《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 卵证明>0时，m>- 例4已知f+∫≠0，证明：f(x)=0至多只有一个根 证明方程：x-0只有-个根x=0: 二、中值定理与不定式极限 (一)什么是不定式极限 在第3章函数的根限的学习中我们肉道：000)=0，但册不一定是无穷小量，甚至 于两个无穷小量极限不存在，例如： )当x→0，sm=00.=00,g=10,即-0： 2当x0f-0.=00.=00： (3)当x→0，x=00x=00,m不存在. 由此可见，两个无穷小量之比的极限是不确定的，于是我们把这种类型的极限称为“。”型 的不等式极限. 除了型不等式极限外，还有许多类型的不等式极限，如：(i)二型：(i)0-∞型：（甜） 0∞型：(iv)0°型：(v)广型：(vi)0,∞型等，其中最基本的是。型和型，其它类型都 可化成这两种基本类型来解决 (仁)。不定式极限的计算 当只得号时因意在于极果自的层失效！务母一学，在之能我是 助于一1政等价变换来解决这两种解决有些同医是有效的，但造墙的是起一得化为 一类型时，或寻求等价变换时往往需要很大的运算量，甚至很难找到等价量 州= 州 为此，我们引进求解这类极限的更为有效的工具-L'Hospital(洛必达法则).（有的同学 4 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 例3 证明： x  0 时, 3 sin 3! x x x  − 例4 已知 f f +  0 ,证明： f x( ) 0 = 至多只有一个根 例5 证明方程： sin 0 2 x x − = 只有一个根 x = 0 . 二、中值定理与不定式极限 (一) 什么是不定式极限 在第 3 章函数的极限的学习中我们知道：0(1)+0(1)=0(1),但 0(1) 0(1) 不一定是无穷小量,甚至 于两个无穷小量极限不存在,例如： （1）当 x →0 , sin 0(1) x = , x = 0(1) , 0 sin lim 1 0 x x → x =  ,即 sin 0(1) x x  ； （2）当 x →0 , 2 x = 0(1) , x = 0(1) , 2 0 lim 0 x x → x = ,即 0(1) x x = ； （3）当 x →0 , 2 x = 0(1) , x = 0(1) , 2 0 lim x x → x 不存在. 由此可见,两个无穷小量之比的极限是不确定的,于是我们把这种类型的极限称为“ 0 0 ”型 的不等式极限. 除了 0 0 型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如：（ⅰ）   型；（ⅱ）  −  型；（ⅲ） 0 型；（ⅳ） 0 0 型；（ⅴ） 1  型；（ⅵ） 0  , 0  型等,其中最基本的是 0 0 型和   型,其它类型都 可化成这两种基本类型来解决. (二) 0 0 不定式极限的计算 当 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 是 0 0 型时,困难在于极限商的运算失效！例： 2 0 1 cos lim x x → x − . 在此之前,我们是借 助于 0 sin lim 1 x x → x = 或等价变换来解决.这两种解决有些问题是有效的,但遗憾的是把 0 ( ) lim ( ) x x f x → g x 化为 0 sin lim x x → x 类型时,或寻求等价变换时往往需要很大的运算量,甚至很难找到等价量. 例 2 1 cos lim x x → tan x + . 例 1/ 2 2 0 (1 2 ) lim ln(1 ) x x e x → x − + + . 为此,我们引进求解这类极限的更为有效的工具－L’Hospital（洛必达法则）.（有的同学