《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 定理3设 1)f),8()在U,(a上连续，且f闭=0，mg)=∞ 2)f(x,()在U(a)可导，且g'(x)≠0， 得 、(有限或士∞，0)， 则中得 证明只对闪<心和x→a-0情况证明。 6>0,由3)，6>0，当a-8<5<a时，有 f"且-<E g'5)"3 x∈(a-d,a),在[a-d,上应用Cauchy中值定理，得 f)-f-k=f但-k g(x)-g(x) 8)，这里￥=a-, 即 f-kg-)-gx川=[组-klg-gs】 故 Lg(5) 得-[得-} 8(x) 又于品，=有-0点0g 8(r) ,所以36，使得当a-d<x<a 时，有 s号 g(x) 令6=mim6,6),当a-6<x<a时，有 -器-a ≤骨+号-8《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7 定理 3 设 1） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  上连续,且 =  → lim f (x) x a , =  → lim g(x) x a , 2） f (x) , g(x) 在 ( ; ) U0 a  可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x a =   → ( ) ( ) lim （有限或  , ）, 则 k g x f x x a = → ( ) ( ) lim . 证明 只对 k   和 x →a −0 情况证明.   0,由 3）,  1  0,当 a − 1    a 时,有 ( ) 3 ( )    −    k g f , ( , ) x a − 1 a ,在 [ , ] 1 a − x 上应用 Cauchy 中值定理,得 k g f k g x g x f x f x −   − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1   , 这里 1 = a − 1 x , 即 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 1 1 k g x g x g f f x f x k g x g x −       −   − − − =   故 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 1 1 k g x g x g f f x k g x f x k g x −       −   − − − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 g x f x k g x g x g x k g f k g x f x − +      −       −   − =   . 又由于 =  → − lim ( ) 0 g x x a ,有 0 ( ) ( ) ( ) lim 1 1 0 = − → − g x f x kg x x a , 0 ( ) ( ) lim 1 0 = → − g x g x x a ,所以  2 ,使得当 a − 2  x  a 时,有 ( ) 2 ( ) ( ) 1 1   − g x f x kg x , 2 1 ( ) ( )1  g x g x 令 min( , )  =  1  2 ,当 a −  x  a 时,有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 g x f x k g x g x g x k g f k g x f x − − − +   −         + = 2 3 2 3