4. de moivre公式 样 1722年, Abraham de moivre(法,1667~1754)在他的笔记中或,比1:n的上个(a和 na)的足矢x(= vers a≡1-cosa)与t(= vers na≡1- cos na)用间的关余示图由 中消去z而得到.不个结果就是 de moivre公式 (cosa±y-1sina)= cOS na±y-1 sIn no. 但示惜 de moivre并没明唯地得到个它“的复一式,它一梦果是Buer个的, 在 de moivre的结果中,n是足数, Euler还把n推广 Euler间于复数的对数的正确论 有 以数 位定 图 得到位关复要的对数的足按结这1他在这1以顺实与聊m顺实关满负数 数的对数用争排则原中,对不争 中肯的 对上点由 d(-ar) dh 而引发的争这∥的这标≈出 会对团),又指个四取四给中足按是点当如刀和如分 不个什数就是m(-1).Eulr或, Bernot以假lm(-1)=0,但不是 聚和是, Johann bernot极点在则个合就可=In/2 穷多可叨的 1777年图后, Euler采用限代复v=i 6. Euler的复数 在必其负鼓誇对数和复数的对数面中最后,Em国进则袁群界复数到复是么数,他 把复数称用和无中的数排”还不示能的数排他在《对民数的正“的有一》(1768179年在 界否个版,1770年在。否个版)则书中或 数的数数限比0一数限比0总,数限面满0,还图下其当,负数的 不能蚕能的数中,金而则加或它,说不示能的称簍变不液乘使则 的数,果它:存在与无数用中 Eulr在书中还定则个天个限十分,级的 为的 样 1.√-4=√4=2, b=√ab E山把复数称要不示能的数,但又或它:是位用的,用处就是用限判断问变是否位解,他两 例或,角果,把12分于上部分,使它:的积40,不上部分就是6+√一4和6-√=4,而示 图判断不个向变是不示解的 7.代数 得位 超越函数、 Johann Bernoulli断言的足按性“赖满能否动含三复画数点对数画数外的 hann bernoulli断言 现更数的积分如。收 则个以糸数项式分解以亲数Wu Chong-shi ∗ §1.7 ÜÝÞßàáâ (ã ä ) å 10 æ 4. de Moivre ÐÑ 1722 ✫✬ Abraham de Moivre(❍ ✬ 1667 ∼ 1754) ✗✸✤ çè ✧ ➯✬é❵ 1 : n ✤❹✐ ❿ (α ❊ nα) ✤➧ê x(= vers α ≡ 1 − cos α) ➨ t(= vers nα ≡ 1 − cos nα) ❶ ➄✤ ➊➆❼ ❽Ú 1 − 2z n + z 2n = −2z n t 1 − 2z + z 2 = −2zx ✧ëì z ❝ Û⑤✪P✐➇➈➃✖ de Moivre Ù ❴ ✬ ￾ cos α ± √ −1 sin α
n = cos nα ± √ −1 sin nα. ❏❼í de Moivre î➪❤ ❭ï✿Û⑤P✐ðñ✤❆ò❴ ✬ðñ✤➇➈✖ Euler ❄ ❅✤✪ ✗ de Moivre ✤➇➈ ✧ ✬ n ✖ ➧ ó✲ ✬ Euler ôõ n ö ÷❵ø✭ ❥✲✪ 5. Euler ùúûü♦ýü♦þÿ￾q 1747 ✫✁❯ ✬ Euler ➁ ⑦ ✲④✲ ✚ ➁✲④✲❊✛ ❿④✲❶ ➄✤➅ ➆ ✂❤ ❂✄ t ✤☎✆✬✝ ❽ Û⑤❤ ➊⑥✲✤➁✲✤➧✞➇❁✪ 1749 ✫✬✸✗ ✟❁ Leibniz ✠ ✱ ➨ Bernoulli ✠ ✱ ➊➦ ❛✲❊❃ ✲✤➁✲❶✃❁✡ ✻ ➙ ✧✬ ➁P☛✃❁☞ ❂✧ ➾ ✤ t✌ ✪✍➁❹✎ Ú d(−x) −x = dx x ❝ ★➉✤✃❁ ✬✸➑ ❑✭ Leibniz ✤❁➤ (⑩ d ln x = dx x ➷ ➁➧ x ➬✈ ) ✬ ➟ ⑦ ❅ ✬ Johann Bernoulli ✏ ✧Û ❅✤➧✞➇❁ ✖Õ Ö ln(−x) ❊ ln x ➷✑✻✐✒ ✲ ✬P✐✒✲ ➃✖ ln(−1) ✪ Euler ➯✬ Bernoulli ❥✓✔➲✕ ❂ ln(−1) = 0 ✬❏P✖✖✗❬ ❭✤✪ ✘❫ ✖✬ Johann Bernoulli ✙ ✎ ✗ ↕✻✐☛❘ ➃❬ ❭ ❂ ln √ −1 = √ −1π/2 ✪ 1777 ✫ ❽❯ ✬ Euler ① ❩❈❉ i ✚✜❆ √ −1 ✪ 6. Euler ♦ûü✛✜ ✗✢✣ ❂❛✲✤➁✲❊⑥✲✤➁✲❸✤✥❯ ✬ Euler ✦ ➹ ➫✻ ➭ ✦✧⑥✲⑤★ ✖✩ ➺ ✲ ✬✸ õ ⑥✲ Ø❶❵ ✟✪✫ ✧✤✲✡➀ ✟➑❼➩✤✲✡✪ ✸✗ ✹ ➁ ✜ ✲✤ ✬ó✤✭✮✺ (1768 ∼ 1769 ✫✗ ✯ ✰❅♠✬ 1770 ✫✗✱ ✰❅♠) ✻✼ ✧ ➯➥ ❜ ❵ ➂❤❼ ❽✫✲✤✲✳➀✴ é 0 ✮ ✬ ➀✴ é 0 ✵✬ ➀✴❸➦ 0 ✬➂ ❽✶ ✣ ✷✬ ❛✲✤ ✸✢❦➑➩ ✹✺✗ ❼➩✤✲ ✧✪✏❝✻✼❣✽ ➯➻✼✖➑❼➩✤✲✪ ❮❝P◗✾✿➔ ✻ ✼ò⑤ ✻◗✲✤✤✥✬➻✼➃➍✙ ❙ ➯✚✖➑❼➩✤✲ ✬❜❝➜✒❀❁❃✲➀✴✪✫ ✧ ✤✲ ✬❜❵ ➻✼ ➷ ➵ ✗➨✫✲❶ ✧✪ Euler ✗✼ ✧ ô❂ ❂ ✻✐❃❄❅✚➮ t❆❇✤❈❉✪ ✸✽❵ √ −1 · √ −4 = √ 4 = 2, ❜ ❵ √ a √ b = √ ab ✪ Euler õ ⑥✲❀❁➑❼➩✤✲ ✬❏➟ ➯➻✼✖❤❩✤✪❩❊ ➃✖❩ ✚ ❪➠ ❋●✖❍❤✦✪✸■ ❏ ➯✬➳➈ ✗õ 12 t ➬❹②t✬➔ ➻✼ ✤❑ s ❵ 40 ✬P❹②t➃✖ 6 + √ −4 ❊ 6 − √ −4 ✬✏❝ ❼ ❽❪➠P✐ ❋●✖➑❼✦✤✪ 7. ▲ü▼◆❖P 1702 ✫✬Johann Bernoulli ➠➡✬ ø◗❤③④✲✤ st➣✖ ✹❘✛ ❿④✲ ➨ ➁✲④✲❶❙✤ø ◗❚❯④✲✪ Johann Bernoulli ➠➡✤➧✞❙❱❲➦➩ ❍❳ø◗ ✻✐ ❥➆✲ ❨❩❴ t ✦❵ ❥➆✲