教学过程 如果多项式p(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，那么(x)就称为f(x)与g(x)的一个公 因式。在公因式中占有特殊重要地位的是所谓最大公因式 定义6设fx,g(x)是PL)中两个多项式.PLx]中多项式d(x)称为f(x),g(x)的一个最大公 因式，如果它满足下面两个条件： 1)d(x)是f(x),g(x)的公因式 2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式 例如，对于任意多项式f(x),f(x)就是与0的一个最大公因式特别地，根据定义，两个零多项式的 最大公因式就是0 在有了以上的定义之后，我们首先要解决的是最大公因式的存在问题，以下的证明也给 了 具体求法 最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法，关于带余除法我们指出以下事实如果 等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，那么fx),g(x)和g(x,r(x)有相同公因式.事实上，如果x)g(x,x)(x),那么由() (x)f(x).这就是说，g(x,r(x)的公因式全是f(x,g(x)的公因式反过来，如果 x)儿f(x,p(x)g(x),那么p(x)一定整除它们的组合.r(x)=f(x)-q(x)g(x)这就是说.p(x)是 g(x),r(x)的公因式由此可见如果g(x),r(x)有一个最大公因式d(x),那么d(x)也就是f(x,g(x) 的一个最大公因式 定理2对于PLx)中任意两个多项式f(x),g(x),在PLx)中存在一个最大公因式d(x),且d(x) 可以表成f(x,gx)的一个组合，即有P中多项式(x,(x)使 d（x)=x)f(x)+(x)g(x) (2) 证明如果f(x),g(x)有一个为零，臂如说g(x)=0,那么f(x)就是一个最大公因式，且 fx)=1fx)+10 下面来看一般的情形无妨设g(x)≠0按带余除法，用g(x)除f(x),得到商4，(x),余式(x):如 果r(x)≠0，就再用(x)除g(x),得到商q2(x),余式5(x);又如果5(x)≠0，就用5(x)除(x),得出教学过程: 如果多项式 ( ) x 既是 f x( ) 的因式，又是 g x( ) 的因式，那么 ( ) x 就称为 f x( ) 与 g x( ) 的一个公 因式。在公因式中占有特殊重要地位的是所谓最大公因式. 定义 6 设 f x g x ( ), ( ) 是 P x[ ] 中两个多项式. P x[ ] 中多项式 d x( ) 称为 f x g x ( ), ( ) 的一个最大公 因式,如果它满足下面两个条件: 1) d x( ) 是 f x g x ( ), ( ) 的公因式; 2) f x g x ( ), ( ) 的公因式全是 d x( ) 的因式. 例如,对于任意多项式 f x( ) , f x( ) 就是与 0 的一个最大公因式.特别地,根据定义,两个零多项式的 最大公因式就是 0 在有了以上的定义之后,我们首先要解决的是最大公因式的存在问题,以下的证明也给 了一个具体求法. 最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法,关于带余除法我们指出以下事实:如果 等式 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + (1) 成立,那么 f x g x ( ), ( ) 和 g x r x ( ), ( ) 有相同公因式. 事实上, 如果   ( ) ( ), ( ) ( ) x g x x r x , 那么由(1) ( ) ( ) x f x .这就是说, g x r x ( ), ( ) 的公因式全是 f x g x ( ), ( ) 的公因式.反过来,如果   ( ) ( ), ( ) ( ) x f x x g x ,那么 ( ) x 一定整除它们的组合.r x f x q x g x ( ) ( ) ( ) ( ) = − 这就是说. ( ) x 是 g x r x ( ), ( ) 的公因式.由此可见,如果 g x r x ( ), ( ) 有一个最大公因式 d x( ) ,那么 d x( ) 也就是 f x g x ( ), ( ) 的一个最大公因式. 定理 2 对于 P x[ ] 中任意两个多项式 f x g x ( ), ( ),在 P x[ ] 中存在一个最大公因式 d x( ) ,且 d x( ) 可以表成 f x g x ( ), ( ) 的一个组合,即有 P x[ ] 中多项式 u x v x ( ), ( ) 使. d x u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + (2) 证明 如果 f x g x ( ), ( ) 有一个为零, 臂如说 g x( ) 0 = , 那么 f x( ) 就是一个最大公因式,且 f x f x ( ) 1 ( ) 1 0 =  +  下面来看一般的情形.无妨设 g x( ) 0  .按带余除法,用 g x( ) 除 f x( ) ,得到商 1 q x( ) ,余式 1 r x( ) ;如 果 1 r x( ) 0  ,就再用 1 r x( )除 g x( ) ,得到商 2 q x( ),余式 2 r x( ) ;又如果 2 r x( ) 0  ,就用 2 r x( ) 除 1 r x( ) ,得出