《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用】 海南大学数学系■ 得大 定理4设 1)f),8()在a,+四)上连续，且m8)= 2)fx),g(x在(a,+o)上可导，且g'(x)≠0， 品得有限我，. 则二得典得大 证明可类似于由定理1证明定理2的过程给出证明，这里省略。 In x 例4血=？e>0) 1 解 例5=若-？a≥0 期若地g.-小g -=0 e 无穷大量是“梁山泊排座次”：x→+∞ <hhx<hx<x4<0<a<a)<e<e< .<hhn<hn<nm<n(0<a1<a2)<l<. 例6证明函数 =京0. 0(x=0), 在(-，+0)上无穷次可微. 运男当0子中 当x=0时， 0fx)-f0)=limx=四1Gs) e-2 《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 8 即 k g x f x x a = → − ( ) ( ) lim 0 . 定理 4 设 1） f (x) , g(x) 在 (a,+) 上连续,且 =  →+ lim g(x) x , 2） f (x) , g(x) 在 (a,+) 上可导,且 g(x)  0 , 3） k g x f x x =   →+ ( ) ( ) lim （有限或   ,  ）, 则 k g x f x g x f x x x =   = →+ →+ ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim . 证明 可类似于由定理 1 证明定理 2 的过程给出证明,这里省略. 例 4 ? ln lim = →+  x x x (  0) 解： 0 1 lim lim ln lim 1 1 = = = →+ − →+ →+    x x x x x x x x . 例 5 lim = ? →+ x x e x  (  0) 解 0 ( 1) ( [ ]) lim lim lim 1 [ ] 1 = − − = = = − − →+ − →+ →+ x x x x x x e x e x e x            . 无穷大量是“梁山泊排座次”： x → +          x e x x x x e e x ln ln ln (0 ) 1 2 1 2      ln ln n  ln n  n 1  n 2 (0 1  2 )  n! 例 6 证明函数     =  = − 0 ( 0), ( 0), ( ) 2 1 x e x f x x 在 (−,+) 上无穷次可微. 证明 当 x  0 时, 2 1 3 2 ( ) x e x f x −  = ； 当 x = 0 时, ) 1 ( 1 lim lim ( ) (0) (0) lim 2 1 0 0 2 t x t t e x e x f x f f t x x x = = = − = − → − → →