 为使响应系统与驱动系统混沌同步，在响应 系统的每个方程右端加控制函数r(),(t),(). 1统一系统的数学描述 因此，响应系统可改写为： 统一系统的数学模型可写为： 2=(25a+10)0h-x+4,() [=(25a+10)0y-x) =(28-35a)x-2+(29a-1y+w(t0 (4) =(28-35ax-xz+29a-1)y 22=x2M-(8+42z2/3+w3(t) (1) 2=y-(8+az/3 定义响应系统(4)与驱动系统(2)的状态误差为： 其中，a∈[0,1]为系统的参数.由文献[3]可知，对 e.=2-x1,e,=yz-yi,e.=22-z1 (5) 于参数a∈0，I],统一系统均为混沌态：当a∈[0， 由此可得误差系统方程为： 0.8)时，统一系统称为广义Lorenz系统：当a∈(0.8， [e=(25a+10)(e,-e.)+25(a2-a02-xtw(d) l]时，统一系统称为广义Chen系统. e,=(28-35a)e+(29a-1)e,-xz+xz,- 35(a2-ax+29(a2-ah+4z(0) (6) 2自适应混沌同步控制方法 e.=-(8+a)e,/3-(a-az/3+xy-xyt4() 显然，两个参数不同的统一系统的混沌同步 2.1统一系统混沌同步的数学描述 问题转化为误差系统(6)在原点2，=0，e,=0,e,=0 为考察统一系统的同步行为，取两个参数不 的稳定性问题，如果有适当的控制函数4()， 同的统一混沌系统.其中驱动系统为： (),(),可使误差系统（⑥）稳定，则响应系统(4) 与驱动系统(2)同步.选取的控制函数()，()， 收稿日期2003-0903印红云女，25岁，硕士研究生 ★国家自然科学基金资助项目QN0.69975002) 0)如下所示：
第 ‘ 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 哪 如 愁 血， 留 广义 和 系统混 印红 云 李 擎 王 志 良 沌 同步控制算法 李 勤 北 京科技大学 信 息工 程 学 院 ， 北 京 摘 要 借助 李 雅 普诺夫稳定 性 理论 提 出 了一 种 自适应 混 沌 同步控 制方法 该 方 法通 过构 造适 当 的控制 函 数 ， 从 理论 上保 证 了混沌 同步控 制 的稳 定 性 州叭丁 仿 真 实现 了 系 统 和 系 统的混沌 同步 以及 广 义 。 花 系 统 和 广义 系统 的混沌 同步控制 关键词 自适应控制 混沌 同步 统 一 系统 广 义 系统 广 义 系统 分 类号 冲 非 线 性 复 杂 系 统 中 的混 沌 同步 是 当前 非 线 性 科 学 及 其 交 叉 领 域 的一 个 重 要 课题 和 热 点 〔，， 自混沌 同步方法被提 出 以来 ， 混沌 同步控制广 泛 应用 于激光物 理 、 通信 、 化 学 反应 、 生物 医学 等领 域 近 年 来 ， 混沌 同步控制 方 法 不 断 涌 现 润 ， 文献 【 利 用 自适应 控 制 实现 了不 同参 数 的 系 统 的混沌 同步 ， 文 献 实现 了不 同初 始 条件 的 系 统 混 沌 同步控 制 本文 在此基 础 上 ， 借 助 李雅普诺 夫稳 定性 理 论 ， 提 出 了一 种 自适应 混 沌 同步控 制 方 法 ， 实现 了统 一 系 统 即广 义 系统 和 广 义 系 统 的混 沌 同 步 名 万 ’ 伽 ，一 一 ，一 ， 一 少 一 ， 响 应 系 统 为 卜 一 伪 ，”取 一 交一 一 一 一 ‘ 比 戈 、 一 十“ 统 一 系统 的数 学描述 统 一 系 统 的数 学 模 型 可 写 为「， 混 沌 同步 控 制 的 目的就 是 通 过 施 加 合 适 的 控 制 律 即 控 制 函数 ， 吸 ， ，， ， ， ，外 ， ， 使得 加风一 卜。 ， 恤一 卜。 ， 加阮一 卜 控 制律 即 控 制 函 数 的确 定 为使 响应 系 统 与 驱 动 系 统 混沌 同步 ， 在 响应 系 统 的 每 个 方程 右 端 加 控 制 函 数 “ ， 跳 ， 肠 因此 ， 响应 系 统 可 改写 为 分一 ，砂‘”冷一 夕一 一 一 一 ’沙 廿二 砂一 丸 一 场 ‘”取 一“ 卜“ 】 伊 一 一 负仄一 ‘ 一 ’ 处 九“ 尤沙之一 场为扩 场 其 中 ， 任 ， 为 系 统 的参数 由文 献 可 知 ， 对 于 参 数 ， ， 统 一 系统 均 为 混 沌 态 当 任 ， 时 ， 统 一 系 统 称 为广 义 系 统 当口 任 ， 时 ， 统 一 系 统 称 为广 义 系 统 定 义 响应 系 统 与驱 动 系统 的状 态误 差 为 氏 二 为 一 ， 场 外一 ， 氏 几一 由此 可 得 误 差 系 统 方 程 为 自适应 混 沌 同步控 制 方 法 统 一 系统 混 沌 同步 的数 学描 述 为考 察统 一 系 统 的 同步行 为 ， 取 两个参 数不 同 的统 一 混 沌 系 统 其 中驱 动 系 统 为 收稿 日期 刁 刁 印 红 云 女 ， 岁 ， 硕 士 研究生 国家 自然科学 基金 资助 项 目困 ， 之一 ’” 一 ， 一 伽一“ 乌一 一 一 ’ ‘ 一 ‘ 一 「 ‘ 一山加 场一 加 氏二 一 ， 叮 一 一角为 沙之一 ， 式 显然 ， 两 个 参 数 不 同 的统 一 系 统 的混 沌 同步 问题 转 化 为 误 差 系统 在 原 点 ， 马 二 ， 氏 。 的 稳 定 性 问 题 如 果 有 适 当 的 控 制 函 数 ， 玩 ， “ ， 可 使 误 差 系统 稳 定 ， 则 响应 系统 与 驱 动 系 统 同步 选 取 的控 制 函数 ， 姚 ， 场 如 下所 示 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2004．04．053
VoL.26 No.4 印红云等：广义Lorenz和Chen系统混沌同步控制算法 ·447· 4(④=-(25a+10e,-e)-e,-25(a2-a-x) 40 (a)Lorenz系统 wa(0=-(28-35a)e,-29a1e,+x五-xz+ 20 35(a2-ax2-29(a2-ay2 (7) 0 w(t)=(8+a)e,/3+(a2-az/3-xy+xy-e -20 把控制函数（⑦）代入误差系统(6)并整理得 e=-e, 48 (b)Chen系统 e,=-e, (8) 20H e.=-e. 从上式可看出，e,=0,e,=0,e.=0显然就是方 -20 程(8)的解，且该解与驱动系统的参数α，以及响应 40 40 系统的参数a,均无关，所以只要误差系统稳定， (c) 20 就能实现任意两个不同参数条件下统一系统的 0 混沌同步控制. -20 2.3混沌同步的稳定性证明 40 取李雅普诺夫函数V为： 0500 15002500 35004500 V(ce) U次 (9) 图1 Lorenz和Chen系统x分量的同步控制结果 显然V是正定函数，并有： Fig.1 Synchronization results of variable x in Lorenz sys- V-eerree,ree. (10) tem and Chen system 把式(8)代入式(10)得： v=-e-eg-e≤0 (11) 60 (a)Lorenz系统 等号在e.=0,e,=0,e,=0时成立，显然是负定函 40 数.由李雅普诺夫函数稳定性判别法可知，误差 10 系统（⑧）在原点渐近稳定，因而两个统一系统能 够达到稳定的混沌同步. 60 b)Chen系统 40 3统一系统同步控制仿真 20 3,1 Lorenz系统与Chen系统同步控制 0 当驱动系统(2)中参数a,=0时，该统一系统 60 (c) 为Lorenz系统，当响应系统(4)中参数a2=1时，该 40 统一系统为Chen系统.利用四阶龙格一库塔算法 20 在MATLAB上进行仿真研究，取驱动系统初始条 件为x(0)=1,y(0)=1,z(0)=1,响应系统初始条件 050015002500 35004500 为(0)=2，(0)=2，z0)=2,步长h=0.001.驱动系 利次 统和响应系统各自迭代500步后加入自适应控制 图2 Lorenz和Chen系统欧氏距离的同步控制结果 函数u(),42(),()进行控制，当迭代到5000步时 Fig.2 Synchronization results of Euclidean distance in 驱动系统和响应系统全部变量均达到同步，其同 Lorenz system and Chen system 步误差小于0.01.记 4结论 R=Vxty+z,ex=V(x2-x)+(y:-y)+(z2-z), 其仿真结果如图1和图2所示， 借助于李雅普诺夫稳定性理论，本文提出了 3,2广义Lorenz系统与广义Chen系统同步控制 一种自适应混沌同步控制方法，通过构造适当的 当驱动系统(2)参数α=0.5时，该统一系统是 控制函数，从理论上保证了混沌同步控制的稳定 广义Lorenz系统：当响应系统(4)参数a=0.9时， 性，并用MATLAB进行了仿真，实现了Lorenz系 该统一系统是广义Chen系统.其他仿真条件同 统和Chen系统以及广义Lorenz系统和广义Chen 上，仿真结果如图3和图4所示. 系统的混沌同步控制.本文的研究说明，只要所
印红 云 等 广义 ’ 和 。 系统 混 沌 同步控制算法 一 马一 动一氏一 氏 一 ， 协一为 姚 一 一 ， 氏一 马十工 一 ， 山 一 ， 一 伪一 加 场 ， 习 仇 一 卫 几乃 一工公、 少 一氏 把控制 函 数 代 入 误 差 系 统 并整 理 得 系统 从 一 一“︸ 已 一 易 马 一 一 从 上 式可 看 出 ， 氏 ， 马 ， 氏 显 然 就 是方 程 的解 ， 且 该解 与驱 动 系 统 的参 数“ ，以及 响应 系统 的参数 均 无 关 ， 所 以只 要 误 差 系 统 稳 定 ， 就 能 实现 任 意 两 个 不 同参 数 条件 下 统 一 系 统 的 混 沌 同步 控 制 混 沌 同步 的稳 定性 证 明 取 李 雅 普 诺 夫 函 数 犷为 毛 一 八 。 。 系统 厂 一 李 ‘ 十、 。 对 次 显 然 是 正 定 函数 ， 并有 犷二 价氏 马离十‘ 户 之 把 式 代入 式 得 夕 一 代一才一式‘ 等 号在氏 ， 马 ， 时成 立 ， 显 然 夕是 负定 函 数 由李 雅 普诺 夫 函 数 稳 定性 判 别 法 可 知 ， 误 差 系统 在 原 点渐近 稳 定 ， 因而 两 个 统 一 系 统 能 够 达 到 稳 定 的混 沌 同步 图 和 系统 分 量 的 同 步控制结 果 · 七 柱 代 认 系统 一 户 、 夕 一 系统 一 … ，石了︸丈 统 一 系统 同 步控 制 仿真 系统 与 系统 同步控 制 当驱 动 系 统 中参数 一 时 ， 该 统 一 系 统 为 。 系统 ， 当响应 系 统 中参 数氏 时 ， 该 统 一 系统 为 系统 利 用 四阶龙格 一 库 塔 算法 在 上进 行 仿真研 究 ， 取 驱 动 系 统初始条 件 为 ， ，幻 ‘ ， 响应 系 统初始条件 为丸 ， 两 ， 步 长 驱 动 系 统和 响应系统 各 自迭代 步后加入 自适 应控 制 函数 ， 处 ， 场 进 行 控 制 ， 当迭 代 到 步 时 驱动 系 统和 响应 系 统全 部 变 量均达 到 同步 ， 其 同 步误 差 小 于 记 丫分少份 ， ‘ 丫 一 梅 一丁 一 ，， 其 仿 真 结 果如 图 和 图 所 示 广 义 系统 与广义 系统 同 步控 制 当驱 动 系统 参 数 、 时 ， 该 统 一 系统 是 广 义 系 统 当响应 系 统 参 数山 时 ， 该 统 一 系 统 是 广 义 系 统 其 他 仿 真 条件 同 上 ， 仿 真 结 果 如 图 和 图 所 示 心 次 图 和 系统 欧 氏距 离的 同步控 制结 果 五 俪 扭 代肚 结论 借 助 于 李 雅普诺 夫 稳 定性理 论 ， 本文提 出 了 一种 自适应 混沌 同步控 制 方 法 ， 通 过 构造 适 当 的 控制 函数 ， 从理论 上 保 证 了混 沌 同步控 制 的稳 定 性 ， 并用 州 汀 进 行 了仿 真 ， 实现 了 系 统 和 系 统 以及 广 义 系 统 和 广 义 系 统 的混 沌 同步 控 制 本 文 的研 究 说 明 ， 只 要所
·448· 北京科技大学学报 2004年第4期 40 (a)广义Lorenz系统 9 (a广义Lorenz系统 20 60 0 40 -20 20 48 (b)广义Chen系统 (b)广义Chen系统 20 0 40 -20 20 0 48 (c) (c) 60 40 -20 20 40 0 0500 1500250035004500 0500 150025003500 4500 H次 H次 图3广义Lorenz和广义Chen系统x分量同步控制结果 图4广义Lorenz和广义Chen系统欧氏距离同步控制 Fig.3 Synchronization results of viriablex in generalized 结果 Lorenz system and generalized Chen system Fig.4 The synchronization result of Euclidean Distance in generalized Lorenz system and generalized Chen system 采用的控制方法得当，不但初始条件不同或者参 版)，2002,30(12)：49 数不同的同一混沌系统可以达到同步，而且两个 3陶朝海，陆君安，吕金虎统一混沌系统的反馈同步 不同的混沌系统也可达到同步， )物理学报，2002,51(7)：1497 4赵辽英混沌同步控制及其在保密通信中的应用 参考文献 杭州电子工业学院学报，2003,23(1)：20 5闵乐泉，杨森，张先华.基于广义同步的数字图像隐 【何建明，毛宗源，张波.自适应控制实现两个参数不 藏方案门.北京科技大学学报，2003,25(5)：477 同的Lorenz系统的混沌同步[J.自动化技术与应用， 6 Hong Y G,Qin H S,Chen G R.Adaptive synchronization 2002,21(6:4 of chaotic systems via state or output feedback control [J]. 2王燕舞，关治洪，王华，等，自适应控制实现陈氏混 Int J Bifurcation Chaos,2001,11(4):1149 沌系统的完全同步).华中科技大学学报（自然科学 Chaos Synchronization Control Algorithm for Generalized Lorenz System and Generalized Chen System YIN Hongyun,LI Qing,WANG Zhiliang,LI Qin Information Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 10008,China ABSTRACT An adaptive synchronization algorithm is proposed and the stability of the algorithm is proved based on Lyapunov stability theory.The chaotic synchronization of Lorenz system and Chen system and that of generali- zed Lorenz system and generalized Chen system are realized by MATLAB.Simulation results show that not only the same chaotic system with different initial values or different parameters but also two different chaotic systems can be synchronized if the control method is used properly. KEY WORDS adaptive control;chaos synchronization;unified system;generalized Lorenz system;generalized Chen system
月月吕 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 广义 系统 ，八科︵ 日︵︸ ‘ 叫 广义 系统 ，‘ 向 广义 系统 伪 广义 系统 屯 ，‘，月 一 一 【 二 孟 一 ‘ 曰 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 曰‘ 形次 图 广 义 代皿和 广 义 址 系统 分 量 同步控制 结果 啥 ， 俪 心 血 代心 皿 血 恤 叫 心 创次 图 广 义 皿 和 广 义 址。 系统 欧 氏 距 离 同 步控制 结 果 啥 · 。 助 心 加 双月 刃 ， 采用 的控 制 方 法得 当 ， 不但 初始 条 件 不 同或 者 参 数 不 同的 同一 混 沌 系统 可 以达 到 同步 ， 而 且 两 个 不 同 的混 沌 系 统 也 可 达 到 同步 参 考 文 献 何 建 明 ， 毛 宗源 ， 张 波 自适应控制 实现两 个 参 数 不 同的 系统 的混沌 同步 【刀 自动化技术与应用 ， ， 王 燕舞 ， 关 治 洪 ， 王 华 ， 等 ， 自适应 控制 实现 陈 氏混 沌 系统 的完全 同步明 华 中科技大学 学报 自然 科学 版 ， ， 陶朝海 ， 陆君 安 ， 吕金虎 统 一混沌系统 的反馈 同步 月 物理 学报 ， ， 赵 辽 英 混 沌 同 步控制 及 其在 保 密通信 中的应用 几 杭 州 电子 工 业 学 院学报 ， ， 阂 乐 泉 ， 杨 森 ， 张先 华 基 于 广 义 同步 的数 字 图像隐 藏 方 案田 北 京科技 大 学学报 ， ， ， ， 杠吐 刀 叮 ， ， 月万 刀 侧沙 ， ， 砰月 召 “ ， 西 ， 蜘 ， 吨 ， 让以 加 址 司 此 侧叭 如 川 月免 而 叮别旧 免 丘过 】 垃 助 沈 珍比
