商(x),余式5(x):如此辗转相除下去，显然，所得余式的次数不断降低，即 a(g(x)>0(r(x)>(5,(x》>. 因此在有限次之后，必然有余式为零.于是我们有一串等式： f(x)=q(x)g(x)+r(x). g(x)=92(x)r(x)+5(x), 5-2(x)=4(xy-(x)+r(x 5-3(x)=9(xr-2(w)+r(x -2(x)=4.(xr(x)+r(x r-(x)=q+(xr.(x)+0 :(x)与0的最大公因式是r(x).根据前面说明，r(x)也就是r(x)与r(x)的一个最大公因式：同样 的理由，逐步推上去：(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式 由上面的倒数第二个等式我们有r(x)=5-2(x)-q,(x)-1(x).再由倒数第三式，有 r-1(x)=r-3(x)-q-(xr-2(x) 代入上式中可消去(x),得到 r(x)=(1+q,(x)q-(x)r-2(x)-q,(x)r-(x）. 然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去r(x),(x),再并项就得到 (x)=(x)f(x)+x)g(x. 这就是定理中的(2)式 由最大公因式的定义不难看出，如果q,(x),q,(x)是f(x)与g(x)的两个最大公因式那么一定有 d(x)4(x)与d(x)4(x),也就是d,(x)=cd,(x),c≠0.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以 相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的我们知道，两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个 非零多项式在这个情形，我们约定，用(f(x),g(x》来表示首项系数是1的那个最大公因式 商 3 q x( ) , 余 式 3 r x( ) ; 如 此 辗 转 相 除 下 去 , 显 然 , 所 得 余 式 的 次 数 不 断 降 低 , 即 1 2        ( ( )) ( ( )) ( ( )) g x r x r x 因此在有限次之后,必然有余式为零.于是我们有一串等式: 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = + 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ), = +   , 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), i i i i r x q x r x r x − − = +   3 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), s s s s r x q x r x r x − − − − = + 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), s s s s r x q x r x r x − − = + 1 1 ( ) ( ) ( ) 0. s s s r x q x r x − + = + ( ) s r x 与 0 的最大公因式是 ( ) s r x .根据前面说明, ( ) s r x 也就是 ( ) s r x 与 1 ( ) s r x − 的一个最大公因式;同样 的理由,逐步推上去 ( ) s r x 就是 f x( ) 与 g x( ) 的一个最大公因式. 由上面的倒数第二个等式,我们有 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ). s s s s r x r x q x r x = − − − 再由倒数第三式, 有 1 3 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). s s s s r x r x q x r x − − − − = − 代入上式中可消去 1 ( ) s r x − ,得到 1 2 3 ( ) (1 ( ) ( )) ( ) ( ) ( ). s s s s s s r x q x q x r x q x r x = + − − − − 然后根据同样的方法用它上面的等式逐个地消去 1 1 ( ), , ( ) s r x r x −  ,再并项就得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). s r x u x f x v x g x = + 这就是定理中的(2)式 由最大公因式的定义不难看出,如果 1 q x( ), 2 q x( ) 是 f x( ) 与 g x( ) 的两个最大公因式,那么一定有 1 2 d x d x ( ) ( ) 与 2 1 d x d x ( ) ( ),也就是 1 2 d x cd x c ( ) ( ), 0 =  .这就是说,两个多项式的最大公因式在可以 相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道,两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个 非零多项式.在这个情形,我们约定,用 ( ( ), ( )) f x g x 来表示首项系数是 1 的那个最大公因式