证明由定理3,为证本定理,只须证明线性方程组 (x)+∑c(x1-x1)2=y,(=1…N), (k=0,…,N) 对任意给定的y,y2,…y皆有唯一解。由线性代数理论,只须证明与(1.20)相应 的齐次线性方程只有零解即可。设 S0(x)∈N2n-1( 且满足 即设S(x)相应表达式(见(112))系数满足与(1.20)相对应的齐次方程。考虑 (So)=CISs(fDr 其中[a满足(13)式。于推论2中,取f(x)=S(x)=S(x),并利用(1.21)可知 (S)=C[(对)=0 于是 0(x)≡0(a≤x≤b) 由此可知S(x)是一个次数不超过n-1的多项式。 又由(1.21),S0(x)竟然于N(≥m)个互异点处为0,是故 S0(x)=0 定理证毕。 定理5从理论上指明了自然样条函数插值的存在唯一性。这不仅有重大的理论意 义,而且在实际计算中有一定的知道意义。 下面介绍自然样条函数插值的所谓最光滑性质,它是首先由J。C。 Holladay于S(x) y ( j 1,2, ,N) . = j =  （1.19） 证明 由定理 3，为证本定理，只须证明线性方程组 0 ( 0, , ) ( ) ( ) ( 1, , ) , 1 1 2 1 1 c x k N p x c x x y j N N i k i i j N i n n j i j i   = = + − = =   = = − − （1.20） 对任意给定的 N y , y , , y 1 2  皆有唯一解。由线性代数理论，只须证明与（1.20）相应 的齐次线性方程只有零解即可。设 ( ) ( , , , ) 0 2n 1 1 2 N S x N x x  x  − 且满足 ( ) 0 ( 1, , ) , S0 x j = j =  N （1.21） 即设 ( ) 0 S x 相应表达式（见（1.12））系数满足与（1.20）相对应的齐次方程。考虑 ( )  ( ) , 2 ( ) 0 =  0 b a n  S S x dx 其中 a,b 满足（1.13）式。于推论 2 中，取 ( ) ( ) ( ) 0 f x = S x = S x ，并利用（1.21）可知 ( )  ( ) 0 , 2 ( ) 0 = 0 =  b a n  S S x dx 于是 ( ) 0 ( ) . ( ) S0 x a x b n    由此可知 ( ) 0 S x 是一个次数不超过 n-1 的多项式。 又由（1.21）， ( ) 0 S x 竟然于 N( n) 个互异点处为 0，是故 ( ) 0 . S 0 x  定理证毕。 定理 5 从理论上指明了自然样条函数插值的存在唯一性。这不仅有重大的理论意 义，而且在实际计算中有一定的知道意义。 下面介绍自然样条函数插值的所谓最光滑性质，它是首先由 J。C。Holladay 于