定理2若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内. 证：1)(F(x)+C)}=F'(x)=f(x) ∴.F(x)+C是f(x)的原函数 2)设D(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) .[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 ①(x)=F(x)+Co(C0为某个常数) 即①(x)=F(x)+C属于函数族F(x)+C. 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 是若 xfxF )()( 的一个原函数, 则 xf )( 的所有 原函数都在函数族 )( + CxF ( C 为任意常数 ) 内 . 证 : 1) ∴ + 是 xfCxF )()( 的原函数 ∵ + CxF ))(( ′= ′ xF )( = f x)( Φ 是设 xfx )()()2 的任一原函数， Φ′ x = f x)()( 又知 F′ x = f x)()( ∴ Φ − xFx ])()([ ′= Φ′ − ′ xFx )()( = f x − f x = 0)()( 故 0 Φ = )()( + CxFx ( ) C 0 为某个常数 即 0 Φ x = F x)()( + C 属于函数族 Fx C () . + 即 定理 2