(3)三个平面平行 (4)三个平面构成三棱柱 解:考察非齐次线性方程组 A1a+ Bly+C12=-DI A2I B2y+C22=-D2 (*) A3I+ B3y+C32 它的系数矩阵与增广矩阵分别记为A与A. (1)三个平面有一个公共点←→方程组(*)有唯一解rank(4)=rank(4)=3→|≠0. (2)三个平面有一条公共直线←→方程组(*)有解,而且(*)的导出方程组的基础解系只含一个 量←→rank(A)=rank(4)=2 (3)三个平面平行台→是=鲁=8≠B 1≤i<j≤3 (4)三个平面构成三棱柱÷→方程组(*)无解,而(*)的导出方程组的基础解系含一个向量 台→rank(A)=2,rank(4)=3,而且A中任意两行都不成比例 习题44 1.判别下列哪些映射为线性映射? (1)在向量空间V中,()=a,其中a为固定向量 (2)w:K (x,y)→(-1,2,3) (x1,x2,x3)一→(2x1+x2-x3,-x2+x3,x1+2x2-x3) (x,y,2)→→(x2+y2-2,xy) (5)、(x1+yE2+23)=(x+y)e1+(x-y+2)e2+(y-2)s3,其中1,E2,e3为线性空间V的基 (6)几何空间R2中,男为平面按逆时针方向绕原点旋转45°的变换 解:(1)如a=0,是;如a≠0,不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)是 2.对于上题中的线性映射,求出它们在相应基下的矩阵(如未指明基,则取自然基) 解:(1)a=0时为零矩阵 (3)(0 12-1 Cos(3) 4f ; (4) 4fu*4 . : nHt&@AB    A1x + B1y + C1z = −D1 A2x + B2y + C2z = −D2 A3x + B3y + C3z = −D3 (∗) 8j]^B]^" A B A˜. (1) 4fGHff( ⇐⇒ @AB (∗) G,H- ⇐⇒ rank(A) = rank(A˜) = 3 ⇐⇒ |A| 6= 0. (2) 4fGH1f(.t ⇐⇒ @AB (∗) G-, %? (∗) %@ABz-j{ Hf  ⇐⇒ rank(A) = rank(A˜) = 2. (3) 4f ⇐⇒ Ai Aj = Bi Bj = Ci Cj 6= Di Dj 1 6 i < j 6 3. (4) 4fu*4 ⇐⇒ @AB (∗) ,-, % (∗) %@ABz-j Hf ⇐⇒ rank(A) = 2, rank(A˜) = 3, %? A ￾
7 mU*ej.
4–4 1. |GHF]"t&F]? (1) k pq V , A(ξ) = α, < α "I ; (2) A : K2 −→ K3 (x, y) 7−→ (−1, 2, 3) (3) A : K3 −→ K3 (x1, x2, x3) 7−→ (2x1+x2−x3, −x2+x3, x1+2x2−x3) (4) A : K3 −→ K2 (x, y, z) 7−→ (x 2 + y 2 − z, xy) (5) A(xε1 + yε2 + zε3) = (x + y)ε1 + (x − y + z)ε2 + (y − z)ε3, < ε1, ε2, ε3 "t&pq V z; (6) 'pq R 2 , R "[R!@"K 45◦ =J. : (1)  α = 0, ;  α 6= 0, U. (2) U. (3) . (4) U. (5) . (6) . 2. <yat&F], s%8ke,z]^ (z-Tz, Jzgz). : (1) α = 0 R"o]^. (3)   2 1 −1 0 −1 1 1 2 −1  . (5)   1 1 0 1 −1 1 0 1 −1  . (6) µ cos 45◦ − sin 45◦ sin 45◦ cos 45◦ ¶ . · 7 ·