数时F(x)→+∞,故F(x)在R上有最小值 x→① 3、设∫(x)处处连续mf(x)=+∞,mnf(x)=f(a)<a。求证:f(f(x) 至少在两个不同点处取到最小值。 证:显然x∈R,f(f(x)≥f(a)。又依条件可知存在A<a使 f(A)f(a)>a,存在B>a使f(B)>a)f(a)。由介值定理b∈(A,a), b2∈(a,B)使∫(b)=f(b2)=a,于是f(f(b1)=f(f(b2)=f(a),且b≠b2 4、设∫(x)处处连续,f(f(x)=x,求证:f(x)有不动点。 证:作F(x)=f(x)-X,则F(f(x))=x-f(x)。故F(x) 在点x,∫(x)异号,再由介值定理即证。 几何意义:按题意知,点(x,f(x)),(f(x),x)都在曲线C y=f(x)上,而点(x,f(x)),(f(x),x)关于对角线对称,因此 线C必与对角线相交 5、设f(x)在[0,1]连续,且f(0)=f(1),则Ⅶn∈N,3∈[0,1使 ∫(5+-)=∫(5)。 证:设o(x)=f(x+)-f(x),0≤x≤1-.则:k q()=f(1)-f(0)=0 所以φ(-)中必有异号的两项(或全为零),由介值定理即证 6、设n是自然数,f(x)在[0,n]上连续,f(0)=f(n),求证 [0,n]上至少有n对不同的{u,v}使f(u)=f(v),且v-u是正整 数 证:(归纳法)设n=k时已成立,考察n=k+1。已知f(x)在区 间[0,k+1]连续,f(0)=f(k+1) ①仿上题方法可证:3∈[0,k]使f(2)=f(2+1) ②化为n=k情形:作h(x)= ∫f(x)0≤xs5 0f(x+1)5<x≤k 则h(x)在[0,k] 连续,且h(0)=h(k)。故存在(x1,y1)…,(xk2y)使h(x1)=h(y),并且 y1-x是正整数 ③、表成∫(x)的等式 若y≤5,则f(x1)=f(y),且(x,y)≠(5,5+1)10 数 时 F（ x） → +  x→ ， 故 F（ x） 在 R 上有最小值。 3、设 f (x) 处处连续 f x f x f a a x = + =  → lim ( ) , min ( ) ( ) 。求 证 ： f ( f (x)) 至少在两个不同点处取到最小值。 证：显然 x  R , f ( f (x))  f (a) 。又依条件可知存在 A<a 使 f(A)>f(a)>a, 存 在 B>a 使 f(B)>a>f(a)。由介值定理 ( , ) b1  A a ， ( , ) b2  a B 使 1 2 1 2 1 2 f (b ) = f (b ) = a ,于是 f ( f (b )) = f ( f (b )) = f (a) ,且b  b 。 4、 设 f (x) 处处连续， f ( f (x)) ＝ｘ，求证： f (x) 有不动点。 证：作 F（ x） ＝ f (x) －ｘ，则 F（ f (x) ）＝ｘ－ f (x) 。 故 F（ x） 在点ｘ， f (x) 异号，再由介值定理即证。 几何意义：按题意知，点（ｘ， f (x) ），（ f (x) ，ｘ）都在曲线 C： y＝ f (x) 上 ， 而 点 （ ｘ ， f (x) ），（ f (x) ， ｘ ） 关 于 对 角 线 对 称 ， 因 此 曲 线 C 必与对角线相交。 ５ 、设 f (x) 在 [ 0，1 ]连 续 ，且 f（ 0 ）＝ f（ 1），则 n  N ,  [0,1] 使 ) ( ) 1 ( f  n f + = 。 证：设 . ( ) (1) (0) 1 ) ( ) , 0 1 1 ( ) ( 1 0 f f n k n f x x n x f x n k = + −   −  = − − =  则：  ＝０， 所 以 ( ) n k  中 必 有 异 号 的 两 项 （ 或 全 为 零 ）， 由 介 值 定 理 即 证 。 6、 设 n 是自然数， f (x) 在 [ 0， n ]上连续， f（ 0） ＝ f （ n）， 求 证 ： [ 0， n ]上至少有 n 对不同的 { u， v }使 f（ u） ＝ f（ v）， 且 v - u 是正整 数 。 证 ：（ 归 纳 法 ） 设 n＝ ｋ 时 已 成 立 ， 考 察 n＝ ｋ + 1。已知 f（ x） 在 区 间 [ 0， ｋ +1]连续， f（ 0） ＝ f（ ｋ + 1）。 ① 仿上题方法可证：  [0,k]使f () = f ( +1) ② 化 为 n＝ k 情形：作    +     = f x x k f x x h x   ( 1) ( ) 0 ( ) ,则 h(x)在 [ 0， k ] 连续，且 h(0)＝ h(k)。故存在 ( , ), , x1 y1  ( , ) k k x y 使 ( ) ( ) i i h x = h y ，并且 i i y − x 是正整数。 ③ 、表成 f (x) 的等式。 若  , i y 则 ( ) i f x ＝ ( ) i f y ， 且 ( , ) i i x y  (, +1)