∫[o()d=∫"ps"(对)+[/(x)-S"(x (124) 从而不等式(1.23)成立。 最后,若设(1.23)中的等号成立,则(1.24)可知 从而∫(x)-S(x)∈Pn-1为一n-1次多项式。又由f(x)及S(x)所满足的插值条件,这个 n-1次多项式于N(n)个互异点处为0,于是其必恒为0,即f(x)=S(x)定理6证毕。 若于定理6中取n=2,则(1.23)成为 rs(对)∫(对 (1.25) 我们知道,一个函数当其一阶导数较小时,其二阶导数与其曲率值是很接近的 y≈=y/(1+y 而曲率小,在几何上理解为“平滑”当然是很自然的,因此常称自然样条函插值是最 光滑曲线插值。 下面给出在理论和应用中都十分有用的 Peano定理 设L表示对任意f(x)∈C[b]定义的线性算子 L()=∑rf(x)dx), (126) 其中H(x)是有界变差函数 定理7( Peano)设对一切n次多项式p(x)∈P,均有L(p)=0,则对所有 f(x)∈C[a,b],L()恒可表现为 L()=∑o)k(oMt (1.27) ( )  ( )  ( ) ( ) . 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )    = + − N N N x x n n x x n x x n f x dx S x dx f x S x dx （1.24） 从而不等式（1.23）成立。 最后，若设（1.23）中的等号成立，则（1.24）可知 ( ) ( ) 0 ( ). 1 ( ) ( ) N n n f x − S x  x  x  x 从而 1 ( ) ( ) − Pn− f x S x 为一 n-1 次多项式。又由 f (x)及S(x) 所满足的插值条件，这个 n-1 次多项式于 N( n) 个互异点处为 0，于是其必恒为 0，即 f (x)  S(x) . 定理 6 证毕。 若于定理 6 中取 n=2，则（1.23）成为  ( )  ( ) . 2 2    b a b a S x f x dx ‘’ ‘’ （1.25） 我们知道，一个函数当其一阶导数较小时，其二阶导数与其曲率值是很接近的 (1 ) . 3 2 2 '' '' ' y   = y + y 而曲率小，在几何上理解为“平滑”当然是很自然的，因此常称自然样条函插值是最 光滑曲线插值。 下面给出在理论和应用中都十分有用的 Peano 定理。 设 L 表示对任意 f x C a b n ( ) , 定义的线性算子 ( ) ( ) ( ) , ( )  = = n r o b a r r L f f x d x （1.26） 其中 (x)  r 是有界变差函数。 定理 7（Peano） 设对一切 n 次多项式 Pn p(x) ，均有 L( p) = 0 ，则对所有 f x C a b n ( ) , +1  ， L( f ) 恒可表现为 ( ) ( ) ( ) , ( 1)  = + = n r o b a n L f f t K t dt （1.27）