《数学分折》上册教案 第六意微分中值定理及其应用 浙南大学数学系 可能会有疑问：既然这么好的工具，为什么不早介绍呢？因为L'Hospital法则要使用函数的导 数，而且其理论依据在中值定理，所以放在中值定理的应用中来讲)， (型极限的)洛必达法则 定理1设 1Df,8)在U,(c⊙)上连续，且m)=8)=0, 2)f(x),g(x)在U(a)上可导，且8'(x)≠0， 得 (k为有限或±0)， 一得-得-大 f()=k 正明先证丹gW ,由1)，我们补充定义fa=a)=0,则f,8成为在[a-6,d连 续，(a-d,a上可导函数.x∈(a-d,a,x),(x)在x,a满足 Cauchy中值定理条件，所以有 f(x)f(x)-f(a)fla+ax-a)] gx)g(x)-g(a)g1a+x-a】,0<0<1, 巴 网腿得经地来有侣 注把x→a改为x→a+0或x→a-0结论也成立. 定理2设 1)f),86)在(a,+o)连续，且血④)=血8)=0 2)f,g)在a+o)可导，且gx)≠0， ”(k为有限或±0,0)， f(x)=k 证明先算极限，然后再验证条件《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 可能会有疑问：既然这么好的工具,为什么不早介绍呢？因为 L’Hospital 法则要使用函数的导 数,而且其理论依据在中值定理,所以放在中值定理的应用中来讲）. （ 0 0 型极限的）洛必达法则 定理 1 设 1） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  上连续,且 = → lim f (x) x a lim ( ) = 0 → g x x a , 2） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  上可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x a =   → ( ) ( ) lim （ k 为有限或   ）, 则 k g x f x g x f x x a x a =   = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim . 证明 先证 k g x f x x a = → ( ) ( ) lim ,由 1）,我们补充定义 f (a) = g(a) = 0 ,则 f , g 成为在 [a − ,a] 连 续, (a −  ,a) 上可导函数.x (a − ,a) , f (x) , g(x) 在 [x,a] 满足 Cauchy 中值定理条件,所以有 [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a x a f a x a g x g a f x f a g x f x  + −  + − = − − =   , 0  1, 由 3）, k g a x a f a x a x a =  + −  + − → − [ ( )] [ ( )] lim 0   ,所以 k g x f x x a = → − ( ) ( ) lim 0 . 同理 k g x f x x a = → + ( ) ( ) lim 0 ,综合起来有 k g x f x x a = → ( ) ( ) lim . 注 把 x →a 改为 x →a + 0 或 x →a −0 结论也成立. 定理 2 设 1） f (x) , g(x) 在 (a,+) 连续,且 = →+ lim f (x) x lim ( ) = 0 →+ g x x , 2） f (x) , g(x) 在 (a,+) 可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x =   →+ ( ) ( ) lim （ k 为有限或  , ）, 则 k g x f x x = →+ ( ) ( ) lim . 证明 先算极限,然后再验证条件