其中, K(1)=L(x-) Lx-)1]表示视其中(x-D为x的函数而被L作用后得到的结果 证明按带余项的 Taylor公式 f(x) fo(a(x-a)' ∫rmox-°bt,(1 因为 几Cr=0x=d=广r-0x=0 又根据L(p)=0,P(x)∈Pn,若以L作用于(1.28)等式两边,可得到 分4f()x-Dd LO=- 按定理假设条件,上述积分可以换序而成为 L()=(o0.(x-m 定理证毕。 函数K()=n4(x-0]称为泛函L的Pem0核。 推论3除定理7的假设外,若核K()于{a,b不变号,则对一切f(x)∈C"{b 均有 (n+1) L(O)= (x)(a≤5≤b) (1.29) 事实上,对(1.27)右端应用第一积分中值定理,则有 L()=f(),k(t (1.30) 特别地,若对于上式中取∫(x)=x,可知 L(x”)=(n+1)K() 将之代入(1.30)即得(1.29)。其中， ( ) , ! 1 ( ) n x L x t n K t = − +   n x L x t − + ( ) 表示视其中 n x t − + ( ) 为 x 的函数而被 L 作用后得到的结果。 证明 按带余项的 Taylor 公式 ( )( ) , ! 1 ! ( )( ) ( ) ( 1) 0 ( )   + − − = + = x a n n n r r r f t x t dt r n f a x a f x （1.28） 因为 ( )( ) . ! 1 ( )( ) ! 1 ( 1) ( 1)   + + + − = − b a n n x a n n f t x t dt n f t x t dt n 又根据 L( p) = 0 ， Pn p(x) ，若以 L 作用于（1.28）等式两边，可得到 ( )( ) . ! 1 ( ) ( 1)  + + = − b a n n L f t x t dt n L f 按定理假设条件，上述积分可以换序而成为 ( ) ( )  . ! 1 ( ) ( 1)  + + = − b a n x n f t L x t dt n L f 定理证毕。 函数   n x L x t n K t = − + ( ) ! 1 ( ) 称为泛函 L 的 Peano 核。 推论 3 除定理 7 的假设外，若核 K(t)于a ,b 不变号，则对一切 f x C a b n ( ) , +1  ， 均有 ( ) ( ) . ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) L x a b n f L f n n   + = + +   （1.29） 事实上，对（1.27）右端应用第一积分中值定理，则有 ( ) ( ) ( ) . ( 1)  + = b a n L f f  K t dt （1.30） 特别地，若对于上式中取 1 ( ) + = n f x x ，可知  = + + b a n L(x ) (n 1)! K(t)dt 1 将之代入（1.30）即得（1.29）