《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 L re- 瑞 其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件.不妨设a>0,(),在0，》上连续，且 m=m8)=0,且f,8》在0，)可导，且 [gr=g}X-)0,有 注把x→+换成x→-0和x→0也有相应的结论 若函数f和g满足：（)m)=m8)=0:(2)在点，的某空心邻城内两者都可导， 且：o=得A得得A 例1=？ shx-x chx-1 shx 解 例2虫- 1 解 m1e2证卿1-e产m-20=克x=. 例3m写-arcdg)=? 他写0m哪e子： 1 1+x2=1 要 例4椰-e 例5 子、巴型不定式极限的'Hospital法则 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 6 ( ( ) ( ( ) lim [ ( [ ( lim ( ( lim ( ) ( ) lim 2 2 0 0 0 1 ) 1 1 ) 1 )] 1 )] 1 ) 1 ) 1 t t t t t t t t g f g f g f g x f x x t t t  −  − =   = = →+ → + → + → + ) 1 ( ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 0 t k x g x f x g f t x t t = =   =   = → + →+ 。 其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件.不妨设 a  0 , ( ) 1 t f , ( ) 1 t g 在 (0, ) 1 a 上连续,且 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) 0 t t t t f g → + → + = = ,且 ( ) 1 t f , ( ) 1 t g 在 (0, ) 1 a 可导,且 [ ( )] ( )( ) 0 2 1 1 1  =  −  t t t g g ,有 k g f t t t =   → + [ ( )] [ ( )] lim 1 1 0 . 注 把 x → + 换成 x →− 和 x → 也有相应的结论. 若函数 f 和 g 满足：（1） 0 0 lim ( ) lim ( ) 0 x x x x f x g x → → = = ；（2）在点 0 x 的某空心邻域内两者都可导, 且 g x ( ) 0  ；（3） 0 ( ) lim ( ) x x f x A → g x  =  ,则 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x f x f x A → → g x g x  = =  . 例 1 ? sin lim 0 = − − → x x shx x x 解 1 cos lim sin lim cos 1 1 lim sin lim 0 0 0 0 = − − = − = − − = − − → → → → x chx x shx x chx x x shx x x x x x . 例 2 ? 1 lim 0 2 = − x→ + x e x 解 2 1 2 1 lim 1 lim 1 lim 2 0 2 0 2 0 = − − = − = − → + → + → + t t t x x t e e t e x ( ) 2 x = t . 例 3 lim ( ) ? 2 − = →+ x arctg x x  解 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 2 2 1 2 2 = − + − = − − = →+ →+ →+ x x arctg x x arctg x x x x x   . 例 4 0 lim 1 x x x e → + − 例 5 3 0 1 lim x x e → x − 3、   型不定式极限的 L’Hospital 法则