31.7关于复数的历史 1.早期的历史 复数,最早(16世纪)是在二次、三次代数方程的求解中引入的.1545年, Girolamo Cardano(意 大利,医生、数学家、占星术家,1501~1576)在他的 Ars magna(《大术》)一书中认真地讨论了虛 数,给出表示虛数的符号和运算法则,但同时也怀疑这种运算的合法性.此后, Rafael bombelli(意 大利,工程师、代数学家,1526~1572)熟练地运用虛数,证明了三次方程的判别弌为负(因而涉 及虛数开方)时必有三个实根(见《代数学》,1572年出版) 2. Johann bernoulli和 Leibniz的争论 在微积分学的建立过程中, Johann bernoulli(1667~1748)和 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646~ 1716)采用部分分式法求有理函数的积分时用到了复数.1702年, Johann bernoulli指出,在替换 z t+1即 1b+ 之下,有 -12bt 因为等式两端的原函数可以分别表示为反三角函数或对数函数,所以 Johann bernoulli就建立了 反三角函数和对数函数之间的联糸,这个结果引发了有关负数的对数和复数的对数性质的讨论 Leibniz一方面在积分 x+d(其中至少d为复数) 时毫不犹豫地使用对数函数,认为复数的出现是无害的,另一方面,在1712年的文章( Acta crud, 1712,167~169,或见Math. Schriften,5,387~389)以及1712~1713年间和 Johann bernoulli的通 信中,却又断言负数的对数是虚构的. Leibniz的论点是;大于1的数的对数为正,0与1之间的 数的对数为负,因此不可能有负数的对数.他进一步说,假如-1的对数存在,那么√-1的对数 就是它的一半;而√-肯定是没有对数的.而 Johann bernoulli则力图证明负数的对数是实数 他的观点是:因为 所以ln(-x)=lnx;又因为ln1=0,所以l(-1)=0. Leibniz反驳说,dlx=d/x只对正数x 成立 十几年后,1727~1731年间 L einhard euler(1707~1783)和 Johann bernoulli又发生了争执 JOhann bernoulli仍然坚持他的见解,而Eler表示不同意 3. Euler公式 1714年 Roger Cotes(英,1682~1716)发表了一个关于复数的定理,用现在的符号表示,就 -1d=ln(cos+√-lsin) 1740年10月18日, Euler在给 Johann bernoulli的信中说y=2cosx和y=ez+e是同 一个微分方程的解,因此应当相等.1743年,他又发表了(现在就称为Euer公式) SIns= cl/evI. 1748年,他发现由 Euler公式就可以得到 Cotes的结果Wu Chong-shi ÿ￾✁ ✂✄☎✆ ✝ 9 ✞ ∗§1.7 ✟✠✛✜⑥✡☛ 1. ☞✌❨✍✎ ✏✑✳ ✒✓ (16 ✔✕) ✖✗✘✙✚✛ ✙✜✑✢✣✤✥✦ ✧★✩✤✪1545 ✫✬Girolamo Cardano(✭ ✮✯✬✰✱ ✚ ✲ ✳✴✚ ✵✶✷ ✴ ✬1501 ∼ 1576) ✗✸✤ Ars Magna( ✹✮✷✺) ✻✼ ✧✽✾✿❀❁ ❂❃ ✲ ✬❄ ❅❆❇❃✲✤❈❉❊❋●❍■✬❏ ❑▲▼◆❖P◗❋●✤❘❍❙✪❚❯✬ Rafael Bombelli(✭ ✮✯✬❱✣❲✚✜ ✲ ✳✴✬ 1526 ∼ 1572) ❳❨✿❋❩❃✲ ✬❬ ❭ ❂✛ ✙ ✢✣✤❪❫❴❵ ❛ (❜❝ ❞ ❡❃✲❢✢ ) ▲❣❤✛✐ ❥❦ (❧ ✹✜ ✲ ✳✺ ✬ 1572 ✫ ❅♠) ✪ 2. Johann Bernoulli ♥ Leibniz ♦♣q ✗rst ✳✤✉✈✇✣ ✧✬ Johann Bernoulli(1667 ∼ 1748) ❊ Gottfried Wilhelm Leibniz(1646 ∼ 1716) ① ❩②tt❴❍✥❤③④✲✤ st▲❩⑤ ❂⑥✲✪ 1702 ✫✬ Johann Bernoulli ⑦ ❅ ✬✗⑧⑨ z = √ −1b t − 1 t + 1 ⑩ t = √ −1b − z √ −1b + z ❶❷✬❤ dz z 2 + b 2 = − dt √ −12bt . ❜ ❵❸❴❹❺✤❻④✲❼ ❽ t ❫❆❇❵❾✛ ❿④✲➀➁✲④✲ ✬➂ ❽ Johann Bernoulli ➃ ✉✈ ❂ ❾✛ ❿④✲❊➁✲④✲❶ ➄✤➅ ➆✪P✐➇➈ ★➉ ❂❤ ➊❛✲✤➁✲❊⑥✲✤➁✲❙➋✤❀❁✪ Leibniz ✻ ✢ ➌✗st Z dx cx + d (➍ ✧➎ ➏ d ❵⑥✲ ) ▲ ➐➑➒➓✿➔❩➁✲④✲ ✬✽❵⑥✲✤ ❅→✖➣ ↔✤ ✬↕✻✢ ➌✬✗ 1712 ✫ ✤➙➛ (Acta Erud., 1712, 167 ∼ 169 ✬ ➀ ❧ Math. Schriften, 5, 387 ∼ 389) ❽❡ 1712 ∼ 1713 ✫ ➄❊ Johann Bernoulli ✤➜ ➝ ✧ ✬ ➞➟➠➡ ❛✲✤➁✲✖ ❃➢✤✪ Leibniz ✤❁➤✖➥✮➦ 1 ✤✲✤➁✲❵➧✬ 0 ➨ 1 ❶ ➄✤ ✲✤➁✲❵ ❛✬❜❚➑❼➩❤ ❛✲✤➁✲✪ ✸➫✻ ➭➯✬➲➳ −1 ✤➁✲➵✗✬➸ ➺ √ −1 ✤➁✲ ➃✖➻✤ ✻➼➽❝ √ −1 ➾➚✖➪❤➁✲✤✪❝ Johann Bernoulli ■ ➶➹❬ ❭❛✲✤➁✲✖ ❥✲✪ ✸ ✤➘➤ ✖➥❜❵ d(−x) −x = dx x , ➂ ❽ ln(−x) = ln x ➽ ➟ ❜ ❵ ln 1 = 0 ✬➂ ❽ ln(−1) = 0 ✪ Leibniz ❾➴➯✬ d ln x = dx/x ➷ ➁➧✲ x ➬✈✪ ➮➱✫❯ ✬1727 ∼ 1731 ✫ ➄ L eonhard Euler(1707 ∼ 1783) ❊ Johann Bernoulli ➟➉✱ ❂✃❐✪ Johann Bernoulli ❒❮❰Ï✸✤ ❧ ✦ ✬❝ Euler ❆❇➑ ❑✭ ✪ 3. Euler ÐÑ 1714 ✫ Roger Cotes(Ò✬ 1682 ∼ 1716) ➉❆ ❂ ✻✐ ➊➦⑥✲✤ ➚③ ✬ ❩→ ✗ ✤❈❉❆❇✬➃✖ √ −1φ = ln ￾ cos φ + √ −1 sin φ
. 1740 ✫ 10 Ó 18 Ô✬ Euler ✗❄ Johann Bernoulli ✤➝ ✧ ➯ y = 2 cos x ❊ y = e √ −1x + e− √ −1x ✖ ❑ ✻✐ rt✢✣✤✦✬❜❚Õ Ö×❸✪ 1743 ✫✬✸➟➉❆ ❂ (→ ✗➃Ø❵ Euler Ù ❴ ) cos s = 1 2 h e √ −1s + e− √ −1s i , sin s = 1 2 √ −1 h e √ −1s − e − √ −1s i . 1748 ✫✬✸➉→ Ú Euler Ù ❴ ➃ ❼ ❽Û⑤ Cotes ✤➇➈✪