《数学分折》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 §6.2 Rolle Lagrange Cauchy定理的进一步应用 教学章节：第六章微分中值定理及其应用-6.2 Rolle Lagrange Cauchy定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法：掌握L'Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极 限 教学要求：熟练掌握L'Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限，深刻 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件：熟练掌握运用导数判断函数 单调性与单调区间的方法：能利用函数的单调性证明某些不等式 教学重点：利用函数的单调性，L'Hospital法则 教学难点：L'Hospital法则的使用技巧：用辅助函数解决问题的方法： 教学方法：问题教学法，结合练习 教学过程： 一、中值定理与函数的单调性 定理1设f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上递增（减）一f(x)≥0（≤0）： 注1这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间. 例1设f(x)=x-x,试讨论函数f的单调区间. 注2从实现充分性的证明中发现，若f(x)>0(<0)→fx)>fx)x)<fx》,即f严 格递增（减），从而有如下推论： 推论设函数f在区间I上可微，若∫'(x)>0(<0),则f在I上严格递增（减）. 注3上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件. 定理2若函数f在(a,b)内可导，则f在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：(i)对 一切x∈(a,b),有f'(x)≥0（≤0）：(i)在(a,b)内的任何子区间上f"(x)≠0. 注4一个问题：f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内严格递增（减），那么f(x)在[a,b]上是 否一定严格递增（减）呢？ 答案：不一定。 推论若f(x)在(a,b)内可导，f(x)在(a,b)内严格递增（减），且y=f(x)在右端点a右连续， 则f在[a,b]上变为严格递增（减），对左端点b也有类似讨论. 例2证明等式：当x≠0时，e>1+x 3《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 §6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用—6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法；掌握 L’Hospital 法则,或正确运用后求某些不定式的极 限. 教学要求：熟练掌握 L’Hospital 法则,并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限,深刻 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数 单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式. 教学重点: 利用函数的单调性,L’Hospital 法则 教学难点: L’Hospital 法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；. 教学方法: 问题教学法,结合练习. 教学过程: 一、中值定理与函数的单调性 定理 1 设 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上递增（减）    f x ( ) 0( 0) . 注 1 这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性,确定单调区间. 例 1 设 3 f x x x ( ) = − ,试讨论函数 f 的单调区间. 注 2 从实现充分性的证明中发现,若 2 1 f x f x f x ( ) 0( 0) ( ) ( )     2 1 ( ( ) ( )) f x f x  ,即 f 严 格递增（减）,从而有如下推论： 推论 设函数 f 在区间 I 上可微,若 f x ( ) 0( 0)   ,则 f 在 I 上严格递增（减）. 注 3 上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件. 定理 2 若函数 f 在(a,b)内可导,则 f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对 一切 x a b ( , ) ,有 f x ( ) 0( 0)   ；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上 f x ( ) 0  . 注 4 一个问题：f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内严格递增（减）,那么 f(x)在[a,b]上是 否一定严格递增（减）呢？ 答案：不一定. 推论 若 f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内严格递增（减）,且 y=f(x)在右端点 a 右连续, 则 f 在[a,b]上变为严格递增（减）,对左端点 b 也有类似讨论. 例 2 证明等式：当 x  0 时, 1 x e x  +