957年给出的 定理 设1≤n≤N,且a≤x1≤x2 ≤b.又设 S0(x)∈N2n-1(x1 x)是满足插值条件 (1.22) 的自然样条函数,则对任何满足(122)的函数f(x)∈Cb] f(,) 必有 rs(x)∫[(对 (1.23) 且等号仅当f(x)=S(x)时才成立。 证明根据自然样条函数的定义, (x)=0,x≤x1或x≥x 为证(1.23),只须证明 ∫s(x)ds(对)t 显然 rm(idr ∫s"(x)+ er s(n( om (x)-stn(x)fd 对上述右端第三个积分作分部积分,得 2(--∑∫s"m(x/(x)-s(x 按自然样条函数的定义,S(mn(x)于每个区间(x,xm)内为常数,而按插值条件, ∫(x)-S(x)又在该区间的两端x与x+处为0。所以上述积分为0,即1957 年给出的。 定 理 6 设 1 n  N ， 且 . a  x1  x2  xN  b 又 设 ( ) ( , , , ) 0 2n 1 1 2 N S x N x x  x  − 是满足插值条件 S(x ) y ( j 1, , N) j = j =  （1.22） 的自然样条函数，则对任何满足（1.22）的函数 f x C a b n ( ) , ： f (x ) y ( j 1, , N) j = j =  必有  ( )  ( ) . 2 ( ) 2 ( )    b a n b a n S x f x dx （1.23） 且等号仅当 f (x)  S(x) 时才成立。 证明 根据自然样条函数的定义， N n S x = x  x 或x  x 1 ( ) ( ) 0 , 为证（1.23），只须证明        N N x x n x x n S x dx f x dx 1 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 显然       2 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )     − = + − + N N N N x x n n n x x n n x x n x x n S x f x S x dx S x dx f x S x dx f x dx 对上述右端第三个积分作分部积分，得     − = − + − − − 1 1 1 (2 1) ' ' 1 2( 1) ( ) ( ) ( ) N j x x n n S x f x S x dx j j 按自然样条函数的定义， ( ) (2 1) S x n− 于每个区间 ( , ) j j+1 x x 内为常数，而按插值条件， f (x) − S(x) 又在该区间的两端 j j+1 x 与x 处为 0。所以上述积分为 0，即