④f(x)在任意N(a,6)内无上(下)界,当且仅当lmf(x)=+∞ (limf(x)=-∞)。 注:由上(下)极限概念可以进一步引入函数的上(下)半连续性, 并在闭区间上建立上(下)半连续函数的上(下)界、最大(小)值 定理 §3实数基本定理与函数的连续性 主要知识点 连续概念及应用 连续函数性质的应用; 实数基本定理及其应用 范例: 1、设y=f(x)在(a,b)内具有介值性质,且1-1对应。求证 i)、∫(x)严格单调,值域为某个区间J。 i)、f(0y)在J内严格单调 ⅲ1)、f(x)、∫-(y)都连续。 证:i)(反证)不妨设存在x1<x2<x3,f(x1)<f(x2),f(x2)>f(x3),取 u∈(mx(f(x1),f(x3),f(x2)),Bx'∈(x1,x2)x"∈(x2,x3)使H=f(x)=f(x) i)由x=f-(y)当且仅当y=f(x),及f(x)的单调性即知。 ⅲil)设: (f(x0)-E,f(x)+E)cJ。彐x1,x2使f(x)=f(x0)-E,f(x2)=f(x)+E。不 妨设∫(x)单调增加,于是x1<x0<x2,取δ=mn{x0-x1,x2-x0),则当 x∈(x0-6,x0+δ时x1<x<x2故由单调性知f(x1)<f(x)<f(x2),即 f(x0)-E<f(x)<f(x0)+E 注意到∫-(y)与f(x)具有同样的性质,故∫(y)也连续。 2、设f(x)在(-∞,+∞)连续,且加m了(x)=0,求证 i)若n为奇数,则存在ξ∈R,使5"+∫(5)=0。 ⅱ)若n为偶数,则存在ξ∈R,使Ⅴx∈R,x"+f(x)≥5+∫(2) 证:F(x)=x”+fx),(x2→1,故当冈充分大时,F(x)与x"同 号。于是,当n为奇数时F(x)变号,由介值定理即证;而当n为偶9 ④ f (x) 在任意 ( , ) 0 N a  内 无 上 （ 下 ） 界 ， 当 且 仅 当 x→a lim f (x) = +  （ x→a lim f (x) =－  ）。 注 ：由 上（ 下 ）极 限 概 念 可 以 进 一 步 引 入 函 数 的 上（ 下 ）半 连 续 性 ， 并在闭区间上建立上（下）半连续函数的上（下）界、最大（小）值 定理。 § 3 实 数 基 本 定 理 与 函 数 的 连 续 性 主要知识点： 连续概念及应用； 连续函数性质的应用； 实数基本定理及其应用。 范例： 1、 设 y = f (x) 在 (a,b) 内具有介值性质，且 1— 1 对应。求证： ⅰ ）、 f (x) 严格单调，值域为某个区间 J。 ⅱ )、 ( ) 1 f y − 在 J 内严格单调。 ⅲ ）、 f (x) 、 ( ) 1 f y − 都连续。 证 ： ⅰ ）（ 反 证 ） 不 妨 设 存 在 , ( ) ( ), ( ) ( ) 1 2 3 1 2 2 3 x  x  x f x  f x f x  f x ， 取 ( max( ( ), ( )) , ( ) ) , ( , ), ( , ) ( ) ( ) 1 3 2 1 2 2 3   f x f x f x x  x x x  x x 使 = f x  = f x  ⅱ )由 x = ( ) 1 f y − 当且仅当 y = f (x) ， 及 f (x) 的单调性即知。 ⅲ）设： ( ( ) − , ( ) +  )   , ( ) = ( ) − , ( ) = ( ) +  0 0 1 2 1 0 2 0 f x f x J 。 x x 使f x f x f x f x 。不 妨 设 f (x) 单调增加，于是 x1  x0  x2 ,取 = min{ x0 − x1 , x2 − x0 ) ,则当     −   +  − +     ( ) ( ) ( ) ( , ) . ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 0 1 2 1 2 f x f x f x x x x 时 x x x 故由单调性知 f x f x f x 即 注意到 ( ) 1 f y − 与 f (x) 具有同样的性质，故 ( ) 1 f y − 也连续。 2、 设 f (x) 在 (− , + ) 连续，且 0 ( ) lim = → n x x f x ，求证： ⅰ）若 n 为奇数，则存在 R ， 使  f ( ) n + = 0。 ⅱ ) 若 n 为偶数，则存在 R ， 使 x  R , x + f (x)  n  f ( ) n + 。 证 ： F（ x） = 1 ( ) ( ) , → + → x n n x F x x f x ， 故 当 x 充分大时， F（ x） 与 n x 同 号 。 于 是 ， 当 n 为奇数时 F（ x ） 变 号 ， 由 介 值 定 理 即 证 ； 而 当 n 为 偶